2017年山东省济宁市中考数学试卷.doc

2017 年山东省济宁市中考数学试卷年山东省济宁市中考数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）选项中，只有一项符合题目要求）1 （3 分）的倒数是（ ）A6B6CD2 （3 分）单项式 9xmy3与单项式 4x2yn是同类项，则 m+n 的值是（ ）A2B3C4D53 （3 分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）ABCD4 （3 分）某桑蚕丝的直径约为 0.000016 米，将 0.000016 用科学记数法表示是（ ）A1.6×104B1.6×105C1.6×106D16×1045 （3 分）下列几何体中，主视图、俯视图、左视图都相同的是（ ）ABCD6 （3 分）若+1 在实数范围内有意义，则 x 满足的条件是（ ）AxBxCx=Dx7 （3 分）计算（a2）3+a2a3a2÷a3，结果是（ ）A2a5aB2a5Ca5Da68 （3 分）将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是（ ）ABCD9 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90°，AC=BC=1，将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到 RtADE，点 B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）ABCD10 （3 分）如图，A，B 是半径为 1 的O 上两点，且 OAOB，点 P 从点 A 出发，在O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点 A 运动结束，设运动时间为 x（单位：s） ，弦 BP 的长为 y，那么下列图象中可能表示 y 与 x 函数关系的是（ ）ABC或 D或二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分）11 （3 分）分解因式：ma2+2mab+mb2= 12 （3 分）请写出一个过点（1，1） ，且与 x 轴无交点的函数解析式： 13 （3 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱 48 文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有 x 文钱，乙原有 y 文钱，可列方程组是 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点 P（a，b） ，则 a 与 b 的数量关系是 15 （3 分）如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1的边长为 1，它的六条对角线又围成一个正六边形 A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形 A4B4C4D4E4F4的面积是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 55 分）分）16 （5 分）解方程：=117 （7 分）为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图：请根据以上两图解答下列问题：（1）该班总人数是 ；（2）根据计算，请你补全两个统计图；（3）观察补全后的统计图，写出一条你发现的结论18 （7 分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个 30元市场调查发现，这种双肩包每天的销售量 y（单位：个）与销售单价 x（单位：元）有如下关系：y=x+60（30x60） 设这种双肩包每天的销售利润为 w 元（1）求 w 与 x 之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 48 元，该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售利润，销售单价应定为多少元？19 （8 分）如图，已知O 的直径 AB=12，弦 AC=10，D 是的中点，过点 D作 DEAC，交 AC 的延长线于点 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）求 AE 的长20 （8 分）实验探究：（1）如图 1，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN，MN请你观察图 1，猜想MBN 的度数是多少，并证明你的结论（2）将图 1 中的三角形纸片 BMN 剪下，如图 2，折叠该纸片，探究 MN 与 BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论21 （9 分）已知函数 y=mx2（2m5）x+m2 的图象与 x 轴有两个公共点（1）求 m 的取值范围，并写出当 m 取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为 C1，当 nx1 时，y 的取值范围是 1y3n，求 n 的值；函数 C2：y=m（xh）2+k 的图象由函数 C1的图象平移得到，其顶点 P 落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上，设函数 C1的图象顶点为 M，求点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的解析式22 （11 分）定义：点 P 是ABC 内部或边上的点（顶点除外） ，在PAB，PBC，PCA 中，若至少有一个三角形与ABC 相似，则称点 P 是ABC 的自相似点例如：如图 1，点 P 