2022年高中数学教案精选--双曲线的标准方程 .pdf

名师精编精品教案双曲线及其标准方程（第一课时）南昌十中刘丽华一、教学目标知识点双曲线及其焦点,焦距的定义。双曲线的标准方程及其求法。双曲线中a，b，c 的关系。双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。能力要求使学生掌握双曲线的定义和标准方程的推导方法。由双曲线的标准方程知它的图形特征及焦点位置。掌握 a，b，c 之间的关系。二、教学重点双曲线的定义。双曲线的标准方程。掌握 a，b，c 之间的关系。三、教学难点双曲线的标准方程。四、教学方法类比归纳法。（通过前面所学的椭圆进行联想，类比推出双曲线的定义及其标准方程，从而进行归纳总结）五、教学过程前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1， F2的距离的 和 等于常数（大于 F1F2）的点的轨迹叫做椭圆” 。下面我们来考虑这样一个问题？平面内与两定点F1，F2的距离 差 为常数的点的轨迹是什么？我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设 |F1F2|=100,|MF1|MF2|且|MF1|MF2|=50 不断变化 |MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页名师精编精品教案若我们交换一下长度，|MF1|MF2|且|MF1|MF2|=50 时 ，可知它的轨迹也是一条曲线那么由这个实验我们得出一个结论：“平面内两个定点F1，F2的距离的 差的绝对值 为常数的点的轨迹是双曲线。”但大家思考一下这个结论对不对 呢？我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于 |F1F2|）那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？下面我们来看一个试验，当|MF1| |MF2|=0 时， M 点的轨迹为F1，F2的中垂线；随着 |MF1|-|MF2|的不断变化，呈现出一系列不同形状的双曲线；当|F1F2|即和 |F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；若|MF1|-|MF2|100 时，就不存在点M。那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确 定义：定义： 平面内与两定点F1，F2的距离 差的绝对值为 非零 常数（小于 |F1F2|）的点的轨迹是双曲线。定点F1，F2叫做双曲线的焦点 ，两焦点的距离叫双曲线的焦距 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页名师精编精品教案我们知道当一个椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上时，所表示椭圆的方程为标准方程。当焦点在x 轴上时，12222byax；当焦点在y 轴上时，12222bxay那么双曲线方程是否也有标准方程呢？我们就来求一下看看：解：建立直角坐标系xoy，使 x 轴经过 F1，F2，并且点 O 与线段 F1F2的中点重合。如图所示：设 M（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c0） ，那么，焦点F1，F2，的坐标是（c，0） （c，0） 。又设点M 与 F1，F2，的距离的差的绝对值等于常数2a有定义可知，双曲线就是集合p M|MF1|MF2|=2a 因为|MF1|=22)(ycx|MF2|=22)(ycx所以得22)(ycx22)(ycx 2a 将方程化简，得（ c2 a2） x2ay2a2（c2a2）由双曲线的定义可知，2c2a，即 ca，所以 c2-a20 令 c2-a2=b2其中 b0，代入上式，得b2x2a2y2=a2b2 两边除以a2b2，得12222byax（a0,b0）这个方程叫做双曲线标准方程。当焦点在y 轴上时 ,12222bxayF1(0,c) F2(0,c)（a 0,b0）*观察双曲线的标准方程和椭圆标准方程，思考几个问题：1、焦点在哪个轴上如何判断？2、方程中a,b,c 的关系怎样 ? （椭圆哪个二次项的分母大，焦点就在相应的那个坐标轴上，双曲线哪项为正焦点就落在相应的坐标轴上。 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页名师精编精品教案例 1 求适合下列条件中的双曲线的标准方程：1 a=3,b=4 焦点在 y 轴上，解：因为焦点在y 轴上所以所求方程为116922yx2 a=5,b=7, 分析：焦点不知在哪个轴上，分情况分析解：当焦点在x 轴上时1492522yx当焦点在 y 轴上时1492522xy3两焦点为F1(5,0),F2(5,0) 双曲线上的点到它们的距离之差绝对值为8 解：由已知c=5,2a=8 即 a=4 由 c2=a2+b2得 b2=c2+a2=5242=9 又焦点在 x 轴上，所求方程为191622yx4已知c=7,b=43焦点在 x 轴上解：由 c2=a2+b2得 a2=c2b2=72(43)2=1 又焦点在 x 轴上，所以所求方程为：14822yx练习 1：求适合下列条件的双曲线的标准方程：1、a=4,b=6,焦点在 x 轴解：由 b2=c2a2=6242=20 又因为焦点在x 轴上所以所求方程为：1201622yx2、c=10,b=7 焦点在 y 轴上解：由 a2=c2 b2=10272=51 又因为焦点在y 轴上，所求方程为：1495122xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页名师精编精品教案例 2：求下列双曲线的焦点坐标：1、1643622yx解： a2=36,b2=64 c2=36+64=100,c=10 又因为焦点在x 轴上，所求焦点坐标为(10,0),(10,0)。2、1822yx解：化标准方程为：1822xya2=1,b2=8，又因为焦点在y 轴上 , 所求焦点坐标为(0,3),(0,3)。3、 9y2-4x2=36 解：化标准方程为：19422xy所以 a24，b29。由从 c2a2+b2=4+9=13。又因为焦点在y 轴上 ; 所求焦点坐标为（0，13）和（ 0，13） 。例 3：双曲线11522yx的焦点与椭圆192522yx的焦点有什么关系? 解：双曲线11522yx中 a2=1,b2=15,由 c2=a2+b2得 c=4 所以双曲线的两个焦点坐标为(4,0)和(-4,0) 椭圆192522yx中 a2=25,b2=9 由 c2=a2+b2=25 9=16 得所以椭圆的两个焦点坐标也是(4,0)和(4,0)。它们的 焦点相同 .思考题：1 已知曲线的方程为14322mymx（1）若 c 为椭圆，求m 的取值范围，并求椭圆的焦点。(m 4) （2）若 c 为又曲线，求m 的取值范围，并求双曲线的焦点。(3m4) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页名师精编精品教案2 已知双曲线的方程为14622mymx，讨论 c 曲线的形状6m4 时，为椭圆， (m1 焦点在 x 轴， m 1 焦点在 y 轴 ) m 1 时为圆m4 或 m 6 时，为双曲线 ;( m4 焦点在 x 轴， m 6 焦点在 y 轴) 小结：1 定义：平面内与两定点F1，F2的距离的 差 的绝对值 等于常数 （小于 |F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线 .2 双曲线的标准方程为：焦点在 x 轴时 ,12222byax（a0,b0）叫焦点坐标F1（ c，0）F2（c，0） 。焦点在 y 轴时 ,12222bxay（a0,b0）焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c) 3 注意 双曲线与椭圆的区别与联系椭圆双曲线|MF1|MF2|=2a |MF1|MF2|=a a2=b2+c2c2=a2+b212222byax（ab0）12222bxay12222byax（a0,b0）12222bxaya 比 b 大a 不一定比 b 大焦点位置与分母大小相对应焦点位置与项的正负对应作业： p108 习题第 3 题六、板书设计双曲线及其标准方程椭圆的定义，椭的标准方程例 1，例 2，思考 1 小结： 1、定义2、标准方程3、双曲线与椭圆的区别与联系双曲线的定义，双曲线的标准方程练 1，例 3，思考 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页名师精编精品教案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页