高中数学知识点不等式的性质及解法2.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问要点：不等式的性质及解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式与等式有很多不同，主要包括：1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍旧成立。不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即abac bcc 0 ac bcc 0 ac bcc 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、解方程时答应显现不等价转化，显现增根时以验根补偿。解不等式要求必需是等价转化。3、解方程组时，方程组中的方程之间答应进行加、减等运算，以达到消元目的。 解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。不等式的性质可分为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、公理abababab0这也是将不等式问题比较两个实数a、b 的大小，0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转化为恒等变形问题的依据。2、基本性质：（1） ） 对称性abba这个性质等式中也存在，即abba ，对称性说明白每一个已知的不等式都有两种形式，如：ab2ab a, bR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个基本不等式本身就有a 2b22ab 及 2aba2b2 两种形式，要能敏捷运可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用。当然如进行等价转化仍会有很多变式。（2） ） 传递性ab, bcac这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。（3） ） 移项法就abacbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： x32x的。1 ,相当于在 x32 这个不等式两边同时加上3 得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、运算性质：（ 1）加法运算： ab, cdacbd（ 2）减法运算：统一成加法运算ab, cdab,dcadbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）乘法运算： abo, cd0（ 4）除法运算：统一成乘法运算acbd0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab0, cd0ab0,110dcab0dc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（由 y1 在（ 0， +）上是减函数， cd x1100 ）dc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）乘方运算： ab0a nbn nN , n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）开方运算： ab0nanb nN , n2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、函数的单调性：（1） ） aba 3xb3（ yx3 在,上是增函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ） ab2a 2 b（ y2在,上是增函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结诸如此类： ab0log 1 a2log 12b ylog 12x在 0,上是减函数 已知幂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。我们知道，求不等式的解集叫做解不等式，假如两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。 一个不等式变形为另一个不等式时， 假如这两个不等式是同解不等式那么这种变形叫做不等式的同解变形。 解不等式的每一步都要求是同解变形。一元一次不等式 （组）和一元二次不等式的解法， 是解其它各种不等式 （组） 的基础。高次不等式、分式不等、无理不等式、指数对数不等式的解法都是通过等价转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式后求解。在解不等式的过程中，要留意保持字母的答应值范畴不发生变化。为此，要 留意不等式两边同乘以一个数或式对不等式所产生的影响，要留意不等式两边同次乘方、开方或取对数等运算的可行性。在解不等式或不等式组的过程中，要娴熟把握集合的交、并运算。要充分运 用数轴与图象的直观， 找全帮助不等式， 把每一个解不等式问题等价转化为解不等式组问题。方程与函数的思想、分类与归纳的思想、等价转化的思想及数形结合的思想在解不等式问题中都有着广泛的应用。解不等式的方法有：图象法一元二次不等式、高次不等式、三角不等式等。转化法分式不等式、无理不等式、指数对数不等式等。1、一元二次不等式的解法解一元二次不等式与一元二次方程及二次函数有亲密联系求根、画图象、写解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1：解关于 x 的不等式 ax 2a1x10 其中 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由一元二次方程ax 2a1x10 的根为 x1, x1 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）当 11 ，即 0aa1时二次函数 yax 2 a1 x1的草图为：1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故原不等式的解为 1,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 011, 即 a1 时二次函数 yax 2aa1x1 的草图为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故原不等式的解为（1a,1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax 2a1x1 的草图为：（3） ） 11 ，即 a=1 时二次函数a故原不等式的解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上，当 0a1时原不等式的解集为11, 1 。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当a1 时原不等式解集为 ,1 。a当a1 时原不等式解集为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：已知关于 x 的不等式 ax2求关于 x 的不等式 ax 2bxc bxc0 的解集是x|x0 的解集。1 , 或x1。32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：此题是对一元二次不等式的解进行讲行争论知解集求原不等式中待定常数的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ax2bxc0 的解集是x|x11, 或x32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y= ax 2bxc 的草图应为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 不等式 ax2bxc0 可化为x 2b xcaa0即x25 x1066可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得其解集为x|1x1232、高次不等式的解法例：解不等式 x33x 2解：方程 x33x 2xx1100 可化为 x1x 22x10 知其根为x11, x 212,x312解高次不等式的方法是图象法，详细步骤是求根、画图象、写解集。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故函数 yx33x 2x1的草图为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，原不等式的解集为x| x3、分式不等式的解法12或1x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解分式不等式的方法是转化法，详细步骤是移项、通分、转化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一将不等式经过同解变形，化成f xf x0 或0 （ g x 0 ）的形式，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg x g xf xf x gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后再利用同种变形：g x 0f x g x 0 或0g x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例： 解不等式 xx 29 x1172 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：移项，通分得6 x 2x 25 x402 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x1 3x42x13x4 x120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x 2x1213x040转化为 x120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x10解得，所求不等式的解集为说明：高次不等式中对重根的处理分奇次重根、偶次重根两种。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3xx1 xx2 xx3 0 xx1 xx2 xx3 0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx14 xx2 xx3 xx10xx2 xx3 或 xx10时不等式成立（如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为大于零，就 xx1 时不等式不成立）。4、无理不等式的解法解无理不等式的方法是通过乘方争论的方法将其转化。g x0gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg x 或f x g x 2f x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg x g x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x g x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg xf xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g x 05、指数不等式和对数不等式的解法解指对数不等式的方法是通过函数的单调性将其转化为代数不等式（组）求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 时，a f x l o gaa g x f x l o gaf xg xg xg xf x 0g x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0a1时， a f x a g x f x g x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l o gaf x l o gag xf xf x0gx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意分类与归纳思想的正确运用。如解关于 x 的不等式，对 x 进行争论，最终结果应求并集，如解无理不等式。如解关于 x 的不等式，对除 x 以外的字母进行争论，最终结果不能求并集，只能分别表述，如解指数对数不等式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载