2022年求数列通项公式的十种方法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的 11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法） 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法名师归纳总结 1适用于：an1anf n ( )- 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。第 1 页，共 31 页，2若an1anf n (n2)a 2a 1f(1)则a 3a2f(2)LLnf n ( )a n1a nf n ( )两边分别相加得an1a 1k1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 已知数列 a n满足an1an2 n1，a 11，求数列 an的通项公式。名师归纳总结 解：由an1an2n1得an1an2 n1则第 2 页，共 31 页an(ana n1)(a n1a n2)L(a3a 2)(a 2a 1)a 12(n1)12(n2)1L(221)(21 1)12(n1)(n2)L21(n1)12(n1) n(n1)12(n1)(n1)1n2所以数列 a n的通项公式为a n2 n 。例 2 已知数列 a n满足an1an2n 31，a 13，求数列 a n的通项公式。解法一：由a n1an23n1得a n1a n23n1则a n(a nan1)(an1an2)L(a 3a 2)(a2a 1)a 1(23n11)(23n21)L(2321)(21 31)32(3n13n2L2 31 3 )(n1)32n 3(1 31)(n1)3133n3n133nn1所以an3nn1.解法二：an13 a n2n 31两边除以n 31，得an1a n211，3n1n 33n 3则an1an211，故3n13n33na n(a na n1)(a n1a n2)(a n2a n3)L(a 2a 1)a 1n 3n 3a n1a n1n 32n 32n 332 31 33(21)(211)(212)L(21)33n 33n 33n 332 332( n1)(111112L1)13n 3n 3n 3n 32 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此a n2(n1)1 (1 3 n n31 31)12 n11，3 n3322 3 n则an2n3n13n1.N*)写出数列a n的通项公式. 322练习1.已知数列a n的首项为1 ，且a n1a n2 ( n n答案：n2n1(n2)练 习2. 已 知数 列an满足a 13，anan1n(11 )n， 求此 数列的 通项 公式 . n 的一次函数、二次函数、指数函; ; 答案：裂项求和an21n评注 ：已知a1a,an1anf(n)，其中 f(n) 可以是关于数、分式函数，求通项a . 若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; 若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。名师归纳总结 例 3.已知数列an中, an0且Sn1(annS nn),求数列an的通项公式 . 第 3 页，共 31 页2an(S n1解 :由已知S n1(ann)得S n1SnnS n1), 2an2化简有2 S n2 S n1n,由类型 (1)有2 Sn2 S 1231 )n, 又S 1a1得a 11,所以2 Snn(n)1sn2n(n,又a0,22, 则a n2 n(n1 )22n(n1 )此题也可以用数学归纳法来求解. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、累乘法1.适用于：a n1f n an- 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。名师归纳总结 2若an1f n ( )，则a 2fa 3(1)，a 2f(2)，L La n，an1f n ( )第 4 页，共 31 页ana 1两边分别相乘得，an1a 1kn1f k ( )a 1例 4 已知数列 a n满足an12(nn 1)5an，a 13，求数列 an的通项公式。解：因为an12(n1)5nan，a 13，所以an0，则an12(n1)5n，故a na na n1a n1La 3a 2a 1a na n2a 2a 12(nn 1 1)512(nn 2 1)52L2(22 1) 5 2(11 1) 5 32n1 ( n n1)L3 2 5(n1) (n2)L2 13n n1)n 3 2152n!所以数列 a n的通项公式为a n32n15n n1)n!.2例 5.设an是首项为1 的正项数列，且n1a21na2an1an0（n=1，2， 3， ），nn则它的通项公式是a =_. 