2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：选修4-5 不等式选讲 第二节　不等式的证明 .docx

第二节不等式的证明2019考纲考题考情1比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：ab>0a>b。(2)作商法：>1a>b(a>0，b>0)。2综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。3反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。4放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。5柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号当且仅当adbc时成立。1a20(aR)。2(ab)20(a，bR)，其变形有a2b22ab，2ab，a2b2(ab)2。3若a，b为正实数，则，特别地，2。4a2b2c2abbcca。 一、走进教材1(选修45P23T1改编)已知ab>0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_。解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)。因为ab>0，所以ab0，ab>0,2ab>0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b。答案MN2(选修45P24例3改编)求证：<2。证明<2()2<(2)2102<104<221<24。故原不等式成立。二、走出误区微提醒：不等式放缩不当致错；运用柯西不等式不能合理变形。3设a，b(0，)，且abab1，则有()Aab2(1) Bab1Cab<1 Dab>2(1)解析由已知得ab1ab2，故有(ab)24(ab)40，解得ab22或ab22(舍去)，即ab22。(当且仅当ab1时取等号)故选A。答案A4已知三个互不相等的正数a，b，c满足abc1。试证明：<。证明因为a，b，c>0，且互不相等，abc1，所以<，即<。5设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，求的最小值。解根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为。考点一 比较法证明不等式【例1】(1)当p，q都是正数且pq1时，试比较(pxqy)2与px2qy2的大小。(2)已知a，bR，求证：aabb(ab)。解(1)(pxqy)2(px2qy2)p2x2q2y22pqxy(px2qy2)p(p1)x2q(q1)y22pqxy。因为pq1，所以p1q，q1p。所以(pxqy)2(px2qy2)pq(x2y22xy)pq(xy)2。因为p，q为正数，所以pq(xy)20，所以(pxqy)2px2qy2。当且仅当xy时，不等式中等号成立。(2)ab。当ab时，1；当a>b时，>1，>0，由指数函数的性质知>1，当a<b时，0<<1，<0，由指数函数的性质知>1。所以aabb(ab) 。1作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论。其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负。2作商比较法证明不等式的步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断与1的大小关系；(4)得出结论。其中“作商”要注意两式的正、负，不能随意作商。 【变式训练】(2019陕西质检)已知函数f(x)|2x1|x1|。(1)解不等式f(x)3；(2)记函数g(x)f(x)|x1|的值域为M，若tM，证明t213t。解(1)依题意，得f(x)所以f(x)3或或解得1x1，即不等式f(x)3的解集为x|1x1。(2)g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，当且仅当(2x1)(2x2)0时取等号，所以M3，)。t213t，因为tM，所以t30，t21>0，所以0，所以t213t。考点二 综合法证明不等式【例2】(2018山西晋中二模)已知函数f(x)|x1|。(1)若xR，使不等式f(x2)f(x3)u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a1)(b1)(c1)t，求证：abc8。解(1)由已知得f(x2)f(x3)|x1|x2|则1f(x)1，由于xR，使不等式|x1|x2|u成立，所以u1，即Mu|u1。(2)证明：由(1)知t1，则(a1)(b1)(c1)1，因为a>1，b>1，c>1，所以a1>0，b1>0，c1>0，则a(a1)12>0(当且仅当a2时等号成立)，b(b1)12>0(当且仅当b2时等号成立)，c(c1)12>0(当且仅当c2时等号成立)，则abc88(当且仅当abc2时等号成立)。综合法证明不等式的方法1综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系。合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键。2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的。在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件。 【变式训练】已知函数f(x)2|x1|x2|。(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3。