第1课时 单调性与最大(小)值.docx
第1课时单调性与最大(小)值§ §2.2函数的基本性质 求 考试要求1. 借助函数图 像 ，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2. 了解函数奇偶性的含义.3. 结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义 1 函数的单调性 (1) 单调函数的定义增函数 减函数定义 数 在函数 f (x) 的定义域内的一个区间 间 A 上，假如对于随意两数 x 1 ，x 2 ∈ ∈A当 当 x 1 &lt;x 2 时，都有f (x 1 )&lt;f (x 2 ) ，那么，就称函数f (x) 在区间 A上是增加的 当 当 x 1 &lt;x 2 时，都有f (x 1 )&gt;f (x 2 ) ，那么，就称函数f (x) 在区间 A 上 上是削减的 图像描述自左向右看图像是 上升的 自左向右看图像是 下降的(2) 单调区间的定义 数 假如函数 y f (x) 在区间 A 上是 增加的 或是 削减的称 ，那么就称 A 为单调区间 2 函数的最值 前提 数 函数 y f (x) 的定义域为 D 条件 (1) 存在 x 0 ∈ ∈D， ，得 使得 f (x 0 ) M； ； (2) 对于随意x ∈D ，都有f (x) ≤M. (3) 存在 x 0 ∈ ∈D， ，得 使得 f (x 0 ) M； ； (4) 对于随意x ∈D ，都有f (x) ≥M. 结论 M 为最大值 M 为最小值3 奇函数、偶函数的概念 图像关于 原点 对称的函数叫作奇函数 于 图像关于 y 轴 轴 对称的函数叫作偶函数 4. 周期性 (1) 周期函数：对于函数 y f(x) ，假如存在数 一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的有 任何值时，都有 f(x T) f(x) ，那么就称数 函数 y f(x) 为周期函数，非零函数 T 为这个函数的周期 (2) 最小正周期：假如在周期函数 f(x) 的全部周期中存在一个 最小 的正数，那么这个最小正数 就叫作 作 f(x) 的最小正周期 考 微思索 1 函数 y f(x) 满意意 随意 x 1 ， ，x 2 ∈ ∈D， ，x 1 ≠ ≠x 2 ，f( (x 1 ) ) f( (x 2 ) )x 1 x 2&gt;0(&lt;0) ，能否推断 f(x) 在区间 D上的单调性？ 提示能，f( (x 1 ) ) f( (x 2 ) )x 1 x 2&gt;0(&lt;0) ⇔f(x)在 在 D 上 上是增加的(减 减 少的) 2 奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？ 提示奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性题组一思索辨析 1 推断下列结论是否正确( 请在括号中打√ 或 ×) (1) 函数 y 1x 的 递减区间是( ∞， ，0) ∪(0， ，∞ ∞) (×) (2) 若函数 f(x) 为奇函数，则 f(0) 0.(×) (3)若 若 y f(x) 在区间 D 上 上 是 增 加的 ，则函数 数 y kf(x)(k&lt;0)， ，y 1f( (x) ) 间在区间 D 上 上 是 削减的 (×) (4) 若函数 f(x) 满意 f(4 x) f(x) ，则 f(x)的图 像于 关于 x 2 对称(√) 题组二教材改编 2 下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是() A f(x) x 1B f(x) x 2 x C f(x) 2 x 2 x D f(x) 2 x 2 x【答案】C 【解析】f(x) x 1 为非奇非偶函数，f(x) x 2 x 为非奇非偶函数，f(x) 2 x 2 x为偶函数 3 函数 y xx 1 在区间2,3 上的最大值是_ 【答案】2【解析】数 函数 y xx 1 1 1x 1 在在2,3上为减函数， 当 当 x 2 时，y xx 1 取得最大值22 1 2. 4. 设奇函数 f(x) 的定义域为 5,5 ，若当x ∈0,5 时，f(x) 的图 像 如图所示，则不等式 式 f(x)&lt;0 的解集为_ 【答案】( 2,0) ∪(2,5 】【解析】由图 像当 可知，当 0&lt;x&lt;2 ， 时，f(x)&gt;0； ；当 当 2&lt;x ≤5 时，f(x)&lt;0 ，又 f(x) 是奇函数，∴ 当2&lt;x&lt;0 时，f(x)&lt;0 ，当5 ≤x&lt; 2时，f(x)&gt;0. 