2022年高中数学概率与统计解答题汇总 .pdf

概率与统计解答题1、A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用假设干试验组进行比照试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效。假设在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A 有效的概率为32,服用 B 有效的概率为21. 求一个试验组为甲类组的概率；观察3 个试验组，用表示这3 个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。解：设Ai表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只” ，i=0 ，1，2；Bi表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只” ，i=0 ，1，2 依题意有 P( A1)=21323=49, P( A2)=2323=49, P( B0)=1212=14, P( B1)=2 1212=12, 所求的概率为p=P(B0A1) P(B0A2) P(B1A2)=144914491249=49 6 分的可能取值为0，1，2，3，且B(3,49), P(=0)=(59)3=125729, P(=1)= C1349(59)2=100243, P(=2)= C23(49)259=80243, P( =3)=(49)3=64729的分布列为0 1 2 3 p 1257291002438024364729数学期望 E =349=43 12 分2、设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程20 xbxc实根的个数重根按一个计求方程20 xbxc有实根的概率；求的分布列和数学期望；求在先后两次出现的点数中有5 的条件下，方程20 xbxc有实根的概率.解:I基本领件总数为6636，假设使方程有实根，则240bc，即2bc。当1c时，2,3,4,5,6b；当2c时，3,4,5,6b；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页当3c时，4,5,6b；当4c时，4,5,6b；当5c时，5,6b；当6c时，5,6b, 目标事件个数为54332219,因此方程20 xbxc有实根的概率为19.36(II) 由题意知，0,1,2，则17(0)36P，21(1),3618P17(2)36P，故的分布列为0 1 2 P 17361181736的数学期望171170121.361836E(III) 记“先后两次出现的点数中有5”为事件M， “方程20axbxc有实根”为事件N，则11()36P M，7()36P MN，()7()()11P MNP N MP M. 3、如图是在竖直平面内的一个“ 通道游戏 ” 图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇， 假设竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层， ， 依次类推 现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动记小弹子落入第n层第m个竖直通道从左至右的概率为( ,)P n m 已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道求(2,1),(3,2)PP的值，并猜想( ,)P n m的表达式不必证明 设小弹子落入第6 层第m个竖直通道得到分数为， 其中4,133,46mmmm，试求的分布列及数学期望第 1 层第 2 层第 3 层第 4 层入口精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页解： 10101111(2,1)222PC，2 分1112111(3,2)222PC4分111( ,)2mnnCP n m6 分201555515(6,1)(6,6),(6, 2)(6,5),232232CCPPPP25510(6,3)(6,4)232CPP3 2 1 P23210322032 9 分2316E1 2 分4、2009 年 10 月 1 日，为庆祝中华人们共和国成立60 周年，来自北京大学和清华大学的共计 6 名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是35。1求 6 名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；2求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；3 设随机变量 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求 分布列及期望。解： 1记 “ 至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位” 为事件A，则 A 的对立事件为“ 没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位” ，设有北京大学志愿者x 个， 1x6 ，那么 PA=2626315xCC，解得x=2，即来自北京大学的志愿者有2 人，来自清华大学志愿者4 人；-3分2记清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人为事件E，那么 PE=112426C CC=815，所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是815；-6 分3 的所有可能值为0，1，2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页P =0 =2426CC=25，P=1 =112426C CC815，P =2 =2226CC=115，-8 分所以 的分布列为-11分2812012515153E-12分命题意图： 此题考查了排列、组合、 概率、 数学期望等知识，考查了含有 “至多、 至少、恰好”等有关字眼问题中概率的求法以及同学们利用所学知识综合解决问题的能力。5、小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种症状中的一种：兴奋、无变化药物没有发生作用 、迟钝 假设出现三种症状的概率依次为1 1 1,2 3 6、 、现对三只小白鼠注射这种药物I 求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；II 用表示三只小白鼠共表现症状的种数，求的颁布列及数学期望解： 用(1 2,3)iA i，表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、 及迟钝，用(1 2,3)iB i，表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，用(1 2,3)iCi，表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝. 三只小白鼠反应互不相同的概率为33123()PA P A B C3 分1111623665 分可能的取值为321，. 