2016年高考数学总复习第九章第6讲离散型随机变量的均值与方差课件理.ppt

第6讲 离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.1.离散型随机变量的均值和方差一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.Xx1x2xixnPp1p2pipn2.均值和方差的性质设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb，aE(X)b则 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)a2D(X).123P0.40.20.43.两点分布及二项分布的均值和方差pnp(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)p(1p).(2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)np(1p).1.已知随机变量的分布列是：B则 D()()A.0.6B.0.8C.1D.1.201PpqD2.已知的分布列为：A.E()p，D()pqB.E()p，D()p2C.E()q，D()q2D.E()1p，D()pp2其中 p(0,1)，则( )3.已知 X 的分布列如下表，设 Y2X1，则 Y 的数学期望是()BC考点 1 离散型随机变量的均值例 1：(2014 年天津)某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学.在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的 7 个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同的学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X的分布列和数学期望.解：(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则所以随机变量 X 的分布列为：【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型分布列，可直接套用公式E(X)x1p1x2p2xipixnpn求其均值.随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算.Xx1x2xixnPp1p2pipn【互动探究】1.(2013 年广东)已知离散型随机变量 X 的分布列为：A则 X 的数学期望 E(X)()考点 2 离散型随机变量的方差例 2：(2013 年浙江)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c个蓝球，且规定：取出 1 个红球得 1 分，取出 1 个黄球 2 分，取出 1 个蓝球得 3 分.(1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取 2 个球(有放回，且每个球取到的机会均等)，记随机变量为取出这 2 个球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取 1 个球(且每个球取到的机会均等)，记bc.解：(1)由已知，得当两次取出的球分别是红红时，2，当两次取出的球分别是红黄，或黄红时，3，当两次取出的球分别是黄黄，红蓝，或蓝红时，4，当两次取出的球分别是蓝蓝时，6，所以的分布列是：当两次取出的球分别是黄蓝，或蓝黄时，5，(2)由已知，得有三种取值即 1,2,3，所以的分布列是：故 abc321.【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：xnE(X)2pn为随机变量X的方差(2)若X 是随机变量，且YaXb，其中a，b 是常数，则Y 也是随机变量，则 E(Y)E(aXb)aE(X)b，D(Y)D(aXb)a2D(X).(3)均值体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值在均值周围的变化，方差大，说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中.Xx1x2xixnPp1p2pipn【互动探究】考点 3 二项分布的综合应用例 3：(2014 年广东)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36 ， 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25,3030.12(30,3550.20(35,4080.32(40,45n1f1(45,50n2f2(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有1 人的日加工零件数落在区间(30,35的概率.解：(1)n17，n22，f10.28，f20.08.(2)样本频率分布直方图如图 9-6-1.图9-6-1(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30,35的概率为 0.2，设所取的4 人中，日加工零件数落在区间(30,35的人数为，则B(4,0.2).P(1)1P(0)1(10.2)410.409 60.590 4，所以所取的 4 人中，至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35的概率约为 0.590 4.【互动探究】3.(2013 年福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X3 的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？思想与方法 利用分类讨论思想求数学期望例题：(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水的年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.年入流量 X40X120发电机最多可运行台数123(1)求在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？(2)记水电站年总利润为 Y 万元.安装 1 台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故1 台发电机运行的概率为1，对应的年利润 Y5000，E(Y)500015000；安装 2 台发电机的情形.依题意，当 40X80 时，1 台发电机运行，此时 Y5000800 4200 ，因此 P(Y 4200) P(40X80) p1 0.2 ；当X80 时，2 台发电机运行，此时 Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.Y420010 000P0.20.8由此得 Y 的分布列如下：所以 E(Y)42000.210 0000.88840；安装 3 台发电机的情形.依题意，当40X80时，1台发电机运行，此时Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120时，3台发电机运行，此时Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.Y3400920015 000P0.20.70.1由此得 Y 的分布列如下：所以 E(Y)34000.292000.715 0000.18620.综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台.【规律方法】本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力，关键在于如果迅速、准确将信息提取、加工，构建数学模型，化归为数学期望问题.