2022年求数列通项公式的十种方法.pdf

1 观察法（求出 a1、a2、a3，然后找规律）即归纳推理， 就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。例 1. 设11a，)(2221Nnbaaannn，若1b，求32,aa及数列na的通项公式解：由题意可知：11111a，11221221212aaa，113121222223aaa. 因此猜想11nan. 下面用数学归纳法证明上式（1）当 n1 时，结论显然成立（2）假设当 nk 时结论成立，即11kak. (3)则11)1(11)1(11)1(122221kkaaaakkkk，即当 nk1 时结论也成立由（ 1） 、 （ 2）可知，对于一切正整数n，都有)( 11Nnnan（最后一句总结很重要）2 定义法（已知数列为等差或者等比）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。例 2.已知等差数列na满足1210aa，432aa，求na的通项公式。解：设等差数列na的公差为d. 因为432aa，所以2d. 又因为1210aa，所以1210ad，故14a. 所以42(1)22nann(1,2,)n. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 3公式法若 已 知 数 列 的 前n项 和与的 关 系 ， 求 数 列的 通 项可 用 公 式求解。（一定要讨论n=1，n2 ）例 3. 设数列na的前n项和为nS，已知233.nnS（）求数列na的通项公式。解： （）由233nnS可得：当1n时，111(33)32aS，当2n时，11111(33)(33)3(2)22nnnnnnaSSn而1 1133a，所以13,1,3,1.nnnan4累加法当递推公式为)(1nfaann时，通常解法是把原递推公式转化为。例 4. 数列na满足11a，且11naann（*Nn） ，则数列 的前 10 项和为解：由题意得：112211)()()(aaaaaaaannnnn12)1(nn2)1(nn5累乘法当递推公式为)(1nfaann时，通常解法是把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法( 逐商相乘法 ) 求解。nsnanana1( )nnaaf n精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例 5. 已知数列满足，求的通项公式。解：由条件知，在上式中分别令)1( ,3 ,2, 1nn，得1n个等式累乘之，即nnaaaaaaaann14332211342312， 即naan11又321anan326. 构造法（拼凑法） - 共 5 种题型，第 2、3 种方法不必掌握1、当递推公式为qpaann 1（其中qp,均为常数，且0)1( ppq）时，通常解法是把原递推公式转化为)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例题：已知数列na满足13, 111nnaaa，求na的通项公式。解：由131nnaa得)21(3211nnaa又23211a所以21na是首项为23，公比为3的等比数列所以23323211nnna因此数列na的通项公式为213nna. 2、当递推公式为)0,(1pkbkpbknpaann均为常数，且其中时，通常解法是把 原 递 推 公 式 转 化 为)() 1(1yxnapynxann， 其 中yx,的 值 由 方 程byxpykxpx给出。（了解即可，不必掌握）na112,31nnnaaanna11nnanan精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例题：在数列na中，=2，=，求数列na的通项。解：由1341naann得)(4)1(1nanann又111a所以数列nan是首项为1，公比为4的等比数列所以14nnna，即nann14. 3、当递推公式为nnncpaa1（其中cp,均为常数，且0pc）时，通常解法是把原递推公式转化为ccacpcannnn111。若cp，则ccacannnn111，此时数列nnca是以ca1为首项，以c1为公差的等差数列， 则cncacann1)1(1， 即11)1(nncana。 若cp，则可化为)1)(11pcttcacptcannnn其中形式求解。（了解即可，不必掌握）例题：已知数列 中，=1，=，求数列的通项公式。解：由nnnaa321得)3(2311nnnnaa所以数列是首项为=，2q的等比数列所以=，即=4、当递推公式为（sqp,为常数，且0pqs）时，通常两边同时取倒数，把原递推公式转化为pqpasann 11。若sp，则1na是以11a为首项，以pq为公差的等差数列，则pqnaan)1(111，即11)1(panqapan。 若sp，则可转化为1a1na431nannana1a1na23nna3 nna113a23nna122nna32nn1nnnpaaqas精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - )1(11tapstann（其中spqt）形式求解。例 10. 已知数列 满足，且（） ，求数列 的通项公式。解：原式可变形为两边同除以3得构造新数列，使其成为公比q的等比数列即整理得满足式使数列是首项为，q= 的等比数列。5、当递推公式为pq（qp,均为常数）（又称二阶递归）时，将原递推公式pq转化为-（-） . 其中、由解出，由此可得到数列-是等比数列。例题： 设数列的前项和为，已知，且当时，证明：为等比数列；证明：因为)2(854112nSSSSnnnn所以)2(44441112nSSSSSSnnnnnnna132a11321nnnnaaan2nnNna112(1)3nnnna anana1nna a111233nnnnaanna13111()3nnnnaa11233nnnnaa223311 nna11113a1311 111( )( )3 33nnnna331nnnna2na1nana2na1nana2na1na1nanapq1nana精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 即)2(4412naaannn因为21344aaa所以1244nnnaaa因为21)2(2224242424212111111112112nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa所以数列211nnaa是以12112aa为首项，以21为公比的等比数列。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -