初中数学函数知识点归纳(共9页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 点P（x,y），则x0,y0；第二象限：（-，+） 点P（x,y），则x0,y0；第三象限：（-，-） 点P（x,y），则x0,y0；第四象限：（+，-） 点P（x,y），则x0,y0；3、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号4、点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。点P（x,y）到坐标原点的距离为5、两点之间的距离：已知A、B AB|=6、中点坐标公式：已知A、B M为AB的中点,则：M=( , )7、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）；将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，yb）；将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，yb）。注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。函数的基本知识：基本概念1、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。2、定义域和值域：定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。3、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。5：增减性（单调性）：增减性又叫单调性，分两种情况：单调增、单调减单调增：y随x的增大而增大 单调减：y随x的增大而减小 口诀：“同增异减”，注意：单调性只适用于单调区间，即有一个X只有唯一确定的y与之对应时。8、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义：一般地，形如y=kxb(k,b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数当b=0时，y=kxb即y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式： y=kx+b (k0) 说明： k不为零 x指数为1 b取任意实数2、解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)3、图像：一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 4、增减性（单调性）： k>0，y随x的增大而增大（单调增）；k<0，y随x而增大而减小（单调减）5、必过点：（0，b）和（-，0）：理由如下：y=kx+b中，当x=o,时，y= 所以，该函数经过（ ， ）点当y=o,时，x=所以，该函数经过（ ， ）点所以，一次函数的图象是必经过（，0）和（0，b）两点的一条直线.，注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。7、增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.8、倾斜度(只与k相关)：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴. 9、截点（与b有关）：（直线与y轴的交点，该点到原点的距离叫做截距）当b>0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）；当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。（即y轴的负半轴）10、图像的上下平移（只与b相关）：直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到. 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；口诀“正上”当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位. 口诀“负下”例如：y=2x+3, 将直线 y=2x 的图象向 上 平移 3 个单位 y=2x-3, 将直线 y=2x 的图象向 下 平移 3 个单位 练习：y=5x-6,将直线 y=5x 的图象向 下 平移 6 个单位注：一次函数y=kx+b图像的平移，只与b有关，将y=kx的图像平移，平移方向： b正上移，b负下移11、一次函数的图象与性质b>0b<0b=0（正比例函数）k>0经过：第一、二、三象限不经过：第四象限经过：第一、三、四象限不经过：第二象限经过：第一、三象限不经过：第二、四象限增减性（单调性）：图象从左到右上升，y随x的增大而增大，单调增k<0经过第一、二、四象限不经过：第三象限经过第二、三、四象限不经过：第一象限经过第二、四象限不经过：第一、三象限增减性（单调性）：图象从左到右下降，y随x的增大而减小，单调减必过点：经过（，0）和（0，b）两点，正比例函数即是经过原点（0，0） 12、两直线之间的位置关系（平行或相交）：平行：相交：将两直线方程联立成一个方程组， ，解得结果，即为交点。13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 反比例函数图象和性质【知识梳理】一、反比例函数的基础知识1、定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成2、解析式：（为常数，）注：反比例函数解析式的特征：等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.比例系数自变量的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母0）函数的取值是一切非零实数。3、增减性（单调性）： k>0，y随x的增大而减小（单调减）；k<0，y随x增大而增大（单调增）4、反比例函数的图象：双曲线（1）图像的画法：描点法 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）（3）反比例函数（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（4）比例系数的几何含义（右图）：反比例函数y (k0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y (k0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积(阴影面积)为 .（由y变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以k取绝对值。）5、反比例函数性质如下表：k的符号oyxk0yxok0图像的大致位置经过象限第 象限第 象限增减性（单调性：单调区间内讨论）在每一象限内，从左到右看，y随x的增大而减小 ；（-，0）U（0，+）区间内，单调减 在每一象限内,从左到右看y随x的增大而增大 （-，0）U（0，+）区间内，单调增 图像的对称性中心称图形，对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=-x 二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：1定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域（x的取值范围）：全体实数，R2. 解析式（表达式）：一般式：（，是常数）：说明： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项补充：二次函数解析式的表示方法（三种）一般式：（，为常数，）；顶点式：（，为常数，）；抛物线的顶点P（h，k） 两根式（交点式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.仅限于与x轴有两个交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即0 其中 (即一元二次方程求根公式)注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: 3、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4、二次函数图象的画法五点绘图法： 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标; 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.3、 二次函数的图像：抛物线（1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）（2）抛物线有一个顶点P，当=0时，P在y轴上；当= =0时，P在x轴上。4、 a.b.c与抛物线的关系（是二次项系数，是一次项系数，是常数项）y=5x2y=x2xy（1）a决定抛物线的开口方向和大小：开口方向：a为正(a0)，开口朝上，有最小值；a为负(a0)，开口朝下，有最大值；开口大小：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（2）a、b共同决定的符号决定对称轴的位置，分两种情况：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧。概括的说就是“左同右异” （3）常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c），分三种情况： 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的6、抛物线与x轴交点个数= 0时，抛物线与x轴有2个交点。A（x1,0）和B（x2,0）=0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点P= 0时，抛物线与x轴没有交点。y=0x0yx0yxABP配图：开口向上(开口向下，情况类似)7、类比一元二次方程的根的情况：特别地，二次函数（以下称函数）当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 8、二次函数的图像和性质0yxO0图 象开 口对 称 轴顶点坐标最 值当x 时，y有最 值，y当x 时，y有最 值，y增减性在对称轴左侧y随x的增大而 y 随x的增大而 在对称轴右侧y随x的增大而 y随x的增大而 10、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）专心-专注-专业