整数的速算和巧算(共15页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上整数的速算和巧算     在加法、减法和加减混合运算中，常常利用改变运算顺序进行巧算，其中有利用两数互补关系进行凑整巧算、借数凑数巧算、选择合适的数作为基数巧算等，还可以利用加法的交换律和结合律进行巧算。    整数乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”。要达到“凑整”的目的，就要对一些数分解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简单化。1. 同学们要记住一些速算结果，如2×5=10，25×4 =100，125×8=1000，625×8 =5000，625×16= 10000等，这样，在计算时才能迅速而准确。2. 灵活地运用“头同尾合十”和“尾同头合十”的巧算法求积。    “头同尾合十”的巧算方法是：用十位上的数字乘十位上的数字加1的积，再乘100，最后加上个位上两个数字的乘积。    如23×27 =2×(2+l)×100+3×7=621.“尾同头合十”的巧算方法是：十位数字的乘积加上个位数字的和，再乘100，最后加上个位上的数字的积。如：如72×32=(7×3+2)×100+2×2 =2304。4. 另外有一些常用方法。(1)乘数凑整法    乘数凑整法是利用特殊数的乘积特性进行速算，如：5×2= 10，25×4= 100，125×8=1000，    运算时可将包含这几个因子的乘数分解然后提出这几个因子，实现速算。例如：32×625 =4×8×125×5。(2)乘法分配律、结合律    该方法利用求几个乘积之和时拥有共同乘数的特点，直接利用乘法结合律，先求和再求积。例如：87×28+28×73-28×10=28×(87+73-10)。如果没有出现乘数相同的情况，可以想办法进行拆分得到相同乘数，可以分成两数之和或是之积。  (3)特殊方法    针对特定的题还可以采用特定的方法，如“头同尾补”或是“尾同头补”等方法。 1、 9999×1111+3333×6667 2、 99999×77778+33333×666663、 4444×91111×64   4、 889×666333×2225、 9999×263333×226、 28×11119999×87、 9999×9999199998、 ÷25÷25÷4÷49、 (70÷4+90÷4)÷410、765×213÷27765×327÷2711、(873×477-198)÷(476×874199)12、(77778888)÷5(888111)×313、5÷(7÷11)÷(11÷16)÷(16÷35)14、1511511151111515、1.25×31.3×2416、7.3×3.77×0.7317、0.15÷2.1×5618、9.9×9.91.9919、2.437×36.54243.7×0.634620、2.005×39020.05×41200.5×221、5×19.9916×1.9990.34×199.922、1250×0.037+0.125×160+12.5×2.723、7.5×46.717.9×2.524、0.9999×0.60.1111×3.625、1.076×3.4+10.76×0.6626、39999399939939927、0.125×0.25×0.5×6428、3.75×4.862.5×0.4829、3.7×5.40.37×4630、18.6÷2.5÷0.431、700÷14÷532、1.25×(8÷0.5)33、(125 ×99125)×1634、3×999399×882×92935、1250÷25÷536、4.75÷0.54.7537、999.999.99.90.938、9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.839、+89998+8998+898+8840、+79999+7999+799+7941、+79997+7996+797+7842、1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.1943、999921999944、999×274627445、8.8×6+3.4×8 46、1432×9090+1432×909 47、11+88+66+33+77+55 48、9.99629.98169.93999.549、51×49+3.51×49+51×3.51 50、6773×6770677×6951、187÷1263÷1253÷1252、1234567853、123989910054、7.5×46.717.9×2.555、7.81(3.811.65)2.2556、(1234234134124123)÷(1234)57、1234+2341+3412+412358、2006200.620.062.00699499.49.940.99459、25×32÷1436÷21×2560、12×3÷(45)×661、3×2÷22×6÷3÷25362、31÷532÷533÷534÷563、1009998979695432164、10.37×3.41.7×19.2665、567×-789×66、7.2×14.3÷0.9÷1.3 