综上，f(x)&lt;0 的解集为( 2,0) ∪(2,5 题组三易错自纠 5 函数 f(x) (x 1)x 1x 1 是是_函数(填 填 奇 偶 或 非奇非偶 ) 【答案】非奇非偶 【解析】f(x) 的定义域为( ∞ ，1) ∪1， ，∞ ∞) 不关于原点对称 故 故 f(x) 为非奇非偶函数6 函数 y f(x) 是定义在 2,2 上的减函且 数，且 f(a 1)&lt;f(2a) ，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 1,1) 【解析】由条件知î îï ïí íï ïì ì 2 ≤a 1 ≤2， ， 2 ≤2a ≤2， ，a 1&gt;2a， ， 解得1 ≤a&lt;1. 第 第 1 课时单调性与最大( 小) 值 题型一 确定函数的单调性点 命题点 1求详细函数的单调区间 例 例 1(1) 函数 y 12log ( x 2 x 6)的 的 递增区间为() A. è èæ æø øö ö12 ，3B. è èæ æø øö ö 2， ， 12 C ( 2,3)D. è èæ æø øö ö12 ，∞ ∞ 【答案】A 【解析】由x 2 x 6&gt;0 ，得2&lt;x&lt;3， ，故函数的定义域为( 2,3) ，令 t x 2 x 6 ，则 y 12log t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于数 求函数 t x 2 x 6 在( 2,3) 上的 递减得 区间利用二次函数的性质可得 t x 2 x 6 在定义域( 2,3) 上的 递减区间为è èæ æø øö ö12 ，3 ，故选 A.(2) 设函数 f(x) î îï ïí íï ïì ì 1 ，x&gt;0， ，0 ，x 0， ， 1 ，x&lt;0， ，g(x) x 2 f(x 1) ，则函数 g(x)的 的 递减区间是_ 【答案】0,1) 【解析】知 由题意知 g(x) î îï ïí íï ïì ì x 2 ， ，x&gt;1， ，0 ，x 1， ， x 2 ， ，x&lt;1， ，该函数图像如图所示，其 递减区间是0,1) 点 命题点 2推断或证明函数的单调性 例 例 2试探讨函数 f(x) axx 1 (a ≠0) 在( 1,1) 上的单调性 【答案】【解析】方法一设1&lt;x 1 &lt;x 2 &lt;1 ， f(x) a è è ç çæ æø ø÷ ÷ö öx 1 1x 1 a è èæ æø øö ö1 1x 1， ， f(x 1 ) f(x 2 ) a è èæ æø øö ö1 1x 1 1 a è èæ æø øö ö1 1x 2 1a( (x 2 x 1 ) )( (x 1 1) )( (x 2 1) ) ， 由于1&lt;x 1 &lt;x 2 &lt;1 ， 以 所以 x 2 x 1 &gt;0 ，x 1 1&lt;0 ，x 2 1&lt;0 ， 当 故当 a&gt;0 ， 时，f(x 1 ) f(x 2 )&gt;0 ，即 f(x 1 )&gt;f(x 2 )， ，数 函数 f(x) 在( 1,1) 上是 减 少的； ； 当 当 a&lt;0 时，f(x 1 ) f(x 2 )&lt;0 ， 即 即 f(x 1 )&lt;f(x 2 ) ，函数 f(x) 在( 1,1)上 上 是 增 加的 方法二f ′(x) ( (ax) ) ′( (x 1) ) ax( (x 1) )′ ′( (x 1) ) 2 a( (x 1) ) ax( (x 1) ) 2a( (x 1) ) 2 . 当 当 a&gt;0 时，f ′(x)&lt;0 ，函数 f(x) 在( 1,1)上 是削减的； ； 当 当 a&lt;0 时，f ′(x)&gt;0 ，函数 f(x) 在( 1,1)上 是增加的 思维升华确定函数单调性的四种方法 (1) 定义法：利用定义推断 (2) 导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数 (3)图 图 像 象法：由图 像 确定函数的单调区间需留意两点：一是单调区间必需是函数定义域的子集；二是图 像 象不连续的单调区间要分开写，用 和 或 ， 连接，不能用 ∪ 连接(4) 性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数 同增异减 的原则时，需先确定简洁函数的单调性 练 跟踪训练 1(1) 函数 f(x) |x 2|x 的 的 递减区间是_ 【答案】1,2【解析】f(x) î î ï ïí íï ïì ì x 2 2x ，x ≥2， ， x 2 2x ，x&lt;2. 