李正元高等数学强化讲义.doc

.第一讲 极限、无穷小与连续性 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： 掌握求极限的各种方法 掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）复合函数、分段函数及函数记号的运算1 极限的重要性质 1不等式性质 设，且AB，则存在自然数N，使得当nN时有xnyn 设，且存在自然数N，当nN时有xnyn，则AB 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设，且A0，则存在自然数N，使得当nN时有xn0设，且存在自然数N，当nN时有xn0，则A0 对各种函数极限有类似的性质例如：设，且AB，则存在0，使得当有f（x）g（x）设，且存在0，使得当0xx0时f（x）g（x），则AB 2有界或局部有界性性质 设，则数列xn有界，即存在M0，使得xnM（n = 1，2，3，） 设则函数f（x）在x = x0的某空心邻域中有界，即存在0和M0，使得当0xx0时有f（x）M对其他类型的函数极限也有类似的结论2 求极限的方法 1极限的四则运算法则及其推广 设，则 只要设存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“”，“”，“0”，“”四种未定式以外的各种情形即： 1设，则.（）又B0，则2设，当xx0时局部有界，（即，使得时），则 设，当xx0时g（x）局部有正下界，（即$0，b0使得0x x0时g（x）b0），则 3设，则，又$0使得0x x0时f（x）g（x）0，则 4设，xx0时g（x）局部有界，则（无穷小量与有界变量之积为无穷小） 2幂指函数的极限及其推广 设 只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1”，“00”及“0”三种未定式以外的各种情形这是因为仅在这三个情况下是“0”型未定式 1设 = 0（0x时f（x）0），则 2设 = A0，A1， = + ，则 3设 = + ，则 【例1】 设【分析】 【例2】设an，bn，cn均为非负数列，且则必有 （A）anbn对任意n成立 （B）bncn对任意n成立（C）极限不存在 （D）不存在 用相消法求或型极限 【例1】求 【解】作恒等变形，分子、分母同乘 【例2】求 【解】作恒等变形，分子、分母同除得 利用洛必达法则求极限 【例1】设f（x）在x = 0有连续导数，又 求【例2】求【例3】求【例4】求【例5】若，则【例6】求 【例7】设a0，b0为常数且，则（a，b） = _【分析】型极限 因此（a，b） = 分别求左、右极限的情形，分别求的情形 【例1】设，求【例2】求 利用函数极限求数列极限【例1】求【例2】求 【解1】 转化为求 【解2】用求指数型极限的一般方法 转化为求（等价无穷小因子替换），余下同前3 无穷小和它的阶 1无穷小、极限、无穷大及其联系 （1）无穷小与无穷大的定义 （2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系 其中o（1）表示无穷小量 在同一个极限过程中，u是无穷小量（u0）是无穷大量反之若u是无穷大量，则是无穷小量 2无穷小阶的概念 （1）定义 同一极限过程中，a（x），b（x）为无穷小， 设 定义 设在同一极限过程中a（x），b（x）均为无穷小，a（x）为基本无穷小，若存在正数k与常数使得 称b（x）是a（x）的k阶无穷小，特别有，称xx0时b（x）是（xx0）的k阶无穷小 （2）重要的等价无穷小x0时 sinx x，tanx x，（1 + x） x，ex1 x； ax1 xlna，arcsinx x，arctanx x；（1 + x）a1 ax，1cosx （3）等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1若a b，b ga g 2 a ba = b + o（b） 3在求“”型与“0”型极限过程中等价无穷小因子可以替换 【例1】 求【例2】设【分析】 由已知条件及又在x = 0某空心邻域f（x）0，又3x1 xln3于是 【例3】 设x a时a（x），b（x）分别是x a的n阶与m阶无穷小，又，则x a时 （1）a（x）h（x）是x a的_阶无穷小 （2）a（x）b（x）是x a的_阶无穷小 （3）nm时，a（x）b（x）是x a的_阶无穷小 （4）nm时是x a的_阶无穷小 （5）k是正整数时，ak是x a的_阶无穷小以上结论容易按定义证明。