67、20.06×65+380×2.006-2.006×30 68、6.4÷(0.8+0.4)  69、26515842+35 70、3600-175-67-325-13371、27×46÷79÷46×79÷27         72、1966+1976+1986+1996+2006一、 十几乘十几的巧算口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。最后再排列，遇到满十的向前位进一就是了。例如：12×13=156 方法：头乘头1×1=1；尾相加2+3=5；尾相乘2×3=6。最后再排列起来就是156。15×17=255 方法：头乘头1×1=1；尾相加5+7=12；尾相乘5×7=35，最后排列时，高位积本是1，要加进上来的中位积12中的1，就是2了；中位积本是2，加尾积进上来的3就是5了；末尾积就是5。就是255。说明：这种巧算只限于十几乘十几的乘法，不能什么乘法都用此方法。好处：上了初中不用背平方表了，掌握好了可以大大的提高小学生的运算速度。二、 11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。例：11×23125=？解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分别在首尾11×23125=注：和满十要进一。说明：这种方法掌握好了，可以大大的提高运算速度，同样像乘22，33，88等一系列的乘法都可以运用此法，因为22可以分解为11×2、33可以分解为11×3三、 首数相同，尾数之和为十的两位数乘两位数的巧算口诀：一个头加后，头乘头，尾乘尾。例：23×27=？解：××2123×27=621（两数之积是一位数的，前面用0补足）例如：26×24=624 方法：首数2+1=3，3×2=6；6×4=24；排列起来就是624。85×85=7225 方法：首数8+1=9，9×8=72；5×5=25；排列起来就是7225。说明：这种方法只限于首数相同，尾数互补（相加为10）的两位数乘两位数。当然也能灵活的运用的，如42×47可以把它看作42×48=2016，再减去一个42就得1974。只要首数相同都可以灵活运用此方法。四、 尾相同，首互补的两位数乘两位数的巧算口诀：头乘头加尾数为前面两个积，尾乘尾为后面两个积，然后再把两积相连。（两位之积是一位数的，前位0）例如： 34×74=2516 方法：3×7+4=25这前积；4×4=16为后积，相连就是2516。57×57=3249 方法：5×5+7=32是前积；7×7=49是后积，相连就是3249。说明：此种方法限于尾相同的两位数相乘都可灵活运用。如：46×56=2576可以看成46×66=3036，再减去10个46即是460，就是3036-460=2576。五、.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加后，头乘头，尾乘尾。例：37×44=？解：3+1=44×4=167×4=2837×44=1628注：个位相乘，不够两位数要用0占位。六、几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。例：21×41=？解：2×4=82+4=61×1=121×41=861七、 首位都是5的两个两位数相乘的巧算口诀：头乘头加两尾数之和的一半为前积，尾乘尾为后积，然后同上排列起来。例如：52×56=2912 方法：5×5+（2+6）÷2=29；2×6=12；排列起来就是2912。八、 尾数都是5的两个两位数乘法的巧算口诀：头乘头加两首数之和的一半为前积，尾乘尾为后积。例如：25×65=1625 方法：2×6+（2+6）÷2=16为前两位积；5×5=25为后两位积。九、 任意两位数的平方用下面的口诀巧算口诀：头乘头为前积，头乘尾加一倍为中积，尾乘尾为后积，满十向前一位进一。例如：25×25=625 方法：2×2=4，加上中积乘得是20，向前进2就是6了；中积2×5=10再加一倍为20，就该是0，可再加上尾积5×5=25向前进的2就写2了；尾积就写5了。所以是625。说明：这种方法与前面的十几乘十几差不多，不同的是：中积是首乘尾还要加一倍。这种方法掌握了也能灵活的算如22×23、45×46等。十、 两位乘两位数的通用巧算法口诀：头乘头为前积；头尾交互相乘之和为中积；尾乘尾为后积。例如：36×52=1872 方法：3×5=15本为首积，6×5+3×2=36中积就应该是6，3进到首积15上，首积就写18；尾积6×2=12，向中积进1，中积就写7；尾积就是2了。