出 画出 f(x) 的大致图像 像( 如图所示) ， 知 由图知 f(x)的 的 递减区间是1,2 (2) 已知 a&gt;0 ，函数 f(x) x ax (x&gt;0) ，证明：数 函数 f(x) 在(0， ， a上 上 是 减 少的 ，在 a， ，∞ ∞)上 上 是增加的 证明方法一( 定义法)设 设 x 1 &gt;x 2 &gt;0 ， f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 ax 1 x 2 ax 2 (x 1 x 2 ) a( (x2 x 1 ) )x 1 x 2 ( (x1 x 2 ) )( (x 1 x 2 a) )x 1 x 2， ， x 1 &gt;x 2 &gt;0， ，∴ ∴x 1 x 2 &gt;0 ，x 1 x 2 &gt;0 ， 当 当 x 1 ， ，x 2 ∈ ∈(0， ， a 时，0&lt;x 1 x 2 &lt;a， ，∴ ∴x 1 x 2 a&lt;0 ， ∴ ∴f(x 1 ) f(x 2 )&lt;0 ，f(x 1 )&lt;f(x 2 ) ， ∴ ∴f(x) 在(0， ， a上 上 是 减 少的； ； 当 当 x 1 ， ，x 2 ∈ ∈ a ，∞ ∞) 时，x 1 x 2 &gt;a ， ∴ ∴x 1 x 2 a&gt;0， ，∴ ∴f(x 1 ) f(x 2 )&gt;0 ， ∴ ∴f(x 1 )&gt;f(x 2 ) ， ∴ ∴f(x) 在 a ，∞ ∞)上 上 是 增 加的 方法二( 导数法)f ′(x) 1 ax 2 x2 ax 2(x&gt;0) ， 令 令 f ′(x)&gt;0 ⇒x 2 a&gt;0 ⇒x&gt; a ， 令 令 f ′(x)&lt;0 ⇒x 2 a&lt;0 ⇒0&lt;x&lt; a ， ∴ ∴f(x) 在(0， ， a上 上 是 减 少的 ，在 a ，∞ ∞)上 上 是 增 加的 题型二 函数单调性的应用点 命题点 1比较函数值的大小 例 例 3(1)设 设 f(x) 是定义域为 R 的偶函数，且在(0 ，∞ ∞)上 上 是 减 少的 ，则() A 2 33 2321l 2 og4f f f- - æ ö æ ö> >ç ÷ ç ÷è ø èöç ÷è øøæB 2 33 2321log42 f f f- - æ ö æ ö> >ç ÷ ç ÷è ø è øæ öç ÷è ø C 3233212 log42 f f f- - æ ö> >ç ÷èæ öæ öç ÷ ç ÷èø øøè D 3322312 log42 f f f- - æ ö> >ç ÷èæ öæ öç ÷ ç ÷èø øøè 【答案】C 【解析】f(x) 为偶函数且在(0 ，∞ ∞)上 上 是减 少的， ， fè èæ æø øö ölog 3 14 f( log 3 4) f(log 3 4) ， 又 又 log 3 4&gt;1,0&lt;322-&lt;232-&lt;1 ， ∴ ∴f(log 3 4)&lt;33222 2 , f f- - æ æ ö<ç ÷èö÷è øçø 即22332 2 , f f- - æ æ ö<ç ÷èö÷è øçø&gt;f è èæ æø øö ölog 3 14. (2)(2022· 全国 )若 若 2 a log 2 a 4 b 2log 4 b ，则() A a&gt;2bB a&lt;2bC a&gt;b 2 D a&lt;b 2【答案】B 【解析】由指数和对数的运算性质可得 2 a log 2 a 4 b 2log 4 b 2 2b log 2 b. 令 令 f(x) 2 x log 2 x ，则 则 f(x) 在(0 ，∞ ∞)上 上 是 增 加的， ， 又 2 2b log 2 b&lt;2 2b log 2 b 1 2 2b log 2 2b ， ∴ ∴2 a log 2 a&lt;2 2b log 2 2b ， 即 即 f(a)&lt;f(2b)， ，∴ ∴a&lt;2b. 高考改编题已知 2 a log 2 a&gt;4 b 2log 4 b 1 ，则() A a&gt;2bB a&lt;2b C a&lt;b 2 D a&gt;b 2【答案】A 【解析】4 b 2log 4 b 1 2 2b 222log b 1 2 2b log 2 b 1 2 2b log 2 2b ， ∴ ∴2 a log 2 a&gt;2 2b log 2 2b ， 数 函数 f(x) 2 x log 2 x 在(0 ，∞ ∞) 上为增函数， ∴ ∴a&gt;2b. 