解：已知等式可化为：(an1an)(n1 )an1nan0an1nan0(nN*)(n+1)an1nan0, 即ann1ann1n2时，an1nanan1an1a2a1=nn1n211 1=n. anan2a1n12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 评注： 本题是关于a 和an1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到a 与an1的更为明显的关系式，从而求出a . 11 ,转化为练习 .已知an1nann,1a11,求数列 an 的通项公式 . 答案：an(n1 )!(a1)1-1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an1nannan11n(an1 ),若令bnan1,则问题进一步转化为bnnbn形式， 进而应用累乘法求出数列的通项公式. 三、待定系数法适用于an1qanf n ( )基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如 a n 1 ca n d (, c 0 ,其中 a1 a )型（ 1）若 c=1 时，数列 a 为等差数列 ; （ 2）若 d=0 时，数列 a 为等比数列 ; （ 3）若 c 1且d 0 时，数列 a 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 . 待定系数法：设an1c(an), 名师归纳总结 得an1can(c1 ),与题设an1cand,比较系数得第 5 页，共 31 页(c)1d,所以1cd1(,c0 )所以有：a ncd1c (an1cd) 1a ncdd构成以a 1因此数列c1为首项，以c 为公比的等比数列，- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以a ncd1(a 1cd) 1n c1即：a n(a 1cd) 1cn1cd1. 规律：将递推关系an 1cand化为a n1cd1c (ancd1),构造成公比为c 的等比数列, . ancd 1从而求得通项公式an11dccn1(a 1cd) 1逐项相减法（阶差法） ：有时我们从递推关系an 1cand中把 n 换成 n-1 有ancan1d两式相减有an1anc(anan1)从而化为公比为c 的等比数列an1an,进而求得通项公式an1ancn(a2a1),再利用类型 (1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例 6 已知数列 a n中，a 11,an2 an11( n2)，求数列a n的通项公式。解法一：Qan2 an11( n2),a n是首项为2，公比为 2 的等解法二：an12(an11)又Qa 112,a n1是首项为 2，公比为 2 的等比数列an12n，即an2n1Qan2 an11( n2),an12an1a n2(ana n1)(n2)，故数列a n1两式相减得a n1比数列，再用累加法的 名师归纳总结 练习已知数列)an中，a 12 ,an11an1,求通项a 。第 6 页，共 31 页22答案：an(1n112- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2形如：an1panqn(其中 q 是常数，且n0,1) n若 p=1 时，即：a n 1 a n q，累加即可 . n若 p 1 时，即：a n 1 p a n q，n 1求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 p .目的是把所求数列构造成等差数列a n 1 a n 1 p n a n 1 p nn 1 n ( ) b n n b n 1 b n ( )即：p q p q ,令 p，则 p q ,然后类型 1，累加求通项 . n 1ii. 两边同除以 q . 目的是把所求数列构造成等差数列。a n 1 p a n 1n 1 n即：q q q q , b n a nn b n 1 p b n 1令 q ,则可化为 q q .然后转化为类型 5 来解，iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列名师归纳总结 设an1qn1p(anpn).通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. 第 7 页，共 31 页注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例 7 已知数列an满足an12 an4 3n1，a 11，求数列a n的通项公式。解法一（待定系数法） ：设an113n2(an3n1) ，比较系数得14,22 ，则数列a nn 4 31是首项为a 11 1 4 35，公比为 2 的等比数列，所以ann 4 31n 5 21，即an4 3n15 2n1解法二（两边同除以qn1）： 两边同时除以3n1得：a n12a n4，下面解法略n 31n 3 32 3解法三（两边同除以pn1）： 两边同时除以2n1得：an1an4(3)n，下面解法略2n12n32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 .