超几何分布教案--高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.docx

第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布7.4.2 超几何分布 教学设计一、教学目标1. 理解超几何分布，能够判定随机变量是否服从超几何分布；2. 会求服从超几何分布的随机变量的均值，能够利用超几何分布模型解决实际问题.二、教学重难点1. 教学重点通过具体实例，了解超几何分布.2. 教学难点能利用超几何分布解决简单的实际问题.三、教学过程（一）新课导入复习：二项分布.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作.（二）探索新知思考：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即.思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么？采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.可以根据古典概型求X的分布列.由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4.从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有k件次品的结果数为.由古典概型的知识，得X的分布列为.计算的具体结果（精确到0.00001）如表所示.X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，.其中，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.例1 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且.因此甲被选中的概率为.例2 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.解：设抽取的10个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且，.的分布列为.至少有1件不合格的概率为.也可以按如下方法求解：.思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想，即.实际上，由随机变量均值的定义，令，有.因为，所以.二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.（三）课堂练习1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X答案：B解析：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布.故选B.2.有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则( )A.2B.2.5C.3D.3.5答案：B解析：方法一：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.故随机变量X的分布列为X1234P所以随机变量X的数学期望.故选B.方法二：已知X服从参数为8，4，5的超几何分布，所以.故选B.3.在10个排球中有6个正品，4个次品.从中任意抽取4个，则抽到的正品数比次品数少的概率为( )A.B.C.D.答案：A解析：抽到的正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，抽到0个正品4个次品的概率，抽到1个正品3个次品的概率，所以抽到的正品数比次品数少的概率为.故选A.4.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们选修不同课程的概率是_.答案：解析：随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中，.依题意所求概率为.5.箱中装有4个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的3个球所得分之和.（1）若，求m的值；（2）当时，求X的分布列.答案：（1）由题意得，只有当取出的3个球都是白球时，随机变量，即.所以.（2）由题意得，当时，X的可能取值为3，4，5，6.X的分布列为X3456P（四）小结作业小结：1. 超几何分布的概念及均值；2. 利用超几何分布解决简单的实际问题.作业：四、板书设计7.4.2超几何分布1. 概念：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为.其中，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.2. 均值：.学科网（北京）股份有限公司