十一、十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。例：13×326=？解：13个位是33×3+2=113×2+6=123×6=1813×326=4238注：和满十要进一。说明：这种方法适用于任何两位数相乘。这八种巧算方法你灵活地掌握了，以后你遇到任何的两位数相乘都可以直接“一口清”。甚至可以推广到除法和多位数乘法中去，那你就是速算“小神童”了。分析与解在进行四则运算时，应该注意运用加法、乘法的运算定律，减法、除法的运算性质，以便使某些运算简便。本题就是运用乘法分配律及减法性质使运算简便的。例2 计算 9999×2222+3333×3334分析与解 利用乘法的结合律和分配律可以使运算简便。9999×2222+3333×3334=3333×（3×2222）+3333×3334=3333×6666+3333×33343333×（6666+3334）=3333×10000=例12 计算 1×2+2×3+3×410×11分析与解，将这10个等式左、右两边分别相加，可以得到例13 计算1×3+2×4+3×5+4×6+50×52分析与解 我们知道1×3=1×3-1+1=1×（3-1）+1=1×2+12×4=2×4-2+2=2×（4-1）+2=2×3+23×5=3×5-3+3=3×（5-1）+3=3×4+34×6=4×6-4+4=4×（6-1）+4=4×5+450×52=50×52-50+50=50×（52-1）+50=50×51+50将上面各式左、右两边分别相加，可以得到1×3+2×4+3×5+4×6+50×52=1×2+1+2×3+2+3×4+3+4×5+4+50×51+50=1×2+2×3+3×4+4×5+50×51+1+2+3+4+50=44200+1275=45475例14 计算（1+0.23+0.34）× （0.23+0.34+0.56）-（1+0.23+0.34+0.56）×（0.23+0.34）分析与解 根据题中给出的数据，设10.23+0.34=a，0.23+0.34=b，那么 a-b=1+0.23+0.34-0.23-0.34=1。于是原式变为a×（b+0.56）-（a+0.56）×b=ab+0.56a-ab-0.56b0.56a-0.56b=0.56（a-b）=0.56×1=0.56例15 算式2×3×5×7×11×13×17最后得到的乘积中，所有数位上的数字和是多少？分析与解 要求算式乘积的各个数位上的数字和是多少，就要先求出乘积来。求积时应用乘法结合律可使计算简便。2×3×5×7×11×13×17=（2×5）×（7×11×13）×（3×17）=10×1001×51=10010×51=因此，乘积的所有数位上的数字和是5+1+0+5+1+0=12答：乘积的所有数位上的数字和是12。分析与解 根据已知，要是算出两个数的乘积再求出积的各个数位的数字和，那就太复杂了。不妨先从简单的算起，寻找解题的规律。例如，9×9=81，积的数字和是8+1=9；99×99=9801，积的数字和是 9+8+1=18；999×999 =，积的数字和是9+9+8+1=27；9999×9999=，积的数字和是9+9+9+8+1=36；从计算的结果可以看出，一个因数中9的个数决定了积的各个数位的数字之和是几。9×9的每个因数中有1个9，那么积的各个数位的数字和就是1个9；99×99的每个因数中有 2个9，那么积的各个数位的数字和就是2个9，即等于18；999×999的每个因数中有 3个 9，那么积的各个数位的数字和就是3个9，即等于27；例19 11994这些自然数中所有数字的和是多少？分析与解 要求11994这些自然数中所有数字的和，可以先求出01999这些数中所有数字的和，然后再减去19951999这五个数的数字和。将01999这2000个数分组，每两个数为一组，可以分成1000组：（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996），（4，1995），（996，1003），（997，1002），（998，1001），（999，1000）。这里每组的两数的和都是1999，并且每组中两个数相加时都不进位，这样，11999这些自然数所有数字和是：（1+9+9+9）×1000=28×1000= 28000而 19951999这五个数的数字和是：（1+9+9）×5+（5+6+7+8+9）=95+35=130因此11994这些自然数中所有数字的和是：28000-130=27870答：11994这些自然数中所有数字的和是27870。73、5×19.99+16×1.999+0.34×199.974、6666×8888÷（4444×3333）75、1999819971961076、9÷(9÷8)÷(8÷7)÷(7÷6)÷(6÷5)÷(5÷4)÷(4÷3)77、997+995+993+1009+1004+101178、19941993199219911990198979、11×4039×488×11专心-专注-专业