（2003 天津理）an设a0为常数，且an03n12an1(nN)证明对任意n1，13n()1n12n()1n2na；k0) 5an 1panknb3形如(其中 k,b 是常数，且方法 1：逐项相减法（阶差法）方法 2：待定系数法通过凑配可转化为(anxny)p(an1x(n1 )y); 解题基本步骤：名师归纳总结 1、确定f n =kn+b 132n1. 第 8 页，共 31 页2、设等比数列bn(anxny)，公比为 p 3、列出关系式(anxny )p(an1x(n1 )y),即bnpbn14、比较系数求x,y 5、解得数列(a nxny)的通项公式6、解得数列a n的通项公式例 8 在数列a n中，a 1,1an13an2n,求通项a .（逐项相减法）解：，an13 an2n ,n2时，an3 an12 (n1 )，两式相减得an1an3(anan1)2.令bnan1an,则bn3 bn利用类型5 的方法知bn53n12即an1an53n11n1再由累加法可得an53n1n1. 亦可联立解出an52222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9. 在数列na中，a 13, 2 anan16n3,求通项a .（待定系数法）2an解：原递推式可化为2(anxny)nan1x(n1 )y.ab n9(1)n1即：比较系数可得：x=-6,y=9, 上式即为2 bbn1所以bn是一个等比数列，首项b 1a 16 n9912,公比为2226n99(1)nc(其中 a,b,c 是常数，且0) 2故an9(1 )2n6 n9. 4形如an1panan2bn基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。名师归纳总结 例 10 已知数列 an满足a n12 an3 n24n5，a 11，求数列 an的通项公式。第 9 页，共 31 页解： 设an1x n2 1)y n1)z2(a nxn2ynz )比较系数得x3,y10,z18，所以a n13(n1)210(n1)182(an3 n210n18)由a 12 3 1101 18131320，得a n32 n10n180则a n13( n2 1)10( n1) 182，故数列an3 n210n18为以a n2 3 n10 n18a 12 3 110 11813132为首项，以2 为公比的等比数列，因此an3 n210n1832n 21，则an2n43 n210n18。- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5.形如a n2pan1qan时将a 作为f n 求解分析：原递推式可化为a n2a n1(p)(an1an) 的形式，比较系数可求得精选学习资料 - - - - - - - - - 例 13.（2005 江西卷）已知数列an的各项都是正数,且满足:a 0,1an11a n(4an),nN，n(an2)22（1）证明a nan12,nN;（2）求数列an的通项公式an. n12)解：（1）略（ 2）an11an(4an)1(an2)24,所以2 (a22(1)122令b nan2 则b n1b211(12 b n2)21(1)22 b n211b2 nnn又 bn=1，222222所以b n(1)2 n1,即an2bn2(1)2n1. 22b ，则 cn1 2c2n1,转化为上方法 2：本题用归纳 -猜想 -证明，也很简捷，请试一试.解法 3：设 cn面类型（ 1）来解五、对数变换法适用于an1par(其中 p,r 为常数 )型p>0，an0n名师归纳总结 例 14.设正项数列an满足a11，an2 a21（n2）.求数列an的通项公式 . 1，则1，第 11 页，共 31 页n解：两边取对数得：logan12logan1，logan12(logan11 )，设b na log 2n2222bn2b n1bn是以 2 为公比的等比数列，b1log111b n12n12n2loga n12n1，logan2n11，a n22n1122练习数列an中，a11，an2an1（n2），求数列an的通项公式 . 答案：an2222n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 15 已知数列 an满足a n12 3n5 a ，a 17，求数列 a n的通项公式。解：因为an123na5 n，a 17，所以a n0，a n10。nlg3lg 20，两边取常用对数得lga n15lgannlg3lg 2设lga n1x n1)y5(lganxny)（同类型四）比较系数得，xlg3,ylg3lg 241640，得lga nlg3由lga 1lg31lg3lg 2lg 7lg31lg3lg 2416441644164所以数列lga nlg3nlg3lg 2是以lg 7lg3lg3lg 2 4为首项，以5 为公比的等比数列，4164416则lga nlg3nlg3lg 2(lg 7lg3lg3lg 2)5n1，因此41644164lga n(lg 7lg 3lg 3lg 2n )51lg 3nlg 3lg 24164464111n11lg(7 343 16n 2 )51lg(343 162 )1115n1lg(3n11lg(7 3 43 162 )43 162 )5n4n1