2022年习题9常数项级数收敛性的判定.docx

精品学习资源1. 判定以下级数的敛散性 .习题 9-2欢迎下载精品学习资源<1）；<2）；<3）；<4）； <5）；<6 ）<）解： <1）；方法一： <利用正项级数的比较判别法）由于，而调和级数发散，从而也发散；由正项级数的比较判别法，得级数发散；方法二： <利用正项级数的比较判别法的极限形式）由于，而调和级数发散，就由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散；<2）；方法一： <利用正项级数的比较判别法）由于，而级数收敛<级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数收敛；方法二： <利用正项级数的比较判别法的极限形式）由于，而级数收敛<级数的结论），欢迎下载精品学习资源就由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛；<3）；方法一： <利用正项级数的比较判别法）由于<），且调和级数发散；就由正项级数的比较判别法，得级数发散；方法二： <利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而，所以，即，又调和级数发散，就由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散；<4）；方法一： <利用正项级数的比较判别法）由于，而级数收敛<级数的结论），由正项级数的比较判别法，得级数收敛；方法二： <利用正项级数的比较判别法的极限形式）欢迎下载精品学习资源由于，而级数收敛 <级数的结论），就由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛；<5）；由于，而调和级数发散，就由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散；注：此题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采纳正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采纳正项级数的比较判别法的极限形式相对简单一些；<6） < ）当时，就由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，就由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，且级数是公比为<）的等比级数，是收敛的，就由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛；欢迎下载精品学习资源综上，当时，级数发散；当时，级数收敛；2. 判定以下级数的敛散性 .<1）；<2）；<3）<）；<4）；<5）； <6）；<7）； <8）；<9）；<10）； <11 ）<其中，均为正数） .解： <1）；方法一： <利用正项级数的比较判别法） 由于，且收敛，由正项级数的比较判别法，得级数收敛；方法二： <利用正项级数的比较判别法的极限形式）由于，且级数收敛，由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛；<2）；方法一： <利用正项级数的比较判别法的极限形式）欢迎下载精品学习资源由于，且等比级数收敛，由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛；方法二： <利用正项级数的比值判别法）由于，由正项级数的比值判别法，得级数收敛；<3）<）；因为<），而，利用级数收敛性的结论，得当即时 级数是发 散的 ； 当即时 级数是收敛的；由正项级数的比较判别法的极限形式，得当时级数发散；当时级数收敛；欢迎下载精品学习资源<4）；由于，且级数由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数注：此题不能用正项级数的比值判别法；<5）；由于，就由正项级数的比值判别法，得级数发散；<6）；由于，就由正项级数的比值判别法，得级数收敛；<7）；由于就由正项级数的比值判别法，得级数收敛；收敛，收敛；，欢迎下载精品学习资源<8）；由于，就由正项级数的比值判别法，得级数收敛；<9）；由于，就由正项级数的根值判别法，得级数收敛；<10）；由于，就由正项级数的根值判别法，得级数收敛；<11）；由于，由正项级数的根值判别法，当即时级数收敛；当即时级数发散；当即时，级数可能收敛也可能发散；3. 判定以下级数的敛散性 .欢迎下载精品学习资源<1 ）；<2 ）；<3 ）；<4 ）；<5 ）；<6 ）；<7 ）； <8 ）；<9）解： <1）；由于，就由正项级数的比值判别法，得级数收敛；2 ）；由于，就由正项级数的比值判别法，得级数收敛；<3）；由于，欢迎下载精品学习资源就由正项级数的比值判别法，得级数收敛；<4）；由于，就由正项级数的比值判别法，得级数收敛；<5）；由于，就由正项级数的比值判别法，得级数收敛；<6）；由于，就由正项级数的比值判别法，得级数收敛；<7）；由于，而调和级数发散，欢迎下载精品学习资源就由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散；<8）；由于，所以，而调和级数发散，就由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散；<9）；由于，此时由正项级数的比值判别法不能得到级数的敛散性；但 是 由 于 数 列是 单 调 递 增 的 ， 且， 所 以，从而，即，从而，此时，利用收敛级数的必要条件，可知级数是发散的；4. 判定以下级数是否收敛？如收敛，是条件收敛仍是肯定收敛？欢迎下载精品学习资源<1 ）； <2 ）； <3 ）；<4 ）<5）； <6 ）； <7）.解： <1）；由于发散<级数的结论），所以级数不绝对收敛； 对交叉级数，由于，且，就由莱布尼兹定理，得交叉级数收敛；从而级数条件收敛；<2）；由于，而，且 调和级数发散，就由正项级数的比较判别法，得级数发散，即级数不肯定收敛；对交叉级数，由于，且， 就由莱布尼兹定理，得交叉级数收敛；从而级数条件收敛；<3）；对级数， 由于， 且 级数收敛<级数的结欢迎下载精品学习资源论 ） ， 就 由正 项 级 数的 比较 判 别 法 ， 得 级数收敛 ， 即 级 数肯定收敛；<4）；因为，而，就由正项级数的根值判别法，得级数收敛，即级数肯定收敛；<5）；由于，而，且发散<级数的结论），就由正项级数的比较判别法，得级数发散，所以级数不肯定收敛；对 交 错 级 数， 令， 就， 从 而 当时， 即 当时单调递减；故，又<由于欢迎下载精品学习资源，所以），就由莱布尼兹定理，得交叉级数收敛，从而也收敛；故级数条件收敛；<6）；由于，而，就由正项级数的比值判别法，得级数收敛，即级数肯定收敛；<7）；因为，而，又，所以，即，就由正项级数的比值判别法，得级数发散，此时，也即，故级数发散；欢迎下载精品学习资源5. 利用级数收敛的必要条件求极限：.解：对级数，由于，就由正项级数的比值判别法，得级数收敛；由级数收敛的必要条件，得；欢迎下载