例如，已知， f（x）g（x）是x a的n + m阶无穷小 【例4】设f（x）连续，x a时f（x）是x a的n阶无穷小，求证：是x a的n + 1阶无穷小 【例5】x 0时，是x的_阶无穷小；是x的_阶无穷小；是x的_阶无穷小，是x的_阶无穷小 【例6】x 0时，下列无穷小中（ ）比其他三个的阶高， （A）x2 （B）1cosx （C） （D）x tanx 【例7】当x 0时，与比较是（ ）的无穷小 （A）等价 （B）同阶非等价（C）高阶 （D）低阶4 连续性及其判断 1连续性概念 （1）连续的定义： 函数f（x）满足，则称f（x）在点x = x0处连续；f（x）满足（或，则称f（x）在x = x0处右（或左）连续 若f（x）在（a，b）内每一点连续，则称f（x）在（a，b）内连续；若f（x）在（a，b）内连续，且在x = a处右连续，在点x = b处左连续，则称f（x）在a，b上连续（2）单双侧连续性 f（x）在x = x0处连续 f（x）在x = x0处既左连续，又右连续 （3）间断点的分类： 设f（x）在点x = x0的某一空心邻域内有定义，且x0是f（x）的间断点 若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x00）与f（x0 + 0）存在并相等，但不等于函数值f（x0）或f（x）在x0无定义，则称点x0是可去间断点；若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x00）与f（x0 + 0）存在但不等，则称点x0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点 若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x00）与f（x0 + 0）至少有一个不存在，则称点x0为第二类间断点 2函数连续性与间断点类型的判断： 若f（x）为初等函数，则f（x）在其定义域区间D上连续，即当开区间（a，b） D，则f（x）在（a，b）内连续；当闭区间c，d D，则f（x）在c，d上连续若f（x）是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则（四则运算，反函数运算与复合运算）来判断当f（x）为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性 判断f（x）的间断点的类型，就是求极限 3有界闭区间a，b上连续函数的性质： 最大值和最小值定理：设f（x）在闭区间a，b上连续，则存在和a，b，使得 f（）f（x）f（），（axb） 有界性定理：设f（x）在闭区间a，b上连续，则存在M0，使得 f（x）M，（axb） 介值定理：设函数f（x）在闭区间a，b上连续，且f（a）f（b），则对f（a）与f（b）之间的任意一个数c，在（a，b）内至少存在一点，使得 f（） = c 推论1（零值定理）：设f（x）在闭区间a，b上连续，且f（a）f（b）0，则在（a，b）内至少存在一点，使得 f（） = 0 推论2：设f（x）在闭区间a，b上连续，且m和M分别是f（x）在a，b上最小值和最大值，若mM，则f（x）在a，b上的值域为m，M 【例1】 函数在下列哪个区间内有界 （A）（1，0） （B）（0，1） （C）（1，2） （D）（2，3） 【分析一】这里有界只须考察，g(x）是初等函数，它在定义域（x1，x2）上连续，有界闭区间上连续函数有界，1，0 定义域，g(x）在1，0有界，选（A） 【分析二】设h(x）定义在（a，b）上，若或，则h(x）在（a，b）无界因， 在（0，1），（1，2），（2，3）均无界选（A） 【例2】设，讨论y = f（g（x）的连续性，若有间断点并指出类型 【分析与解法1】先求f（g（x）的表达式 在（，1），（1，2），（2，5），（5， +），f（g(x）分别与初等函数相同，故连续x = 2或5时可添加等号，左、右连接起来，即左连续又右连续 f（g(x）在x = 2或5连续x = 1时 x = 1是f（g（x）的第一类间断点（跳跃间断点） 【分析与解法2】 不必求出f（g（x）的表达式 g(x）的表达式中，x = 2或5处可添加等号，左、右连接起来g(x）在（， +）处处连续 ，u1时连续 u = g（x） = 1x = 1 因此，x1时由连续函数的复合函数是连续的f（g（x）连续.x = 1时 x = 1是f（g（x）的第一类间断点第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是 导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系 按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，幂指数函数，反函数，隐函数，变限积分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数），求n阶导数表达式 求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率 导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等（只对数三，数四）1 一元函数微分学中的基本概念及其联系 1可导与可微的定义及其联系 2几何意义与力学意义是曲线y = f（x）在点（x0，f(x0）处切线的斜率 是相应于Dx该切线上纵坐标的增量 质点作直线运动，t时刻质点的坐标为x = x(t），是t = t0时刻的速度 3单侧导数与双侧导数 f（x）在x = x0可导均存在且相等 此时 【例1】 说明下列事实的几何意义（1）（2）f(x)，g(x)在x= x0处有连续二阶导数，（3）f(x）在x = x0处存在，但.（4）y = f(x）在x = x0处连续且【例2】 ，d0为某常数设均存在且.求证：. 【例3】请回答下列问题： （1）设y = f（x）在x = x0可导，相应于Dx有Dy = f（x0 + Dx）f（x0）， Dx0时它们均是无穷小试比较下列无穷小： Dy是Dx的_无穷小；Dydy是Dx的_无穷小； 时Dy与dy是_无穷小（2）du与Du是否相等？ 【例4】设f（x）连续，试讨论的存在性与的存在性之间的关系 （1）考察下列两个函数图形，由导数的几何意义来分析存在与存在之间的关系 （2）f（x0）0时，求证：存在存在 【证明】 因0，由连续性，$d0，使得当xx0d时有f（x）0或f（x）0，于是在x0该邻域内必有f（x）= f(x）或f（x）= f(x）之一成立，故在点x = x0处两个函数的可导性是等价的 （3）f（x0） = 0时，求证：存在 【证明】 设f（x0） = 0 存在 综合可得，题目中结论（2）和（3）成立也可以概括为：点x = x0是可导函数的绝对值函数的不可导点的充分必要条件是它使得f（x0）= 0但 【评注】 论证中用到显然的事实： 【例5】 设函数f(x）连续，且，则存在d 0，使得 （A）在（0，d）内单调增加 （B）在（d，0）内单调减少（C）对任意的x（0，d）有f（0）（D）对任意的x（d，0）有f（0）2 一元函数求导法 反函数求导法： 设f（x）在区间Ix可导，值域区间为Iy，则它的反函数x =j（y）在Iy可导且 【例】 设y =y（x）满足，求它的反函数的二阶导数 【解】 变限积分求导法： 设函数f（x）在a，b上连续，则在a，b上可导，且 ，（axb） 设在c，d上连续，当x a，b时函数u（x），v（x）可导，且的值域不超出c，d，则在a，b上可导，且 ，（axb） 【例1】 设f（x）在（，+ ）连续且，求 【例2】设f（x）在（，+）连续，又，求 【例3】设，求 【例4】设f（x）为连续函数，则等于 （A）2f（2） （B）f（2） （C）f（2） （D）0 【分析一】先用分部积分法将F（t）化为定积分 选（B） 【分析二】转化为可以用变限积分求导公式的情形 选（B）【分析三】交换积分顺序化为定积分 【分析四】特殊选取法取f（x）= 1（满足条件） 选（B） 隐函数求导法：【例1】y = y（x）由所确定，则 【例2】y = y（x）由下列方程确定，求 （1）x + arctany = y； 【解】对x求导， 解出再对x求导得 （2），其中 【解】对x求导得 利用方程化简得再将的方程对x求导得 解出，并代入表达式 若先取对数得lnx + f（y）=y 然后再求导，可简化计算 【例3】设y = y（x）由方程yxey = 1确定，求的值 【解】原方程中令x = 0 y（0）=1将方程对x求导得 令将上述方程两边再对x求导得 分段函数求导法：【例1】设f（x）= x2x，则使处处存在的最高阶数n为_ 