在ABC 的内部，PBC=A，PCB=ABC，则BCPABC，故点 P 是ABC 的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点 M 是曲线 y=（x0）上的任意一点，点 N 是 x轴正半轴上的任意一点（1）如图 2，点 P 是 OM 上一点，ONP=M，试说明点 P 是MON 的自相似点；当点 M 的坐标是（，3） ，点 N 的坐标是（，0）时，求点 P 的坐标；（2）如图 3，当点 M 的坐标是（3，） ，点 N 的坐标是（2，0）时，求MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点 M 和点 N，使MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由2017 年山东省济宁市中考数学试卷年山东省济宁市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）选项中，只有一项符合题目要求）1 （3 分） （2017济宁）的倒数是（ ）A6B6CD【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得答案【解答】解：的倒数是 6故选：A【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键2 （3 分） （2017济宁）单项式 9xmy3与单项式 4x2yn是同类项，则 m+n 的值是（ ）A2B3C4D5【分析】根据同类项的定义，可得 m，n 的值，根据有理数的加法，可得答案【解答】解：由题意，得m=2，n=3m+n=2+3=5，故选：D【点评】本题考查了同类项，利用同类项的定义得出 m，n 的值是解题关键3 （3 分） （2017济宁）下列图形中是中心对称图形的是（ ）ABCD【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误故选 C【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合4 （3 分） （2017济宁）某桑蚕丝的直径约为 0.000016 米，将 0.000016 用科学记数法表示是（ ）A1.6×104B1.6×105C1.6×106D16×104【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.000016=1.6×105；故选；B【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10n，其中1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定5 （3 分） （2017济宁）下列几何体中，主视图、俯视图、左视图都相同的是（ ）ABCD【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：A、三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，故此选项不符合题意；B、球的主视图、左视图、俯视图都是半径相同的圆，故此选项符合题意；C、圆锥体的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆及圆心，故此选项不符合题意；D、长方体的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是长方形，但是每个长方形的长与宽不完全相同，故此选项不符合题意；故选：B【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中6 （3 分） （2017济宁）若+1 在实数范围内有意义，则 x 满足的条件是（ ）AxBxCx=Dx【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出 x 的值【解答】解：由题意可知：解得：x=故选（C）【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型7 （3 分） （2017济宁）计算（a2）3+a2a3a2÷a3，结果是（ ）A2a5aB2a5Ca5Da6【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则化简求出答案【解答】解：（a2）3+a2a3a2÷a3=a6+a5a5=a6故选：D【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键8 （3 分） （2017济宁）将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是（ ）ABCD【分析】画树状图展示所以 12 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的结果数为2，所以两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率=故选 B【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率9 （3 分） （2017济宁）如图，在 RtABC 中，ACB=90°，AC=BC=1，将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到 RtADE，点 B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）ABCD【分析】先根据勾股定理得到 AB=，再根据扇形的面积公式计算出 S扇形ABD，由旋转的性质得到 RtADERtACB，于是 S阴影部分=SADE+S扇形 ABDSABC=S扇形 ABD【解答】解：ACB=90°，AC=BC=1，AB=，S扇形 