空间向量知识点归纳总结.docx

精品名师归纳总结空间向量与立体几何学问点归纳总结一学问要点。1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR运算律：加法交换律： abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法结合律：数乘安排律：abcabcab ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算法就：三角形法就、平行四边形法就、平行六面体法就3. 共线向量。（1） 假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线向量或平行向量, a 平行于 b ,记作a / b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、b （ b 0 ）,a / b 存在实数 ,使a b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 三点共线： A、B、C 三点共线 <=> AB<=> OCACxOAyOB其中xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a（4） 与 a 共线的单位向量为a4. 共面对量（1） 定义：一般的,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明：空间任意的两向量都是共面的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 共面对量定理：假如两个向量x, y 使 pxayb 。a, b 不共线, p 与向量a,b 共面的条件是存在实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）四点共面：如 A、B、C、P 四点共面 <=> APx ABy AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结<=> OPxOAyOBzOC 其中 xyz1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 空间向量基本定理：假如三个向量a, b, c 不共面,那么对空间任一向量p ,存可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在一个唯独的有序实数组x, y,z,使 pxaybzc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c不共面, 我们把 a, b, c叫做空间的一个基底,a, b, c 叫做基向量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设 O, A, B,C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实数x, y, z ,使 OPxOAyOBzOC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 空间向量的直角坐标系：（1） 空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中,对空间任一点 A ,存在唯独的有序实数组 x,y, z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使OAxiyizk,有序实数组 x,y, z叫作向量 A 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 Ax, y, z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为 x,-y,-z,关于 xoy 平面的对称点为 x,y,-z. 即点关于什么轴 /平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为0,y,0,在平面 yOz中的点设为 0,y,z（2） 如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为 1,这个基底叫单位正交基底,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用 i ,j , k表示。空间中任一向量 axiy jzk=（ x,y,z）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）空间向量的直角坐标运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a a1,a2 , a3 , bb1,b2 ,b3 ,就 aba1b1 , a2b2 , a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1, a2b2 , a3b3 , a a1,a2,a3R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ba1b1a2b2a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / ba1b1, a2b2 , a3b3 R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1a2b2a3b30 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A x1,y1, z1 ,B x2 ,y2 , z2 ,就 AB x2x1, y2y1, z2z1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 定比分 点公式： 如A x1,y1, z1 ,B x2 ,y2, z2 , APPB , 就点 P 坐 标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x11x2 , y11y2 , z11z2 。 推 导 ： 设P（ x,y,z） 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx1, yy1, zz1x2x, y2y, z2z ,明显,当 P 为 AB 中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1时, Px2 , y12y2 , z12z2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC中, A（x1 ,y1, z1）, B x2 ,y2, z2 , Cx3 ,y3 , z3 ,三角形重心P 坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2为 P3x3 , y1y2 2y3 , z1z2 2z3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC的五心：内心 P：内切圆的圆心,角平分线的交点。AP外心 P：外接圆的圆心,中垂线的交点。PA ABACABACPBPC （单位向量）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂心 P：高的交点：PA PBPA PCPBPC（移项,内积为 0,就垂直）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重心 P：中线的交点,三等分点（中位线比） 中心：正三角形的全部心的合一。AP1 AB 3AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 模长公式：如 aa1, a2 , a3 , bb1, b2 ,b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| a |a aa 2a 2a 2, | b |222123b bbbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123（5） 夹角公式：cos a ba ba1b1a2b2a3b3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | | b |222222aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC中 ABAC0 <=>A为锐角 ABAC0 <=>A为钝角,钝角 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6） 两点间的距离公式：如A x1, y1, z1 ,Bx2,y2 , z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就| AB |AB xx 2 yy 2 zz 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212121或d xx 2 yy 2zz 2A, B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 空间向量的数量积。（ 1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ,在空间任取一点O ,作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAa, OBb , 就 AOB 叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 , 记 作a, b。 且 规 定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0a, b,明显有a, bb, a。如a, b,就称 a 与b 相互垂直,记作：ab 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 向量的模： 设OAa ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模, 记作： | a | 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 向量的数量积：已知向量a, b ,就| a| | b| cosa, b叫做a, b 的数量积,记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作a b ,即 a b|a | | b | cos a,b。（4） 空间向量数量积的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a e| a |cosa, e。aba b0 。| a |2a a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 空间向量数量积运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a ba ba b。 