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双曲线标准方程1 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date一、复习与问题一、复习与问题1，椭圆的第一定义是什么？平面内与两定点平面内与两定点F1，F2的距离的的距离的和和等于常等于常数（大于数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。）的点的轨迹叫做椭圆。F1F2MM定义定义图图象象标准标准方程方程焦点焦点a,b,ca,b,c的的关系关系|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）xyoF1F2 MyoxF1F2M12222 byax12222 bxaya2=b2+c2 (c,0), (c,0)(0, c) ,(0, c)（ab0）（ab0）平面内与两定点平面内与两定点F1，F2的距离的的距离的和和等于等于常数的点的轨迹叫做椭圆。常数的点的轨迹叫做椭圆。平面内与两定点平面内与两定点F1，F2的距离的的距离的 为非为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？F1F2思 考差差一、一、复习与问题复习与问题定义：平面内与两个定点定义：平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的差的的距离的差的绝对值绝对值等等于于非零非零常数（常数（小于小于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫双曲线。）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点这两个定点叫双曲线的焦点, ,两焦点的距离叫双曲线的两焦点的距离叫双曲线的焦距焦距. .思 考：平面内与两平面内与两定点定点F1，F2的的距离的差为距离的差为非零常数的非零常数的点的轨迹是点的轨迹是什么？什么？A1A2OF1F2M此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数(小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线。则|MF1|=|MF2|F1F2M2.定义中这个常数2a能否为0？ (|F1F2|记为2c； 常数记为2a)若常数2a= |MF1|MF2| =0（1）2a0 ；注意注意试说明在下列条件下试说明在下列条件下动点动点M的轨迹各是什么图形？的轨迹各是什么图形？（F1、F2是两定点是两定点, |F1F2| =2c (a,c为正常数为正常数) 当当|MF1|-|MF2|=2a时，点时，点M的轨迹的轨迹 ； 当当|MF2|-|MF1|=2a时，点时，点M的轨迹的轨迹 ； 当当a=c时，动点时，动点M的轨迹的轨迹 ； 当当ac时，动点时，动点M的轨迹的轨迹 . 因此，在应用定义时，首先要考查因此，在应用定义时，首先要考查 .双曲线的右支双曲线的右支双曲线的左支双曲线的左支以以F1、F2为为端点的两条射线端点的两条射线不存在不存在2a与与2c的大小的大小线段线段F1F2的垂直平分线的垂直平分线F1F2MF1F2M|MF|MF1 1| |MF|MF2 2| =2a,| =2a,当当a=0时，动点时，动点M的是轨迹的是轨迹_.xyo如图建立坐标系，使如图建立坐标系，使x x轴经过轴经过F F1 1、F F2 2， 并并且原点且原点O O与线段与线段F F1 1F F2 2的中点重合。设的中点重合。设M(M(x , x , y y) )为双曲线上任一点为双曲线上任一点, ,双曲线焦距为双曲线焦距为2 2c c( (c c0),0),则则F F1 1( (c c,0), F,0), F2 2( (c c,0),0)F1F2M二、双曲线的标准方程： P= M |MF1 | - | MF2| = + 2a _cx -a2=a (x-c)2+y2 移项平方整理得移项平方整理得再次平方，得再次平方，得： (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)由双曲线的定义知由双曲线的定义知，2c2a,即即ca,故故c2-a20,令令c c2 2-a-a2 2=b=b2 2, ,其中其中b0,b0,代入整理得：代入整理得：2 2a ay yc c) )( (x xy yc c) )( (x x2 22 22 22 2 =x2a2-y2b21(a0,b0)xyoF1F2MyxxyoF1F2二、双曲线的标准方程：=x2a2-y2b21(a0,b0)方程方程叫做双曲线的标准方程叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在它表示的双曲线焦点在x轴上，轴上，焦点为焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且且c2=a2+b2MyxxyoF1F2MyxxyoF1F2MyxxyoF1F2MyxyxyxF2F1MyxoyxyxF2F1Myoxy-x=x2a2-y2b21(a0,b0)(-x)2x2y2方程方程叫做双曲线的标准方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在它表示的双曲线焦点在y轴上，轴上，焦点为焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且且c2=a2+b2（1）双曲线的标准方程用减号）双曲线的标准方程用减号 “-” 连接；连接；（2）双曲线方程中）双曲线方程中a0,b0,但但a不一定大于不一定大于b说明说明：（3）如果）如果x2的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在x轴上；轴上； 如果如果y2的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在y轴上；轴上；（4）双曲线标准方程中，）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是的关系是c2=a2+b2；（5）双曲线的标准方程可统一写成）双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1（AB0)F ( c, 0)12222 byax12222 bxayyxoF2F1MxyF2F1MF(0, c)位置位置焦点在焦点在X轴上轴上焦点在焦点在Y轴上轴上图形图形方程方程共性共性1、两种方程中，总有、两种方程中，总有a0 b02、 a、 b、c 满足关系式满足关系式a2+b2=c23、F2F1MxOyOMF2F1xy12222byax12222bxay定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab15151925) 1 (2222yxyx和143134)2(2222xyyx和3, 5),0 , 4(ba焦点1,15),0 , 4(ba焦点3, 2),0 , 1(ba焦点2, 3),7, 0(ba焦点191622yx练习练习2. 直接写出适合下列条件的双曲线的标准方程：直接写出适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a=4，b=3，焦点在，焦点在x轴上；轴上； (2)a=2 ，经过点，经过点A(2，-5)，焦点在，焦点在y轴上轴上.52212016yx一、巩固练习一、巩固练习1. 焦点在焦点在x轴上的双曲线的标准方程是轴上的双曲线的标准方程是_,焦点为焦点为_.焦点在焦点在y轴上的双曲线的标准方程轴上的双曲线的标准方程 是是 ,焦点为焦点为_,其中其中_. 12222bxay12222byaxc2=a2+b24. 过双曲线过双曲线 的焦点且垂直于的焦点且垂直于x轴的弦的长度轴的弦的长度 为为 .14322yx3382. 双曲线双曲线 的焦点坐标是的焦点坐标是 .1422ykx),(k 403. 方程方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是表示双曲线的充要条件是_.AB 0( c, 0)(0, c)例例1 已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上，双曲线上一点一点P到到F1、F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6，若双曲线上若双曲线上有一点，有一点， 且且|F1|=10,则则|F2|=_。若若|F1|=7，则，则|F2|=_。 4或或1613例例2 2: :证明椭圆证明椭圆 与双曲线与双曲线19y25x22 x x2 2-15y-15y2 2=15=15的焦点相同的焦点相同. .上题的椭圆与双曲线的一个交点为上题的椭圆与双曲线的一个交点为P P，焦点为焦点为F F1 1,F,F2 2, ,求求|PF|PF1 1|.|.变式变式: :|PF1|+|PF2|=10, .152|PF|PF|21 分析分析: :例例3 3: :如果方程如果方程 表示双曲线，表示双曲线， 求求m m的取值范围的取值范围. .22121xymm1m 或或2m 10220mmm 变式二变式二:22121xymm2m1变式一变式一:22121xymm例例4:化简化简2222(3)(3)4xyxy使结果不含根式使结果不含根式.22145yx0y 答案：例例4.已知已知A、B两地相距两地相距800m，在，在A处听到处听到炮弹爆炸声的时间比在炮弹爆炸声的时间比在B处晚处晚2s, 且声速为且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程，求炮弹爆炸点的轨迹方程思考：如果思考：如果A，B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？什么曲线上？为什么？ 例例5.已知已知F1、F2为双曲线为双曲线 的焦点，弦的焦点，弦MN过过F1且且M,N在同一支上，若在同一支上，若|MN|=7, 求求MF2N的的周长周长.191622yxF2F1MNxyo例例6.已知双曲线已知双曲线16x2-9y2=144 求焦点的坐标；求焦点的坐标； 设设P为双曲线上一点，且为双曲线上一点，且|PF1| |PF2|=32，求，求 ； 设设P为双曲线上一点，且为双曲线上一点，且 F1PF2=120 ，求，求 . 21PFFS21PFFS1. 双曲线的定义、焦点、焦距概念；2. 双曲线标准方程的推导过程：3. 双曲线标准方程的两种形式及其与 焦点位置的关系：4. 与双曲线的定义和标准方程有关的三个参数a、b、c间的关系。a a、b b、c c都为正数且都为正数且c c最大；结构类最大；结构类似勾股定理，为似勾股定理，为c c2 2=a=a2 2+b+b2 2。的轨迹方程。求顶点,的对边）、分别为、( ，21若)0 ,4(，)0 ,4(中，.练习：CCBAcbacbaBAABC