2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题二 第一讲　三角函数的图象与性质 .doc

专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质高考导航 三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题2三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为yAsin(x)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质.1(2016四川卷)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度解析因为ysinsin，所以只需把函数ysin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可，故选D.答案D2(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减解析f(x)的最小正周期为2，易知A正确；fcoscos31，为f(x)的最小值，故B正确；f(x)coscos，fcoscos0，故C正确；由于fcoscos1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误答案D3(2017全国卷)函数f(x)sin2xcosx的最大值是_解析f(x)sin2xcosxcos2xcosx21，又0x，0cosx1.当cosx时，f(x)有最大值，最大值为1.答案14(2017浙江卷)已知函数f(x)sin2xcos2x2sinxcosx(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)由sin，cos，f222，得f2.(2)由cos2xcos2xsin2x与sin2x2sinxcosx得f(x)cos2xsin2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间是(kZ)考点一三角函数的概念、诱导公式及基本关系式1三角函数的定义若角的终边过点P(x，y)，则sin，cos，tan(其中r)2诱导公式(1)sin(2k)sin(kZ)，cos(2k)cos(kZ)，tan(2k)tan(kZ)(2)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(3)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(4)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(5)sincos，cossin，sincos，cossin.3基本关系sin2xcos2x1，tanx.对点训练1已知sin，则cos()A B. C. D解析coscossinsinsinsin.答案A2已知P(sin40，cos140)为锐角终边上的点，则()A40 B50 C70 D80解析P(sin40，cos140)为角终边上的点，因而tantan50，又为锐角，则50，故选B.答案B3已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1，则sin的值是()A. B. C. D.解析由已知可得2tan3sin50，tan6sin10，可解得tan3，又为锐角，故sin.答案C4若，则 _.解析因为 |sincos|，又，所以原式sincos.答案sincos利用诱导公式进行化简求值的3步利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其三步骤记为：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定【易错提醒】“奇变偶不变，符号看象限”，把角看作“k，kZ”的形式考点二三角函数的图象与解析式1“五点法”作函数yAsin(x)的图象设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得2两种图象变换解(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sinxcosxcosxsinxcosxsin.由题设知f0，所以k，kZ.故6k2，kZ，又0<<3，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.探究追问(1)在本例中将f0改为f，其余条件不变，求的值(2)本例中将f0改为若函数图象上相邻两个对称中心之间的距离为，其余条件不变，求的值(3)本例中将f0改为若函数图象上最高点与最低点距离的最小值为 ，其余条件不变，求的值(4)设函数g(x)sin，若x，g(x)m恒成立，求实数m的取值范围解(1)由题意得f(x)sin，则由f可得，sin，即sin1，所以2k，kZ，解得k2，kZ.因为0<<3，所以2.(2)由题意得f(x)sin，因为相邻两个对称中心之间的距离为，所以函数的周期T2，所以2.(3)由题意得f(x)sin，所以函数f(x)的最大值为，最小值为，不妨设最高点A(x1，)，最低点B(x2，)，则|AB|.由题意知|AB|的最小值为 ，所以|x1x2|，所以函数的周期T2，所以2.(4)由典例1可知，g(x)在上的最小值为，所以m.(1)此类题目是三角函数问题中的典型题型，该题综合考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换、由三角函数值求参数、三角函数图象的变换、三角函数在指定区间上的最值等，考查运算求解能力、逻辑推理能力以及转化与化归思想、应用意识等。第(1)问，突破传统的由函数周期求的命题思路，利用三角函数的一个零点以及的取值范围求的值，构思巧妙，尤其是几个探究追问，更将与有关的量展示的淋漓尽致第(2)问考查函数在指定区间上的最值问题，函数g(x)解析式的给出融合了三角函数图象的伸缩、平移变换，增加了试题难度。