高等代数习题及答案).doc

高等代数试卷一、推断题以下命题你以为准确的在题后括号内打“，错的打“×；每题1分，共10分1、p(x)假定是数域F上的弗成约多项式，那么p(x)在F中肯定不根。2、假定线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法那么知，那个线性方程组必定是无解的。3、实二次型(,)fxxx正定的充要前提是它的标记差为n。12n34、Wx1,x,xxR,i1,2,3;xxx23i123是线性空间R的一个子空间。5、数域F上的每一个线性空间都有基跟维数。6、两个n元实二次型可以用满秩线性变更相互转化的充要前提是它们有一样的正惯性指数跟负惯性指数。7、零变更跟单元变更基本上数乘变更。8、线性变更的属于特点根的特点向量只要无限个。09、欧氏空间V上的线性变更是对称变更的充要前提为对于规范正交基的矩阵为实对称矩阵。nn10、假定1,2是欧氏空间V的规范正交基，且xi，那么ixi2。ni1i1二、单项选择题从以下各题四个备选谜底当选出一个准确谜底，并将其号码写在题干前面的括号内。谜底选错或未作选择者，该题无分。每题1分，共10分1、对于多项式的最至公因式的以下命题中，过错的选项是nnnfx,gxfx,gx；f,f,fn1fi,fj1,ij,i,j1,2,n；12fx,gxfxgx,gx；假定fx,gx1fxgx,fxgx1。2、设D是一个n阶行列式，那么行列式与它的转置行列式相称；D中两行调换，那么行列式稳定标记；假定D0，那么D中必有一行满是零；假定D0，那么D中必有两行成比例。3、设矩阵A的秩为r(r>1)，那么A中每个s(s<r)阶子式都为零；能够存在不为零的r1阶子式；A中每个r阶子式都不为零；A中确信有不为零的r阶子式。A中4、设nfx,x,x为元实二次型，那么fx,x,x负定的充要前提为12n12n负惯性指数=f的秩；正惯性指数=0；标记差=n；f的秩=n。5、设1,2是线性空间V的一个向量组，它是线性有关的充要前提为mm任一组不全为零的数k,k,k，都有ki0；12mii1m任一组数k,k,k，有ki0；12mii1m当k1k2km0时，有ki0；ii1m任一组不全为零的数k,k,k，都有ki0。12mii16、假定nVW,W基本上维线性空间的子空间，那么12维W+维WW=维W+维WW；维WW=维W+维W；1122121212维W+维WW=维W+维WW；112212维W-维WW=维WW-维W。1121227、设是n维线性空间V的线性变更，那么以下过错的说法是是单射的亏=0；是满射的秩=n；是可逆的核=0；是双射是单元变更。8、统一个线性变更在差别基下的矩阵是条约的；类似的；相称的；正交的。9、设V是n维欧氏空间，那么V中的元素存在如下性子假定,；假定；假定,11；假定,>0。10、欧氏空间R3中的规范正交基是1,0,1111111,;0,0,1；22;,0,;0,1,0；,0;222222111,333111,;0,0,0；1,1,1;1,1,1;1,1,133;,3三、填空题将准确的内容填在各题干涉备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空2分，共20分1、多项式f(x)x4x22在实数域R上的规范剖析为。0a0bc00d2、应用行列式的性子可知四阶行列式的值为000e00fg3、假定一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增广矩阵的秩即是。4、在线性空间V中，界说此中是V中一个牢固向量，00那么当时，是V的一个线性变更。05、实对称矩阵的属于差别特点根的特点向量是相互6、n阶实对称矩阵的聚集按条约分类，可分为的。类。7、假定基到的过渡矩阵为P，而向量对于基跟的坐标分不为X跟Y，那么着两个坐标的关联是。8、设W是线性空间V的非空子集，假定W对V的加法跟数乘，那么称W为V的子空间。ab9、假定线性变更对于基，那么对于基32,的矩阵为的矩阵112cd为。10、两个欧氏空间同构的充要前提是它们有。四、改错题请在以下命题中你以为过错的地点划线，并将准确的内容写在准备的横线下面。指犯过错1分，改正过错2分。每题3分，共15分'1、假如p(x)是f(x)的导数()fx的k1重因式，那么p(x)确实是f(x)的k重因式。2、假定线性方程组AXB响应的齐次线性方程组AX0有无量多解，那么AXB也有无量多解。3、设A是一个mn矩阵，假定用m阶初等矩阵E35,4右乘A，那么相称对A实施了一次“A的第三列乘5加到第四列的初等变更。4、假定FA,基本上数域上的方阵的属于特点根的特点向量，那么任取012k,k2F,k11k2也是A的属于的特点向量。2015、设是欧氏空间V的线性变更，那么是正交变更的充沛须要前提是非零向量的夹角。能坚持任二个五、盘算题每题10分，共40分1、盘算n阶行列式2、用响应的齐次线性方程组的根底解系表现以下线性方程组的全体解1232231303、解矩阵方程4X102710781010,0001,0000,00014、设的一个基，而是MF212341023,12,1112,1213是另一组基，求由,3,2到4123415222541,3,2的过渡矩阵，并求向量在21,3,2下的坐标。449六、证实题设,是三维欧氏空间V的一个规范正交基，试证：123也是V的一个规范正交基。初等代数试卷参考解答一、推断题12345678910××××二、单项选择题12345678910三、填空题1、x11x2223、4；4、0；x；、acef；n1n2215、正交；6、；7、YPX；、封锁；8cd9、；10、一样的维数。33ab四、改错题'1、假如p(x)是f(x)的导数()k1重因式，那么p(x)确实是f(x)的重因式。kfx的'p(x)是f(x)的因式且是f(x)的k1重因式2、假定线性方程组AXB响应的齐次线性方程组AX0有无量多解，那么AXB也有无量多解。当AX=B有解时，AX=B也有无量多解3、设A是一个mn矩阵，假定用m阶初等矩阵E35,4右乘A，那么相称对A实施了一次“A的第三列乘5加到第四列的初等变更。A的第4列乘5加到第3列4、假定FA,基本上数域上的方阵的属于特点根的特点向量，那么任取012k,k2F,k11k2也是A的属于的特点向量。201事先k1k20时，k1k2是A的属于的特点向量201215、设是欧氏空间V的线性变更，那么是正交变更的充沛须要前提是能坚持任二个非零向量的夹角。须要前提