ABD=又RtABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 RtADE，RtADERtACB，S阴影部分=SADE+S扇形 ABDSABC=S扇形 ABD=故选：A【点评】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形 ABD 的面积是解题的关键10 （3 分） （2017济宁）如图，A，B 是半径为 1 的O 上两点，且 OAOB，点 P 从点 A 出发，在O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点 A 运动结束，设运动时间为 x（单位：s） ，弦 BP 的长为 y，那么下列图象中可能表示 y 与 x 函数关系的是（ ）ABC或 D或【分析】分两种情形讨论当点 P 顺时针旋转时，图象是，当点 P 逆时针旋转时，图象是，由此即可解决问题【解答】解：当点 P 顺时针旋转时，图象是，当点 P 逆时针旋转时，图象是，故答案为，故选 D【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分）11 （3 分） （2017济宁）分解因式：ma2+2mab+mb2= m（a+b）2 【分析】原式提取 m，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式=m（a2+2ab+b2）=m（a+b）2，故答案为：m（a+b）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12 （3 分） （2017济宁）请写出一个过点（1，1） ，且与 x 轴无交点的函数解析式： y=（答案不唯一） 【分析】反比例函数的图象与坐标轴无交点【解答】解：反比例函数图象与坐标轴无交点，且反比例函数系数 k=1×1=1，所以反比例函数 y=（答案不唯一）符合题意故答案可以是：y=（答案不唯一） 【点评】本题考查了反比例函数的性质，此题属于开放题，答案不唯一，若是二次函数也符合题意13 （3 分） （2017济宁） 孙子算经是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱 48 文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有 x 文钱，乙原有 y 文钱，可列方程组是 【分析】根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱 48 文，可以列出方程组，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，故答案为：【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组14 （3 分） （2017济宁）如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点 P（a，b） ，则 a 与 b 的数量关系是 a+b=0 【分析】根据作图方法可得点 P 在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得 a 与 b 的数量关系为互为相反数【解答】解：根据作图方法可得，点 P 在第二象限角平分线上，点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等，即|b|=|a|，又点 P（a，b）第二象限内，b=a，即 a+b=0，故答案为：a+b=0【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，解题时注意：第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，得出 P 点位置是解题关键15 （3 分） （2017济宁）如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1的边长为 1，它的六条对角线又围成一个正六边形 A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 【分析】由正六边形的性质得：A1B1B2=90°，B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，由直角三角形的性质得出 B1B2=A1B1=，A2B2=A1B2=B1B2=，由相似多边形的性质得出正六边形 A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形 A1B1C1D1E1F1的面积=，求出正六边形 A1B1C1D1E1F1的面积=，得出正六边形 A2B2C2D2E2F2的面积，同理得出正六边形 A4B4C4D4E4F4的面积【解答】解：由正六边形的性质得：A1B1B2=90°，B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，B1B2=A1B1=，A2B2=A1B2=B1B2=，正六边形 A1B1C1D1E1F1正六边形 A2B2C2D2E2F2，正六边形 A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形 A1B1C1D1E1F1的面积=（）2=，正六边形 A1B1C1D1E1F1的面积=6××1×=，正六边形 A2B2C2D2E2F2的面积=×=，同理：正六边形 A4B4C4D4E4F4的面积=（）3×=；故答案为：【点评】本题考查了正六边形的性质、相似多边形的性质、正六边形面积的计算等知识；熟练掌握正六边形的性质，由相似多边形的性质得出规律是关键三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 55 分）分）16 （5 分） （2017济宁）解方程：=1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2x=x2+1，移项合并得：x=1，经检验 