点 命题点 2求函数的最值 例 例 4(2022· 深圳模拟) 函数 y x 2 4x 2 5的最大值为_ 【答案】25【解析】令 x 2 4 t ，则 t ≥2 ， ∴ ∴x 2 t 2 4， ，∴ ∴y tt 2 1 1t 1t， ，设 设 h(t) t 1t 则，则 h(t) 在2 ，∞ ∞) 上为增函数， ∴ ∴h(t) min h(2) 52 ，∴ ∴y≤ ≤ 152 25 (x 0 时取等号) 即 即 y 的最大值为 25 . 点 命题点 3解函数不等式 例 例 5已知函数 f(x) è èæ æø øö ö13x log 2 (x 2)， ，若 若 f(a 2)&gt;3 ，则 a 的取值范围是_ 【答案】(0,1) 【解析】由 由 f(x) è èæ æø øö ö13x log 2 (x 2) 知， f(x) 在定义域( 2 ，∞ ∞) 上是减函数，且f( 1) 3 ， 由 由 f(a 2)&gt;3 ，得 f(a 2)&gt;f( 1) ， 即2&lt;a 2&lt; 1 ，即 0&lt;a&lt;1. 点 命题点 4求参数的取值范围 例 例 6假如函数 f(x) î î ï ïí íï ïì ì ( (2 a) )x 1 ，x&lt;1， ，a x ， ，x ≥1意 满意对随意 x 1 ≠ ≠x 2 ，都有 f( (x1 ) ) f( (x 2 ) )x 1 x 2&gt;0 成立，那么实数 a 的取值范围是() A (0,2)B (1,2) C (1 ，∞ ∞)D. ë ëé éø øö ö32 ，2 【答案】D 【解析】意 因为对随意 x 1 ≠ ≠x 2 ，都有f( (x 1 ) ) f( (x 2 ) )x 1 x 2&gt;0 ， 以 所以 y f(x)在 在 R 上是增函数 所以î îï ïí íï ïì ì 2 a&gt;0， ，a&gt;1， ，( (2 a) ) ×1 1 ≤a， ，解得 32 ≤≤a&lt;2. 数 故实数 a 的取值范围是 ë ëé éø øö ö32 ，2 . 思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1) 比较大小 (2) 求最值 (3) 解不等式利用函数的单调性将 f 符号去掉，转化为详细的不等式求解，应留意函数的定义域 (4) 利用单调性求参数 依据函数的图 像 或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较 需留意若函数在区间a ，b 上单调，则该函数在此区间的随意子区间上也单调 分段函数的单调性，除留意各段的单调性外，还要留意连接点的取值 练 跟踪训练 2(1) 已知函数 f(x) 的图 像 关于线 直线 x 1 对称，当 x 1 ≠ ≠x 2 且 且 x 1 ， ，x 2 ∈ ∈(1， ，∞ ∞) 时，f(x 2 ) f(x 1 )·(x 2 x 1 )&lt;0 恒成立，设 设 a f è èæ æø øö ö 12， ，b f(2) ，c f(e) ，则 a ，b， ，c 的大小关系为() A c&gt;a&gt;bB c&gt;b&gt;a C a&gt;c&gt;bD b&gt;a&gt;c 【答案】D 【解析】意 依题意 f(x) 在(1 ，∞ ∞)上 上 是 减 少的 ，在( ∞， ，1)上 上 是 增 加的， ， 且 且 f(x) 关于 x 1 对称， ∴ ∴a f è èæ æø øö ö 12 fè èæ æø øö ö52， ， ∴ ∴f(e)&lt;fè èæ æø øö ö52&lt;f(2) ， 即 即 c&lt;a&lt;b. (2) 已知函数 f(x) î î ï ïí íï ïì ì x 3 ， ，x ≤0， ，ln( (x 1) ) ，x&gt;0， ，若f(2 x 2 )&gt;f(x) ，则实数 x 的取值范围是_ 【答案】( 2,1) 【解析】数 依据函数 f(x) 的图像 像( 图略) 可知，f(x) 是定义在 R 上的增函数∴ ∴2 x 2 &gt;x， ，∴ 2&lt;x&lt;1.(3) 已知函数 f(x) e |x a| (a 为常数) ，若 f(x)在区间1 ，∞ ∞) 上是增函数，则 a 的取值范围是_ 【答案】( ∞， ，1 【解析】令 令 t |x a|， ，∴ ∴y e t ， ， t |x a| 在( ∞， ，a上 上 是 减 少的 ，在a， ，∞ ∞)上 上 是 增 加的， ， 又 又 y e t 为增函数， ∴ ∴f(x) e |x a| 在在( ∞， ，a上 上 是削减的 ，在a ，∞ ∞)上 上 是增加的 ，∴ ∴a ≤1.本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页
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