【例2】设 （A）不连续 （B）连续，但不可导 （C）可导但导函数不连续 （D）可导且导函数连续 【分析】先按定义讨论f（x）在x = 0的可导性问题 进一步考察在x = 0的连续性 当x0时， 由此可知， 在x = 0不连续 因此，选（C） 【例3】求常数a，b使函数处处可导，并求出导数 【分析与求解】对常数a，b，x3时f（x）均可导现要确定a，b使存在f（x）在x = 3必须连续且，由这两个条件求出a与b由 f（x）在x = 3连续，a，b满足 f（3 + 0）= f（30）= f（3）即 3a + b =9在此条件下， 即a = 6 代入3a + b = 9 b = 9 因此，仅当a = 6，b = 9时 f（x）处处可导且 【评注】求解此类问题常犯以下错误 1没说明对常数a，b，x3时f（x）均可导 2先由x = 3处可导求出a值，再由连续性求出b值请看以下错误表达： “因 由得a = 6再由连续性 f（3 + 0） = f（30）即 9 = 3a + b，b=9” 错误在于当3a + b9时不存在，也不可能有 f（3 + 0）= f（30）不能保证f（x）在x = 3连续仅当f（3 + 0） = f（30）= f（3）时才能保证x = 3连续 必须先由连续性定出3a + b = 9，在此条件下就可得 高阶导数与n阶导数的求法 常见的五个函数的n阶导数公式： 3 一元函数导数（微分）概念的简单应用【例1】 设,在点处的切线与轴的交点为，则 【例2】若周期为4的函数f（x）可导且则曲线y = f（x）在点（5，f（5）处的切线斜率k = _ 【例3】设y = f（x）由方程e2x+ycos（xy）= e1所确定，则曲线y = f（x）在点（0，1）处的法线方程为_ 【例4】已知曲线的极坐标方程为 = 2sin，点M0的极坐标为（1，），则点M0处的切线的直角坐标方程为_【分析一】（数学一，二）点M0在上，直角坐标为： 的参数方程为， 在M0点处的切线的斜率： 在M0处的切线方程 【分析二】的方程可化为r2 = ，于是的隐式方程为x2 + y2 = 2y由隐函数求导法，得 ，于是切线方程为第三讲 一元函数积分学 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： 不定积分、原函数及定积分概念，特别是定积分的主要性质 两个基本公式：牛顿莱布尼兹公式，变限积分及其导数公式 熟记基本积分表，掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分 反常积分敛散性概念与计算 定积分的应用1 一元函数积分学的基本概念与基本定理 1原函数与不定积分的概念及性质： （1）定义 若F（x）的导函数在某区间上成立，则称F（x）是f（x）在该区间上的一个原函数：f（x）的全体原函数称为f（x）的不定积分，记为 （2）原函数与不定积分的关系 若已知F（x）是f（x）的一个原函数，则 其中C是任意常数 （3）求不定积分与求导是互为逆运算的关系，即 其中C也是任意常数 （4）不定积分的基本性质： 2定积分的概念与性质： （1）定义设，若对任何存在，则称f（x）在a，b上可积，并称此极限值为f（x）在a，b上的定积分，记为 定积分的值与积分变量的名称无关，即把积分变量x换为t或u等其他字母时，有 另外，约定 （2）可积性条件 可积的必要条件：若f（x）在a，b上可积，则f（x）在a，b上有界 可积函数类（可积的充分但非必要的条件）： 1f（x）在a，b上连续，则f（x）在a，b上可积； 2f（x）在a，b上有界且仅有有限个间断点，则f（x）在a，b上可积 （3）定积分的几何意义： 设f（x）在a，b上连续，则表示界于x轴、曲线y = f（x）以及直线x = a，x =b 之间的平面图形面积的代数和，其中在x轴上方部分取正号，在x轴下方部分取负号 特别，若f（x）在a，b上连续且非负，则表示x轴，曲线y=f（x）以及直线x = a，x = b围成的曲边梯形的面积 （4）定积分有以下性质： 1线性性质：若f（x），g（x）在a，b上可积，且A、B为两个常数，则Af（x）+ Bg（x）也在a，b上可积，且 2对积分区间的可加性：若f（x）在由a、b、c三数构成的最大区间上可积，则 3改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值 4比较性质：若f（x），g（x）在a，b上可积，且f（x）g（x）在a，b上成立，则 