2022年第十一章全等三角形教案 .pdf

名师精编优秀教案111 全等三角形教学目标 1 知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边教学重点全等三角形的性质教学难点找全等三角形的对应边、对应角教学过程提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？C1B1CABA1这两个三角形是完全重合的 2学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样 3获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形要是把两个图形放在一起，能够完全重合，?就可以说明这两个图形的形状、大小相同概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形请同学们类推得出全等三角形的概念， 并理解对应顶点、 对应角、对应边的含义 仔细阅读课本中 “全等”符号表示的要求导入新课利用投影片演示将ABC 沿直线 BC平移得 DEF ；将 ABC 沿 BC翻折 180得到 DBC ；将 ABC旋转 180得 AED 甲DCABFE乙DCAB丙DCABE议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：ABC DEF ，ABC DBC ，ABC AED （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页名师精编优秀教案启示：一个图形经过平移、 翻折、旋转后， 位置变化了， ?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等 例 1 如图，OCA OBD ，C和 B，A和 D是对应顶点， ?说出这两个三角形中相等的边和角问题：OCA OBD ，说明这两个三角形可以重合， ?思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将OCA 翻折可以使 OCA与OBD重合因为 C和 B、A和 D是对应顶点， ?所以 C和 B重合， A和 D重合C= B；A=D；AOC= DOB AC=DB ；OA=OD；OC=OB总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合一般是平移、翻转、旋转的方法 例 2 如图，已知 ABE ACD ，ADE= AED ，B=C ，?指出其他的对应边和对应角分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将ABE和ACD 从复杂的图形中分离出来根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角解：对应角为 BAE和CAD 对应边为 AB与 AC 、AE与 AD 、BE与 CD 课堂练习课本 P4练习 1、2 题课时小结通过本节课学习， 我们了解了全等的概念， 发现了全等三角形的性质， ?并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素这也是这节课大家要重点掌握的作业课本 P4习题 111:1 、2、3、4 题112 三角形全等的条件（一）教学目标1三角形全等的“边边边”的条件 2了解三角形的稳定性DCABODCABE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页名师精编优秀教案 3经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程教学重点三角形全等的条件教学难点寻求三角形全等的条件教学过程创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形已知 ABC ABC ，找出其中相等的边与角图中相等的边是： AB=A B、 BC=B C、AC=A C 相等的角是： A=A、B=B、C= C 展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）这是利用了全等三角形的定义来作图那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题导入新课出示投影片 1只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），?画出的两个三角形一定全等吗？ 2给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做三角形一内角为30，一条边为 3cm 三角形两内角分别为30和 50三角形两条边分别为4cm 、6cm 学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流结果展示： 1只给定一条边时：只给定一个角时： 2给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边CBACBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页名师精编优秀教案3cm3cm3cm303030505030306cm4cm4cm6cm可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等下面我们就来逐一探索其余的三种情况已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm 你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？ 1作图方法：先画一线段 AB ，使得 AB=6cm ，再分别以 A、B 为圆心， 8cm 、10cm为半径画弧， ?两弧交点记作C，连结线段AC 、BC ，就可以得到三角形ABC ，使得它们的边长分别为AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm 2以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合?这说明这些三角形都是全等的 3特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC ，根据前面作法，同样可以作出一个三角形ABC ，使 AB=A B、 AC=A C、BC=B C将ABC剪下，发现两三角形重合这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ” 用上面的规律可以判断两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等所以“ SSS ”是证明三角形全等的一个依据请看例题 例 如图， ABC是一个钢架， AB=AC ，AD 是连结点 A与 BC中点 D的支架求证： ABD ACD 师生共析 要证 ABD ACD ，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等证明：因为 D是 BC的中点所以 BD=DC 在ABD和ACD 中(ABACBDCDADAD公共边)DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页名师精编优秀教案所以 ABD ACD （SSS ） 生活实践的有关知识： 用三根木条钉成三角形框架， 它的大小和形状是固定不变的，?而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的三角形的这个性质叫做三角形的稳定性所以日常生活中常利用三角形做支架就是利用三角形的稳定性?