x=1 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根17 （7 分） （2017济宁）为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图：请根据以上两图解答下列问题：（1）该班总人数是 40 ；（2）根据计算，请你补全两个统计图；（3）观察补全后的统计图，写出一条你发现的结论【分析】 （1）利用折线统计图结合条形统计图，利用优秀人数÷优秀率=总人数求出即可；（2）分别求出第四次模拟考试的优秀人数以及第三次的优秀率即可得出答案；（3）利用已知条形统计图以及折线统计图分析得出答案【解答】解：（1）由题意可得：该班总人数是：22÷55%=40（人） ；故答案为：40；（2）由（1）得，第四次优秀的人数为：40×85%=34（人） ，第三次优秀率为：×100%=80%；如图所示：；（3）答案不唯一，如优秀人数逐渐增多，增大的幅度逐渐减小等【点评】此题主要考查了条形统计图以及折线统计图，利用图形获取正确信息是解题关键18 （7 分） （2017济宁）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个 30 元市场调查发现，这种双肩包每天的销售量 y（单位：个）与销售单价 x（单位：元）有如下关系：y=x+60（30x60） 设这种双肩包每天的销售利润为 w 元（1）求 w 与 x 之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 48 元，该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售利润，销售单价应定为多少元？【分析】 （1）每天的销售利润 W=每天的销售量×每件产品的利润；（2）根据配方法，可得答案；（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【解答】解：（1）w=（x30）y=（x+60） （x30）=x2+30x+60x1800=x2+90x1800，w 与 x 之间的函数解析式 w=x2+90x1800；（2）根据题意得：w=x2+90x1800=（x45）2+225，10，当 x=45 时，w 有最大值，最大值是 225（3）当 w=200 时，x2+90x1800=200，解得 x1=40，x2=50，5048，x2=50 不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售利润，销售单价应定为 40元【点评】本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法19 （8 分） （2017济宁）如图，已知O 的直径 AB=12，弦 AC=10，D 是的中点，过点 D 作 DEAC，交 AC 的延长线于点 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）求 AE 的长【分析】 （1）连接 OD，由 D 为弧 BC 的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出 OD 与 AE 平行，利用两直线平行同旁内角互补得到 OD 与DE 垂直，即可得证；（2）过 O 作 OF 垂直于 AC，利用垂径定理得到 F 为 AC 中点，再由四边形OFED 为矩形，求出 FE 的长，由 AF+EF 求出 AE 的长即可【解答】 （1）证明：连接 OD，D 为的中点，=，BOD=BAE，ODAE，DEAC，ADE=90°，AED=90°，ODDE，则 DE 为圆 O 的切线；（2）解：过点 O 作 OFAC，AC=10，AF=CF=AC=5，OFE=DEF=ODE=90°，四边形 OFED 为矩形，FE=OD=AB，AB=12，FE=6，则 AE=AF+FE=5+6=11【点评】此题考查了切线的性质与判定，勾股定理，以及垂径定理，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键20 （8 分） （2017济宁）实验探究：（1）如图 1，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN，MN请你观察图 1，猜想MBN 的度数是多少，并证明你的结论（2）将图 1 中的三角形纸片 BMN 剪下，如图 2，折叠该纸片，探究 MN 与 BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论【分析】 （1）猜想：MBN=30°只要证明ABN 是等边三角形即可；（2）结论：MN=BM折纸方案：如图，折叠BMN，使得点 N 落在 BM 上O 处，折痕为 MP，连接 OP由折叠可知MOPMNP，只要证明MOPBOP，即可推出 MO=BO=BM；【解答】解：（1）猜想：MBN=30°理由：如图 1 中，连接 AN，直线 EF 是 AB 的垂直平分线，NA=NB，由折叠可知，BN=AB，AB=BN=AN，ABN 是等边三角形，ABN=60°，NBM=ABM=ABN=30°（2）结论：MN=BM折纸方案：如图 2 中，折叠BMN，使得点 N 落在 BM 上 O 处，折痕为 MP，连接 OP理由：由折叠可知MOPMNP，MN=OM，OMP=NMP=OMN=30°=B，MOP=MNP=90°，BOP=MOP=90°，OP=OP，MOPBOP，MO=BO=BM，MN=BM【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、剪纸问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由翻折变换添加辅助线，属于中考常考题型21 （9 分） （2017济宁）已知函数 y=mx2（2m5）x+m2 的图象与 x 轴有两个公共点（1）求 m 的取值范围，并写出当 m 