而追问(4)将恒成立问题转化为最值问题，是常见的转化策略(2)三角函数图象问题的处理策略在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向在利用图象求三角函数yAsin(x)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、，然后根据图象过某一特殊点求，若是利用零点值来求，则要注意是xk(kZ)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值【易错提醒】一般地，由最高点或最低点确定的唯一，由零点确定的不唯一，需依据图象的升降进行取舍 对点训练1(2017全国卷)已知曲线C1：ycosx，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析ysincoscoscos.由ycosx的图象得到ycos2x的图象，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；由ycos2x的图象得到ycos的图象，需将ycos2x的图象上的各点向左平移个单位长度，故选D.答案D2(2017洛阳统考)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()Af(x)sin Bf(x)sinCf(x)sin Df(x)sin解析由题中图象可知，T，2，故排除A、C，把x代入检验知，选项D符合题意答案D考点三三角函数的性质1三角函数的单调区间ysinx的单调递增区间是(kZ)，单调递减区间是(kZ)；ycosx的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytanx的递增区间是(kZ)2三角函数的奇偶性与对称性yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数 A关于直线x对称B关于直线x对称C关于点对称 D关于点对称, 解析f(x)的最小正周期为，2，f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)sinsin的图象，又g(x)的图象关于原点对称，k，kZ，k，kZ，又|<，<，k1，f(x)sin，当x时，2x，A、C错误，当x时，2x，B正确，D错误答案B探究追问在例21中条件不变，若将“图象关于原点对称”改为“图象关于y轴对称”，则f(x)的图象对称性是怎样的？解析g(x)的图象关于y轴对称，则k，kZ，可求，f(x)sin，2xk，kZ，可得x，kZ，令k1，则x，故选D.答案D角度2：求三角函数的单调区间及最值【例22】(2017山东聊城一中检测)已知函数f(x)(2cosxsinx)sinxsin2(>0)，且函数yf(x)的图象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为.(1)求的值和函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的值域思维流程(1)(2)解(1)f(x)2cosxsinxsin2xcos2xsin2xcos2x2sin.由f(x)图象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为，知，即1.所以f(x)2sin，令2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)因为0x，所以2x，所以sin1，所以1f(x)2.即函数f(x)的值域为1,2(1)求单调区间的两种方法代换法：求形如yAsin(x)(或yAcos(x)(A，为常数，A0，>0)的单调区间时，令xz，则yAsinz(或yAcosz)，然后由复合函数的单调性求得图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间(2)判断对称中心与对称轴利用函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断(3)三角函数的周期的求法利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.利用图象 对点训练1角度1(2017重庆模拟)若函数f(x)sin(>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则f(x)的一个单调递增区间为()A. B.C. D.解析依题意得，f(x)sin的图象相邻两个对称中心之间的距离为，于是有T2，2，所以f(x)sin.当2k2x2k，kZ，即kxk，kZ时，f(x)sin单调递增因此结合各选项知，f(x)sin的一个单调递增区间为，选A.答案A2角度2(2017银川模拟)已知函数f(x)sin2xcos2x的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象关于函数g(x)，下列说法正确的是()A在上是增函数B其图象关于直线x对称C函数g(x)是奇函数D当x时，函数g(x)的值域是2,1解析f(x)sin2xcos2x22sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，得g(x)f2sin2sin2cos2x.其图象如图由图可知，函数在上是减函数，A错误；其图象的对称中心为，B错误；函数为偶函数，C错误；2cos1,2cos1，当x时，函数g(x)的值域是2,1，D正确故选D.答案D热点课题7函数yAsin(x)的图象和性质的综合应用感悟体验1(2017湖南省湘中名校高三联考)已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)对xR恒成立，且f>f()，则f(x)的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析因为f(x)对xR恒成立，即1，所以k(kZ)因为f>f()，所以sin()>sin(2)，即sin<0，所以2k(kZ)，所以f(x)sin，所以由三角函数的单调性知2x(kZ)，得x(kZ)，故选C.答案C2(2017山西长治联考)已知函数f(x)sin(>0)，且在上有且仅有三个零点，若f(0)f，则()A. B2 C. D.解析函数f(x)sin(>0)，f(0)f，即f(0)f0，f(x)的图象关于点对称，故sin0，故有k，kZ.f(x)在上有且仅有三个零点，故有<<，6>>4.综合，结合所给的选项，可得.故选D.答案D