例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等随堂练习1、如图，已知 AC=FE 、BC=DE ，点 A、D 、B、F在一条直线上，AD=FB 要用“边边边”证明 ABC FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？ 2 课本 P8练习课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件，?发现了证明三角形全等的一个规律SSS 并利用它可以证明简单的三角形全等问题作业 1习题 112：1、2、9 题112 三角形全等的条件（二）教学目标 1 三角形全等的“边角边”的条件 2 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程 3 掌握三角形全等的“ SS”条件，了解三角形的稳定性 4 能运用“ SS”证明简单的三角形全等问题教学重点三角形全等的条件教学难点寻求三角形全等的条件教学过程、创设情境，复习提问1怎样的两个三角形是全等三角形？2全等三角形的性质？3指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：图(1) 中： ABD ACE ，AB 与AC 是对应边；图(2) 中： ABC AED ，AD 与AC 是对应边三角形全等的判定的内容是什么？、导入新课1三角形全等的判定（二）(1) 全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质那么，怎样才能判定FDCBEA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页名师精编优秀教案两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图2，AC 、BD 相交于 O ，AO 、BO 、CO 、DO 的长度如图所标， ABO 和CDO 是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：AO CO ，AOB COD ，BO DO 如果把 OAB 绕着O 点顺时针方向旋转，因为 OA OC ，所以可以使 OA 与OC 重合；又因为 AOB COD ， OBOD ，所以点 B 与点D重合这样 ABO 与CDO 就完全重合( 此外，还可以图 1(1) 中的 ACE 绕着点 A逆时针方向旋转 CAB 的度数，也将与ABD 重合图 1( 2)中的 ABC 绕着点 A旋转，使 AB 与AE 重合，再把 ADE 沿着AE(AB)翻折180两个三角形也可重合) 由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等2上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1) 读句画图：画 DAE 45，在 AD 、AE 上分别取 B、C，使 AB3.1cm，AC 2.8cm连结 BC ，得 ABC 按上述画法再画一个ABC (2) 把ABC 剪下来放到 ABC 上，观察 ABC与ABC 是否能够完全重合？3边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等( 简称“边角边”或“ SAS ”) 、例题与练习1填空：(1) 如图3，已知 AD BC ，AD CB ，要用边角边公理证明 ABC CDA ，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD CB(已知) ，二是 _ ；还需要一个条件 _(这个条件可以证得吗？ ) (2) 如图4，已知AB AC ，AD AE ，12，要用边角边公理证明 ABD ACE ，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_( 这个条件可以证得吗？ )2、例1 已知： ADBC ，AD CB(图3)求证： ADC CBA 问题：如果把图 3中的 ADC 沿着CA 方向平移到 ADF 的位置 (如图5)，那么要证明ADF CEB ，除了 AD BC 、AD CB 的条件外，还需要一个什么条件(AF CE或AE CF)？怎样证明呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页名师精编优秀教案例2已知： AB AC 、AD AE 、12(图4) 求证： ABD ACE 、小结：1根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件2找使结论成立所需条件， 要充分利用已知条件 ( 包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等 )，并要善于运用学过的定义、公理、定理、作业：1已知：如图， AB AC ，F、E分别是 AB 、AC 的中点求证： ABE ACF 2已知：点 A、F、E、C在同一条直线上， AFCE ，BE DF ，BE DF 求证： ABE CDF 3、习题 112：3、4、10题112 三角形全等的条件（三）教学目标1三角形全等的条件：角边角、角角边 2三角形全等条件小结 3掌握三角形全等的“角边角” “角角边”条件 4能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题教学重点已知两角一边的三角形全等探究教学难点灵活运用三角形全等条件证明教学过程提出问题，创设情境 1复习： （1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三种：定义； SSS ；SAS 2在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？导入新课问题 1：三角形中已知两角一边有几种可能？ 1两角和它们的夹边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页名师精编优秀教案 2两角和其中一角的对边问题 2：三角形的两个内角分别是60和 80，它们的夹边为4cm ，?你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ” ） 问题 3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC ，?能不能作一个 ABC，使 A=A、 B=B、AB=A B呢？先用量角器量出 A与B的度数，再用直尺量出AB的边长画线段 AB，使 AB=AB 分别以 A、 B为顶点，AB为一边作 DA B、 EB A， 使DAB= CAB ，EB A=CBA 射线 AD与 BE交于一点，记为C 即可得到 ABC将ABC与 ABC重叠，发现两三角形全等CABDCABE两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ” ） 思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定我们是不是可以不作图，用“ASA ”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？探究问题 4：如图，在 ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF ，ABC 与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？