取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为 C1，当 nx1 时，y 的取值范围是 1y3n，求 n 的值；函数 C2：y=m（xh）2+k 的图象由函数 C1的图象平移得到，其顶点 P 落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上，设函数 C1的图象顶点为 M，求点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的解析式【分析】 （1）函数图形与 x 轴有两个公共点，则该函数为二次函数且0，故此可得到关于 m 的不等式组，从而可求得 m 的取值范围；（2）先求得抛物线的对称轴，当 nx1 时，函数图象位于对称轴的左侧，y随 x 的增大而减小，当当 x=n 时，y 有最大值3n，然后将 x=n，y=3n 代入求解即可；（3）先求得点 M 的坐标，然后再求得当 MP 经过圆心时，PM 有最大值，故此可求得点 P 的坐标，从而可得到函数 C2的解析式【解答】解：（1）函数图象与 x 轴有两个交点，m0 且（2m5）24m（m2）0，解得：m且 m0m 为符合条件的最大整数，m=2函数的解析式为 y=2x2+x（2）抛物线的对称轴为 x=nx1，a=20，当 nx1 时，y 随 x 的增大而减小当 x=n 时，y=3n2n2+n=3n，解得 n=2 或 n=0（舍去） n 的值为2（3）y=2x2+x=2（x+）2，M（，） 如图所示：当点 P 在 OM 与O 的交点处时，PM 有最大值设直线 OM 的解析式为 y=kx，将点 M 的坐标代入得：k=，解得：k=OM 的解析式为 y=x设点 P 的坐标为（x，x） 由两点间的距离公式可知：OP=，解得：x=2 或 x=2（舍去） 点 P 的坐标为（2，1） 当点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的解析式为 y=2（x2）2+1【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，找出 PM 取得最大值的条件是解题的关键22 （11 分） （2017济宁）定义：点 P 是ABC 内部或边上的点（顶点除外） ，在PAB，PBC，PCA 中，若至少有一个三角形与ABC 相似，则称点 P 是ABC 的自相似点例如：如图 1，点 P 在ABC 的内部，PBC=A，PCB=ABC，则BCPABC，故点 P 是ABC 的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点 M 是曲线 y=（x0）上的任意一点，点 N 是 x轴正半轴上的任意一点（1）如图 2，点 P 是 OM 上一点，ONP=M，试说明点 P 是MON 的自相似点；当点 M 的坐标是（，3） ，点 N 的坐标是（，0）时，求点 P 的坐标；（2）如图 3，当点 M 的坐标是（3，） ，点 N 的坐标是（2，0）时，求MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点 M 和点 N，使MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由ONP=M，NOP=MON，得出NOPMON，证出点P 是MON 的自相似点；过 P 作 PDx 轴于 D，则 tanPOD=，求出AON=60°，由点 M 和 N 的坐标得出MNO=90°，由相似三角形的性质得出NPO=MNO=90°，在 RtOPN 中，由三角函数求出OP=，OD=，PD=，即可得出答案；（2）作 MHx 轴于 H，由勾股定理求出 OM=2，直线 OM 的解析式为y=x，ON=2，MOH=30°，分两种情况：作 PQx 轴于 Q，由相似点的性质得出 PO=PN，OQ=ON=1，求出 P 的纵坐标即可；求出 MN=2，由相似三角形的性质得出，求出PN=，在求出 P 的横坐标即可；（3）证出 OM=2=ON，MON=60°，得出MON 是等边三角形，由点 P 在MON 的内部，得出PONOMN，PNOMON，即可得出结论【解答】解：（1）ONP=M，NOP=MON，NOPMON，点 P 是MON 的自相似点；过 P 作 PDx 轴于 D，则 tanPOD=，AON=60°，当点 M 的坐标是（，3） ，点 N 的坐标是（，0） ，MNO=90°，NOPMON，NPO=MNO=90°，在 RtOPN 中，OP=ONcos60°=，OD=OPcos60°=×=，PD=OPsin60°=×=，P（，） ；（2）作 MHx 轴于 H，如图 3 所示：点 M 的坐标是（3，） ，点 N 的坐标是（2，0） ，OM=2，直线 OM 的解析式为 y=x，ON=2，MOH=30°，分两种情况：如图 3 所示：P 是MON 的相似点，PONNOM，作 PQx 轴于 Q，PO=PN，OQ=ON=1，P 的横坐标为 1，y=×1=，P（1，） ；如图 4 所示：由勾股定理得：MN=2，P 是MON 的相似点，PNMNOM，即，解得：PN=，即 P 的纵坐标为，代入 y=得：=x，解得：x=2，P（2，） ；综上所述：MON 的自相似点的坐标为（1，）或（2，） ；（3）存在点 M 和点 N，使MON 无自相似点，M（，3） ，N（2，0） ；理由如下：M（，3） ，N（2，0） ，OM=2=ON，MON=60°，MON 是等边三角形，点 P 在MON 的内部，PONOMN，PNOMON，存在点 M 和点 N，使MON 无自相似点【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了相似三角形的性质、相似点的判定与性质、三角函数、坐标与图形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、直线解析式的确定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相似点的判定与性质是解决问题的关键