a bb a （交换律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a bc a ba c （安排律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不满意乘法结合率： 二空间向量与立体几何a bcab c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 线线夹角（共面与异面） 0 O ,90O 两线的方向向量n1, n2的夹角或夹角的补角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscosn1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-1 线面夹角0 O ,90O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量 n 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结夹角,如为锐角角即可,如为钝角,就取其补角。再求其余角,即是线面的夹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角. sincosAP, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-2 面面夹角（二面角） 0O ,180O ：如两面的法向量一进一出,就二面角等于两法向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量 n1 , n2的 夹 角 。 法 向 量 同 进 同 出 , 就 二 面 角 等 于 法 向 量 的 夹 角的 补 角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscosn1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 点面距离 h：求点P x0, y0到平面 的距离： 在平面 上去一点Q x, y ,得向量 PQ ;。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算平面 的法向量 n ;. hPQnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】1. 基本运算与基本学问（）例 1. 已知平行六面体 ABCD AB C D,化简以下向量表达式, 标出化简结果的向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABBC 。 ABADAA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABAD1 CC 。 1 ABADAA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MG例 2. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B,C ,问满意向量式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPxOAyOBzOC （其中xyz1 ）的四点P, A, B, C 是否共面？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结。例 3 已知空间三点 A（ 0,2,3）,B（ 2, 1,6）,C（ 1, 1, 5）。求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积S。如向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且 | a | 3 ,求向量 a 的坐标。2. 基底法（如何找,转化为基底运算）3. 坐标法（如何建立空间直角坐标系,找坐标）4. 几何法编号 03 晚自习测试。 17,18 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4. 如图,在空间四边形 OABC中, OA8 , AB6 , AC4 , BC5 , OAC45 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAB60 ,求OA与 BC 的夹角的余弦值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OACB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：由图形知向量的夹角易出错,如OA, AC135易错写成OA, AC45 ,切记！可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5. 长方体ABCDA1B1C1D1 中,ABBC4 , E 为A1C1 与B1D1 的交点, F 为BC1 与 B1C 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交点,又 AFBE ,求长方体的高 BB1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【模拟试题】1. 已知空间四边形 ABCD ,连结AC , BD ,设 M ,G 分别是BC , CD 的中点, 化简以下各表达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式,并标出化简结果向量： （ 1） ABBCCD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） AB1 BDBC 。 （3） AG21 ABAC 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知平行四边形 ABCD,从平面 AC 外一点 O 引向量。OEkOA,OFkOB,OGkOC, OHkOD。（1） 求证：四点 E, F ,G, H 共面。（2） 平面 AC / 平面 EG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如图正方体ABCDA B C D 中,B ED F1 A B ,求 BE 与 DF 所成角的余弦。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111 111114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知平行六面体 ABCDA B C D 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB4, AD3, AA5,BAD90,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAADAA60,求 AC 的长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 参考答案 1. 解：如图,（1） ABBCCDACCDAD 。（2） AB1 BDBCAB1 BC1 BD 。222ABBMMGAG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） AG1 ABAC2AGAMMG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 解：（ 1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形, ACABAD , EGOGOE ,k OCk OAkOCOAk ACk ABAD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k OBOAODOAEFEH E, F ,G, H 共面。OFOEOHOE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）解：EFOFOEk OBOAkAB ,又 EGkAC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EF /AB, EG /AC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,平面3.AC / 平面 EG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：不妨设正方体棱长为 1,建立空间直角坐标系 Oxyz ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就B1,1,0 ,E1 1,1 , D 0,0,0 ,34F10,1 ,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE10,1,1 , DF1410,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE1DF117 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE1 DF10011 1115 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结441615可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosBE1, DF11617174415 。17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 分析：AB 2, 1,3, AC1, 3,2,cosBACAB AC1| AB | AC |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BAC 60°,S| AB | AC| sin 6073可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a （ x,y, z）,就aAB2xy3 z0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aACx3y2 z0,| a |3x2y2z23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 xy z 1 或 xy z 1, a （ 1, 1, 1）或a （ 1, 1, 1）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 解： | AC |2 ABADAA 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB |2| AD |2| AA |22 AB AD2AB AA2 AD AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结423252243cos90245cos602 35cos60169250201585可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以, | AC |85 。可编辑资料 - - - 欢迎下载