DCABFE证明： A+B+C= D+ E+F=180A=D ，B=E A+B=D+E C=F 在ABC和DEF中BEBCEFCFABC DEF （ASA ） 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ” ） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页名师精编优秀教案 例 如下图， D在 AB上，E在 AC上，AB=AC ，B=C 求证： AD=AE 分析AD 和 AE分别在 ADC 和AEB中，所以要证 AD=AE ，只需证明 ADC AEB即可证明：在 ADC和AEB中AAACABCB所以 ADC AEB （ASA ）所以 AD=AE （二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由50504545DCAB(1)2929DCAB(2)E课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法： 1全等三角形的定义 2判定定理：边边边（ SSS ）边角边（ SAS ）角边角（ ASA ）角角边（ AAS ）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径题三角形全等的条件 - 直角三角形全等的判定（四）教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。DCABE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页名师精编优秀教案3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学过程提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法：、2、如图， RtABC中，直角边是、，斜边是3、如图， AB BE于 C ，DE BE于 E，（1）若 A=D，AB=DE ，则ABC 与DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（2）若 A=D，BC=EF ，则ABC 与DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（3）若 AB=DE ，BC=EF ，则ABC 与DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（4）若 AB=DE ，BC=EF ，AC=DF 则ABC 与DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）导入新课（一）探索练习：（动手操作） ：已知线段 a ，c (ac) 和一个直角利用尺规作一个 RtABC ，使 C= ，AB=c ，CB= a 1、按步骤作图： a c 作MCN= =90， 在射线 CM上截取线段 CB=a ，以 B 为圆心， C为半径画弧，交射线CN于点 A，连结 AB 2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）（二）巩固练习：1如图， ABC中，AB=AC ，AD是高，则ADB与ADC （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）2如图， CE AB ，DF AB ，垂足分别为 E、F，（1）若 AC/DB，且 AC=DB ，则 ACE BDF ，根据（2）若 AC/DB，且 AE=BF ，则 ACE BDF ，根据（3）若 AE=BF ，且 CE=DF ，则 ACE BDF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页名师精编优秀教案根据（4）若 AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。则 ACE BDF ，根据（5） 若 AC=BD ，CE=DF （或 AE=BF ） ，则 ACE BDF ，根据3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）（A） 两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等4、如图， B、E、F、C在同一直线上， AF BC于 F，DE BC于 E，AB=DC ，BE=CF ，你认为 AB平行于 CD吗？说说你的理由答：理由： AFBC ，DE BC （已知） AFB= DEC= （垂直的定义）在 Rt和 Rt中_（） = （）（内错角相等，两直线平行） 5 、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与 DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。（三）提高练习：1、判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）2、如图， D= C=90 ，请你再添加一个条件，使ABD BAC ，并在添加的条件后的（）内写出判定全等的依据。（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）课时小结至此，我们有六种判定三角形全等的方法： 1全等三角形的定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页名师精编优秀教案 2边边边（ SSS ）边角边（ SAS ）角边角（ ASA ）角角边（ AAS ）3HL（仅用在直角三角形中）113 角的平分线的性质（一）教学目标 1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理 2会用尺规作一个已知角的平分线教学重点利用尺规作已知角的平分线教学难点角的平分线的作图方法的提炼教学过程提出问题，创设情境问题 1：三角形中有哪些重要线段问题 2：你能作出这些线段吗？导入新课在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在AOB 的两边 OA和 OB上分别取 OM=ON，MC OA ，NC OB MC与 NC交于 C点求证： MOC= NOC 通过证明 RtMOC RtNOC ， 即可证明 MOC= NOC ，所以射线OC就是 AOB 的平分线受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知 AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过 M 、N 作 MC OA ，NC OB ，MC? 与 NC交于 C点，连接 OC ，那么 OC就是 AOB 的平分线了思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）议一议： 下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC 将点 A放在角的顶点， AB和 AD沿着角的两边放下， 沿 AC画一条射线 AE ，AE就是角平分线你能说明它的道理吗？要说明 AC是DAC 的平分线，其实就是证明CAD= CAB CAD 和CAB 分别在 CAD 和CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了看看条件够不够ABADBCDCACAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页名师精编优秀教案所以 ABC ADC （SSS ） 所以 CAD= CAB 即射线 AC就是 DAB的平分线作已知角的平分线的方法：已知： AOB 求作： AOB 的平分线作法：（1）以 O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB于 M 、N（2）分别以 M 、N为圆心，大于12MN 的长为半径作弧两弧在 AOB 内部交于点 C （3）作射线 OC ，射线 OC即为所求议一议： 1在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？ 