3331112223331111(1)()2366PP ABCA B CA B C, 61)3(P，8 分3261611)3()1(1)2(PPP或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页2311211322122333133222232222(2)()1111(2326111111112)363262633PCP A B CA B CA B CA B CA B CA B CC. 10 分所以，的分布列是1 2 3 P613261所以，2213322611E 12 分6、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量单位：克 ，重量的分组区间为495,490，500,495， . . . ，515,510.由此得到样本的频率分布直方图，如下图 根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量； 在上述抽取的40 件产品中任取 2件， 设为重量超过 505 克的产品数量，求的分布列；从流水线上任取5 件产品，估计其中恰有2 件产品的重量超过505 克的概率 . 解： 重量超过505 克的产品数量是12)501.0505.0(40件-2 分的所有可能取值为0,1,2 只有当下述没做或都做错时，此步写对给1 分22824063(0)130CPC,11122824056(1)130C CPC,21224011(2)130CPC, 以上中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1 分的分布列为-9 分每个 2 分，表 1 分由的统计数据知，抽取的40 件产品中有12 件产品的重量超过505 克，其频率为3. 0， 可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505 克的概率为3 .0，令为任取的5 件产品中重量超过505 克的产品数，则)3.0, 5( B，-11分故所求的概率为3087.0)7 .0()3.0()2(3225Cp-13 分0 1 2 P130631305613011精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页7、张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线如图 ，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L2路线上有 B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35假设走L1路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；假设走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由解： 设走L1路线最多遇到1 次红灯为A 事件，则0312331111()=( )( )2222P ACC4 分所以走 L1路线，最多遇到1 次红灯的概率为12依题意，X的可能取值为0，1，2 331(=0)=(1)(1)4510P X，33339(=1)=(1)(1)454520P X，339(=2)=4520P X8 分随机变量X的分布列为：X0 1 2 P 1109209201992701210202020EX11 分设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，1(3,)2YB，所以13322EY12 分因为EXEY，所以选择L2路线上班最好14 分8、某商场一号电梯从1 层出发后可以在2、3、4 层停靠 .已知该电梯在1 层载有 4 位乘客，假设每位乘客在2、3、4 层下电梯是等可能的. ( ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第2 层下电梯的概率；( ) 用X表示 4 名乘客在第4 层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.解： ( ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第2 层下电梯的事件为A, 1分由题意可得每位乘客在第2 层下电梯的概率都是13， 3分则4265( )1( )1381P AP A . 6分( )X的可能取值为0,1,2,3,4, 7分H C A1A2B1B2L1L2A3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页由题意可得每个人在第4 层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响，所以，1(4,)3XB. 9分X0 1 2 3 4 P168132812481881181 11分14()433E X. 13分9、甲班有2 名男乒乓球选手和3 名女乒乓球选手，乙班有3 名男乒乓球选手和1 名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2 名选手参加体育交流活动. 求选出的4 名选手均为男选手的概率. 记X为选出的4 名选手中女选手的人数，求X的分布列和期望. 解： 事件A表示“选出的4 名选手均为男选手”. 由题意知232254( )CP AC C 3分11110220. 5分X的可能取值为0,1,2,3. 6分23225431(0)10 620CP XC C， 7分11212333225423 337(1)10 620C C CCP XC C， 9分213322543 33(3)10 620C CP XC C， 10分(2)1(0)(1)(3)P XP XP XP X920. 11分X的分布列：X0123P12072092032012 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页179317()01232020202010E X. 13分10、某校选拔假设干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立。根据甲、乙、丙三人现有的水平， 第一次选拔， 甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4。第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5。 1求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；2分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；3设甲、乙、丙经过前后两次选拔后恰有两人合格的的概率；解： 1分别设甲、 乙经第一次选拔后合格为事件1A、1B；设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则11( )()P EP AB0.50.40.24 分2分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A、B、C，则( )0.50.60.3P A，()0.60.50.3P B，()0.40.50.2P C。8 分3经过前后两次选拔后合格入选的人数为，则0、1、2、3。