进一步又有：若f（x），g（x）在a，b上连续，且f（x）g（x），f（x）g（x）在a，b上成立，则 若f（x）在a，b可积，则f（x）|在a，b可积且 5积分中值定理：若f（x）在a，b上连续，则存在（a，b），使得 3变限积分，原函数存在定理，牛顿莱布尼兹公式： （1）变限积分的连续性：若函数f（x）在a，b上可积，则函数在a，b上连续 （2）变限积分的可导性，原函数存在定理：若函数f（x）在a，b上连续，则函数就是f（x）在a，b上的一个原函数，即"xa，b （3）不定积分与变限积分的关系由原函数存在定理可得若f（x）在a，b上连续，则不定积分 ，其中x0a，b为一个定值，C为任意常数 （4）牛顿莱布尼兹公式：设在上连续，是在上的任一原函数，则这个公式又称微积分基本公式 推广形式：设函数f（x）在a，b上连续，F（x）是f（x）在（a，b）内的一个原函数，又极限F（a + 0）和F（b0）存在，则 （5）初等函数的原函数 4周期函数与奇偶函数的积分性质： （1）周期函数的积分性质： 设f（x）在（，+ ）连续，以T为周期，则1（a为任意实数） 2 3（即f（x）的全体原函数）为T周期的【证明】1 证法1 证法2 ，其中 代入上式得。 （此种证法不必假定f（x）连续，只须假定f（x）在0，T）可积) 2 3只须注意 例（08，数三，数四）设f（x）是周期为2的连续函数. （）证明对任意的实数t，有； （）证明G（x） = 是周期为2的周期函数。 【分析与证明】 （）（它是结论1的特例，a = 2，见证明1） （）由题（）的结论， G（x） = 由于对x， G（x + 2）G（x）= = = G（x）是周期为2的周期函数 （2）奇偶函数的积分性质： 设f（x）在a，a连续，且为奇函数或偶函数 1 2令 3若f（x）为奇函数，则在a，a上f（x）的全体原函数为偶函数 若f（x）为偶函数，则在a，a上f（x）只有惟一的一个原函数为奇函数 【证明】2设f（x）为奇函数 证法1考察 a，a F（x）=F（x）（xa，a），即F（x）为偶函数 证法2xa，a），即F（x）为偶函数（此种证法只须假设f（x）在a，a可积） 3只须注意2的结论 【例1】 【例2】，且f（1） = 0，则f（x） = _ 【例3】设f（x）的导数是sinx，则f（x）的原函数是_ 【例4】设f（x）连续，f（x） = x + 2，则f（x） = _ 【例5】下列命题中有一个正确的是_ （A）设f（x）在a，b可积，f（x）0， 0，则0 （B）设f（x）在a，b可积， a，b，则 （C）设在a，b可积，则f（x）在a，b可积 （D）设f(x）在a，b可积，g(x）在a，b不可积，则f(x）+ g(x）在a，b不可积 【分析1】f（x）在a，b可积，g(x）在a，b不可积 f(x）+ g(x）在a，b不可积反证法若不然，则f(x）+ g(x）在a，b可积，由线性性质 g（x）f（x）+ g（x）f（x）在a，b可积，得矛盾，选（D）【分析2】举例说明（A），（B），（C）不正确 由（A）的条件只能得0如，x0（a，b） f（x）0， 0（xa，b），但 = 0（A）不正确 关于（B），请看右图，由定积分的几何意义知 0，0，（B）不正确 这里， a，b，但 关于（C），是f（x）与的可积性的关系 f（x）在a，b可积 在a，b可积 如 = 1在a，b可积，但f（x）在a，b不可积，（C）不正确，因此选（D） 【例】判断积分值的大小： 【例7】把积分值 按大小排序，其中f（x）在a，b上满足：0，0，0 【例8】设则（x）（A）为正数 （B）为负数 （C）为0 （D）不为常数 【例9】设g（x） = 则g(x）在区间（0，2）内 （A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续 【分析】这是讨论变限积分的性质已知结论可以用：若f（x）在a，b可积，则g(x）在a，b连续，这里f（x）在0，2可积（有界，只有一个间断点），则在0，2连续选（D） 5利用定积分求某些n项和式的极限 【例10】2 基本积分表与积分计算法则3 积分计算技巧 【例1】求 【例2】 求（ba）【例3】 求，n为自然数 【例4】对实数，求 【解】 【例5】求 【解】 4 反常(广义)积分1基本概念 （1）若，称收敛，并记 否则称发散 若，称收敛，并记 否则称发散 若，均收敛，称收敛 且 =+否则称发散 （2）设f（x）在（a，b内闭子区间可积，在a点右邻域无界，若极限，称收敛，并记 =, 否则称发散这里x=a称为瑕点 若b为瑕点，类似定义 设f（x）在a，c）（c，b内闭子区间可积，在x = c邻域无界 若，均收敛，称收敛且 =+ 否则称发散 （3）几个重要的反常积分 1a0， 2a1， 3 45，均发散 【例1】反常积分（ ）发散 （A） （B） （C） （D） 【例2】下列命题中正确的有_个 （1）设f（x）在（，）连续为奇函数，则0 （2）设f（x）在（，）连续，存在，则收敛 （3）若与均发散，则不能确定是否收敛 （4）若均发散，则不能确定是否收敛 【分析】要逐一分析 （1）f（x）在（，）连续，收敛例如f（x）=sinx在（，）连续，为奇函数，但发散（1）是错的 （2）f（x）在（，）连续， 收敛存在 如f（x）=sinx，=0，但发散 故（2）是错误的 （3）正如两个函数的极限均不存在，但它们相加后的极限可能存在，也可能不存在一样，若，均发散，则不能确定是否收敛如f（x）=，均发散，但收敛 若取g（x）=发散因此（3）是正确的 （4）按敛散性的定义，仅当，均收敛时，才是收敛的，否则为发散因此，均发散时是发散的（4）也不正确 共有1个是正确的 2广义积分的计算【例3】(1)求(2)求(3)求 (4)求5 一元函数积分学的应用 1一元函数积分学的几何应用 【例1】曲线1y=1x2（0x1），x轴和y轴所围区域被L2y=ax2（a0）分成面积相等的两部分，确定a的值 【解】先求1与2的交点（x0，y0）：被分成的两部分面积分别记为. 由 【例2】求由x2+y22x与yx确定的平面图形绕直线x = 2旋转而成的旋转体的体积 【解一】该平面图形可表示为 ， 在此平面图形绕直线x = 2旋转而成的旋转体中纵坐标满足的一层形状为圆环形薄片，其外半径为，内半径为，从而，这个圆环形薄片的体积为 故旋转体的体积为 【解二】该平面图形可表为 作垂直分割，相应的小竖条绕直线x = 2旋转而成的体积微元 y x 于是，整个旋转体的体积 【例3】求曲线的全长（a0）（只对数一，数二）【解】以6p为周期在0，6p中，r00，3p，于是，曲线的全长 曲线C是光滑，选定一端点作为度量弧S的基点。曲线C上每一点M对应有弧长S，点M 处切线的倾角为，称K = 为平面曲线C在点M的曲率，为C点M的曲率半径，过点M作曲线C的法线，在曲线凹的一侧，在法线上取一点D，便，以D为圆心，为半径作一个圆，称它为曲线C在点M处的曲率圆，圆心D称为曲率中心。设曲线C的直角坐标方程为y = y（x），y（x）二阶可导，则曲率 K = 曲线C上点的曲率中心（a，b）是 a = x b = y + 2.一元函数积分学的物理应用（数一，数二）【例4】设在很大的池中放有两种液体，上层是油，比重1，厚度为h1，下层是水，厚度为h2（2R），现有半径为R，比重（1）的球沉入池底，如将球从液体中取出需作多少功？（设移动过程中两种液体厚度均不变）（只对数一，数二） 【解】设球心为坐标原点，x轴正向垂直向上，建立坐标系如图，可把球上的一个薄片看成一个质点，当把球从池底完全取出液体的过程中，该薄片在水中移动的距离是h2（Rx），这时外力的大小是重力减去浮力即，该薄片在油中移动的距离是h1，这时外力的大小是；该薄片在空气中移动的距离是Rx，这时外力的大小是，故出取出该薄片的过程中需作功：从R到R积分dW，并利用奇函数在对称区间上积分为零的性质和球体积公式可得到将球从液体中取出需作的功： 平面曲线的质心（形心）公式（数一，数二）：设质量均匀分布的平面曲线，其线密度为常数，参数方程有连续的导数，则的质心: 平面图形的质心（形心）公式（数一，数二）： 设有平面图形：axb，g（x）yf（x），其中f（x），g（x）在a，b连续，质量均匀分布，面密度为常数，则它的质心； ， 【例5】（数一，数二）质量均匀分布的平面光滑曲线，全长l，以A点作为计算弧长的起点，取弧长s为自变量，参数方程为x = x（s），y = y（s）（0sl） （）写出的质心的积分表达式.（）在x轴上方，证明绕x轴旋转一周产生的旋转体的侧面积等于曲线的质心绕x轴旋转产生的圆周之长乘以曲线的弧长l（）求圆周绕x轴旋转一周所生成的圆环体的侧面积A【解】（）用微元法可导出的质心的表达式 ， （）由题（）得 等式右端即绕x轴旋转一周产生的旋转体的侧面积，左端正是的质心绕x轴旋转产生的圆周之长与l之积，因此结论成立 （）由题（），又质心（0，a），圆周长为，于是圆环体的侧面积 6 积分等式与不等式的证明 【例1】设f（x）在a，b有二阶连续导数，求证明： 【证