2第二步中所作的两弧交点一定在AOB 的内部吗？总结： 1去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线 2若分别以 M 、N为圆心，大于12MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在AOB?的内部，也可能在 AOB 的外部，而我们要找的是 AOB内部的交点， ?否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是AOB 的平分线了 3角的平分线是一条射线它不是线段，也不是直线，?所以第二步中的两个限制缺一不可 4这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明练一练：任意画一角 AOB ，作它的平分线探索活动按以下步骤折纸1、 在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角 A对折，使得这个角的两边重合。2、 在折痕（即平分线）上任意找一点C ，3、 过点 C折 OA边的垂线，得到新的折痕CD ，其中，点 D是折痕与 OA的交点，即垂足。4、 将纸打开，新的折痕与OB边交点为 E。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等下面用我们学过的知识证明发现：如图，已知 AO平分 BAC ，OE AB ，OD AC 。求证： OE=OD。随堂练习课本 P19练习练后总结：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页名师精编优秀教案平角 AOB的平分线 OC与直线 AB垂直 将 OC 反向延长得到直线CD ， 直线 CD与 AB?也垂直课时小结本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，?探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质课后作业 1课本习题 1131、2 题113 角的平分线的性质（二）教学目标 1 、 角的平分线的性质 2会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上” 3能应用这两个性质解决一些简单的实际问题教学重点角平分线的性质及其应用教学难点灵活应用两个性质解决问题教学过程创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的 这种方法可以做无数次， 所以这种等长的折痕可以折出无数对导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论折出如图所示的折痕PD 、PE 画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD 、PE是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页名师精编优秀教案结论：同学乙的画法是正确的 同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求问题 1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？ 生 角平分线上的点到角的两边的距离相等问题 2： 能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话 请填下表：已知事项： OC平分 AOB ，PD OA ，PE OB ，D、E为垂足由已知事项推出的事项：PD=PE 于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等 师 那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题 3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表： 生讨论 已知事项符合直角三角形全等的条件，所以RtPEO PDO （HL） 于是可得 PDE= POD 由已知推出的事项：点P在AOB的平分线上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页名师精编优秀教案由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换思考：如图所示，要在 S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公路与铁路交叉处 500m ，这个集贸市场应建于何处 （在图上标出它的位置， 比例尺为 1：20000）？ 1集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？ 2比例尺为 1：20000是什么意思？结论： 1 应该是用第二个性质 ?这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处2在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，?这就涉及一个单位换算问题了 1m=100cm ，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm? 表示实际距离 200m的意思作图如下：第一步：尺规作图法作出AOB 的平分线 OP 第二步：在射线OP上截取 OC=2.5cm ，确定 C点，C点就是集贸市场所建地了总结： 应用角平分线的性质， 就可以省去证明三角形全等的步骤， ?使问题简单化所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，?我们可以直接利用性质解决问题例题与练习例 如图， ABC的角平分线 BM 、CN相交于点 P求证：点 P到三边 AB 、BC 、CA的距离相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页名师精编优秀教案分析：点 P到 AB 、BC 、CA的垂线段 PD 、PE 、PF的长就是 P点到三边的距离， ?也就是说要证： PD=PE=PF而 BM 、CN分别是 B、C的平分线， ?根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题证明：过点 P作 PD AB ，PE BC ，PFAC ，垂足为 D、E、F因为 BM是ABC的角平分线，点 P在 BM上所以 PD=PE 同理 PE=PF 所以 PD=PE=PF即点 P到三边 AB 、BC 、CA的距离相等练习：1课本 P22练习IV 课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性， 随着学习的深入，解决问题越来越简便了像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等课后作业 1、课本习题 113：3、4、5 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页