则(0)0.70.70.80.392P，(1)P0.30.70.80.70.3 0.80.70.70.20.434，(3)0.30.30.20.018P(2)P1(0.3920.4340.018)0.156或者(2)P0.30.30.80.70.3 0.20.30.70.20.156 。的概率分布列为0 1 2 3 P 0.3920.4340.1560.018400.3921 0.43420.15630.0180.85E。12 分11、某工厂有120 名工人，其年龄都在2060 岁之间，各年龄段人数按20，30)， 30,40)，40，50)，50，60分组，其频率分布直方图如下列图所示.工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B 两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示.假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页(1)假设用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40 的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全厂工人的平均年龄；(2)随机从年龄段 20，30)和30,40)中各抽取1 人，设这两人中A、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求 X 的分布列和数学期望。解： 1由频率分布直方图知，年龄段20,30,30,40,40,50,50,60，的人数的频率分别为0.35, 0.40 ,0.15, 0.1； ；因为0.35 4014 0.440160.15406 0.1 404；所以年龄段20,30,30,40,40,50,50,60，应取的人数分别为14；16；6；4；3 分因为各年龄组的中点值分别为25；35；45；55；对应的频率分别为0.35, 0.40 ,0.15, 0.1； ；则250.35350.4450.15550.135X由此估计全厂工人的平均年龄为35 岁. 6 分2因为年龄段20,30的工人数为120 0.3542人，从该年龄段任取1 人，由表知，此人A 项培训结业考试成绩优秀的概率305427；B 项培训结业考试成绩优秀的概率183427所以 A,B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为1549。8 分因为年龄段30,40的工人数为120 0.448人，从该年龄段任取1 人，由表知，此人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率363484； B 项培训结业考试成绩优秀的概率241482。所以 A,B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为38。10 分由题设 X 的可能取值为0,1,2；年龄分组A 项培训成绩优秀人数B 项培训成绩优秀人数20，30) 30 18 30，40) 36 24 40，50) 12 9 50,60 4 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页153170155343177(0)(1)(1);(1)498392498498392P XP X31545(2)849392P X, 267()392E X。12 分12、某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 1请画出上表数据的散点图；2请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程?ybxa；3试根据 II 求出的线性回归方程，预测记忆力为9 的同学的判断力。相关公式：1221?,.niiiniix ynx ybaybxxnx解： 如右图：3 分()解：yxinii1=62+83+105+126=158，x=68101294，y=235644，222221681012344niix，21584 9414?0.73444920b，?40.792.3aybx，故线性回归方程为0.72.3yx10 分()解：由回归直线方程预测，记忆力为9 的同学的判断力约为4. 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页13、某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50 的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组230,2358 0.16 第二组235,2400.24 第三组240,24515 第四组245,25010 0.20 第五组250,2555 0.10 合计50 1.00 (1)写出表中位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6 名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6 名学生中录取2 名学生，求2 人中至少有1 名是第四组的概率解：(1) 位置的数据分别为12、0.3；4 分(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、 1； 8 分(3) 设上述 6 人为 abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从 6 人中任取2 人的所有情形为： ab，ac，ad，ae，af，bc，bd， be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef 共有 15 种10 分记“ 2 人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本领件的种数有9 种所以93()155P A，故 2 人中至少有一名是第四组的概率为35 14 分14、某市举行一次数学新课程培训，共邀请15 名研究不同版本教材的骨干教师，数据如下表所示：版本人教 A版人教 B版性别男教师女教师男教师女教师人数6 3 4 2 ( ) 从这 15 名教师中随机选出2 名，则 2 人恰好是研究不同版本教材的男教师的概率是多少？( ) 培训活动随机选出2 名代表发言，设发言代表中研究人教B版教材的女教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望E. 解： ( ) 从 15 名教师中随机选出2 名共215C种选法， (2 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页所以这2人恰好是研究 不同版本教材的男教师的概率是1164215835C CC。 (4 分)( ) 由题意得0,1,2 (6 分)21321526(0)35CPC；1121321526(1)105C CPC；202132151(2)105C CPC (9分)故的分布列为0 1 2 p3526105261051 (10 分)所以，数学期望2626140123510510515E (12 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页