解(1)当x<1时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x<2时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)。综上，f(x)的最小值m3。(2)证明：因为a，b，c均为正实数，且满足abc3，所以(abc)22(abc)，当且仅当abc1时，取“”，所以abc，即3。考点三 分析法证明不等式【例3】已知函数f(x)|x1|。(1)求不等式f(x)<|2x1|1的解集M；(2)设a，bM，证明：f(ab)>f(a)f(b)。解(1)由题意，|x1|<|2x1|1，当x1时，不等式可化为x1<2x2，解得x<1；当1<x<时，不等式可化为x1<2x2，此时不等式无解；当x时，不等式可化为x1<2x，解得x>1。综上，Mx|x<1或x>1。(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证f(ab)>f(a)f(b)，只需证|ab1|>|ab|，即证|ab1|2>|ab|2，即证a2b22ab1>a22abb2，即证a2b2a2b21>0，即证(a21)(b21)>0。因为a，bM，所以a2>1，b2>1，所以(a21)(b21)>0成立，所以原不等式成立。分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆。 【变式训练】已知a>0，b>0,2c>ab，求证：c<a<c。证明要证c<a<c，即证<ac<，即证|ac|<，即证(ac)2<c2ab，即证a22ac<ab。因为a>0，所以只要证a2c<b，即证ab<2c。由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立。考点四 柯西不等式的应用【例4】(2018江苏高考)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值。解由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2。因为x2y2z6，所以x2y2z24，当且仅当时，不等式取等号，此时x，y，z，所以x2y2z2的最小值为4。1利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题。2利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件。 【变式训练】(1)已知a，b，cR，且满足a2b3c6，则a22b23c2的最小值为_。(2)设x，y，zR，且1，则xyz的取值范围是_。解析(1)由柯西不等式，得(123)(a22b23c2)(1abc)2。得6(a22b23c2)(a2b3c)236。所以a22b23c26。当且仅当，即abc1时，上式等号成立。所以a22b23c2的最小值为6。(2)由柯西不等式，得42()2222，即251(xyz)2。所以5|xyz|，所以5xyz5。即xyz的取值范围是5,5。答案(1)6(2)5,51(配合例1使用)已知a，b为正实数。(1)求证：ab。(2)利用(1)的结论求函数y(0<x<1)的最小值。解(1)因为(ab)。又因为a>0，b>0，所以0，当且仅当ab时等号成立。所以ab。(2)因为0<x<1，所以1x>0，由(1)的结论，y(1x)x1。当且仅当1xx即x时等号成立。所以函数y(0<x<1)的最小值为1。2(配合例3使用)(1)已知abc1，证明：(a1)2(b1)2(c1)2；(2)若对任意实数x，不等式|xa|2x1|2恒成立，求实数a的取值范围。解(1)证明：因为abc1，所以(a1)2(b1)2(c1)2a2b2c22(abc)3a2b2c25，所以要证(a1)2(b1)2(c1)2，只需证a2b2c2。因为a2b2c2(abc)22(abbcca)(abc)22(a2b2c2)，所以3(a2b2c2)(abc)2。因为abc1，所以a2b2c2，所以(a1)2(b1)2(c1)2。(2)设f(x)|xa|2x1|，则“对任意实数x，不等式|xa|2x1|2恒成立”等价于“f(x)min2”。当a<时，f(x)此时f(x)minfa，要使|xa|2x1|2恒成立，必须a2，解得a。当a时，不可能恒成立。当a>时，f(x)此时f(x)minfa，要使|xa|2x1|2恒成立，必须a2，解得a。综上可知，实数a的取值范围为。3(配合例4使用)已知不等式|2x3|<x与不等式x2mxn<0(m，nR)的解集相同。(1)求mn；(2)若a，b，c(0,1)，且abbcacmn，求a2b2c2的最小值。解(1)当x0时，不等式的解集为空集；当x>0时，|2x3|<xx<2x3<x1<x<3，所以1,3是x2mxn0的两根，所以所以所以mn1。(2)由(1)得abbcac1，因为ab，bc，ac，所以a2b2c2abbcac1(当且仅当abc时取等号)。所以a2b2c2的最小值是1。4(配合例4使用)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4。(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值。解(1)因为|xa|xb|ab|，所以f(x)|ab|c，当且仅当(xa)(xb)0时，等号成立，又a>0，b>0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc，所以abc4。(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即a2b2c2，当且仅当时，等号成立，又因为abc4，所以a，b，c时，等号成立，所以a2b2c2的最小值为。