圆与相似三角形技巧相似三角形与圆的综合题.doc

圆与相似三角形技巧相似三角形与圆的综合题相似三角形与圆的综合考题 1、已知：如图，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，过E作O的切线ED，切点为C，ADED交ED于点D，交O于点F，CGAB交AB于点G 求证：BGAG=DFDA 2、已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F (1)求证：DE为O的切线 (2)求证：AB：AC=BF：DF 3、(南通)已知：如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交O于点D，DEAC，E为垂足 (1)求证：ADE=B； (2)过点O作OFAD，与ED的延长线相交于点F，求证：FDDA=FODE 4、如图，AB为O的直径，BF切O于点B，AF交O于点D，点C在DF上，BC交O于点E，且BAF=2CBF，CGBF于点G，连接AE (1)直接写出AE与BC的位置关系； (2)求证：BCGACE； (3)若F=60°，GF=1，求O的半径长 5、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF (1)求证：PC是O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 6、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF (1)求证：PC是O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 7、如是O的直径，CB、CD分别切O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC； (1)求证：AE是O的切线； (2)过点D作DFAB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF 8、已知：如图，AB是O的直径，D是O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE AC，垂足是点E过点B作BEAB，交ED延长线于点F，连结OF。 求证：(1)EF是O的切线； (2)OBFDEC。 9、如图，已知AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O 切线，交OD的延长线于点E，连结BE (1)求证：BE与O相切； (2)连结AD并延长交BE于点F，若OB6，且sinABC，求BF的长 10、如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F。 (1)求证：DE是O的切线；  (2)若，求的值； (3)在(2)的条件下，若O直径为10，求EFD的面积 11、已知：如图，在RtABC中，A=90°，以AB为直径作O，BC交O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F 求证： (1)DE为O的切线 (2)ABDF=ACBF 12、如图，以ABC的边AB为直径的O与边BC交于点D，过点D作DEAC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分BAC (1)求证：EF是O的切线； (2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积 13、知AB是O的直径，直线l与O相切于点C且，弦CD交AB于E，BFl，垂足为F，BF交O于G。 (1)求证：CE2=FG·FB； (2)若tanCBF=，AE=3，求O的直径。 14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.求证：AEBD； AD 2 = DF·AE 15、已知：ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作O，过E作O的切线ET，T为切点.求证：ET = ED 16、如图，ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CDBA，垂足为D.求证：（1） DAC = 2B； （2） CA 2 = CD·CO 相似三角形与圆的综合考题（教师版） 1、已知：如图，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，过E作O的切线ED，切点为C，ADED交ED于点D，交O于点F，CGAB交AB于点G 求证：BGAG=DFDA 证明：连接BC，FC，CO， 过E作O的切线ED， DCF=CAD， D=D， CDFADC， =， CD2=AD×DF， CGAB，AB为直径， BCA=AGC=BGC=90°， GBC+BCG=90°，BCG+GCA=90°， GBC=ACG， BGCCGA， =， CG2=BG×AG， 过E作O的切线ED，OCDE， ADDE，COAD， OCA=CAD， AO=CO， OAC=OCA， OAC=CAD， 在AGC和ADC中， ， AGCADC（AAS）， CG=CD， BG×AG=AD×DF   2、已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F (1)求证：DE为O的切线 (2)求证：AB：AC=BF：DF 3、(南通)已知：如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交O于点D，DEAC，E为垂足 (1)求证：ADE=B； (2)过点O作OFAD，与ED的延长线相交于点F，求证：FDDA=FODE 解：（1）方法一： 证明：连接OD， OA=OD， OAD=ODA AB是O的直径， ADB=90°，即ADBC 又AB=AC， AD平分BAC，即OAD=CAD ODA=DAE=OAD ADE+DAE=90°， ADE+ODA=90°，即ODE=90°，ODDE OD是O的半径， EF是O的切线 ADE=B 方法二： AB是O的直径， ADB=90°，又DEAC， DEA=90°， ADB=DEA， ABC中，AB=AC，ADBC， AD平分BAC，即DAE=BAD DAEBAD ADE=B （2）证明：OFAD， F=ADE 又DEA=FDO（已证）， FDODEA FD：DE=FO：DA，即FDDA=FODE 点评：本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质；（2）题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明    4、如图，AB为O的直径，BF切O于点B，AF交O于点D，点C在DF上， BC交O于点E，且BAF=2CBF，CGBF于点G，连接AE (1)直接写出AE与BC的位置关系； (2)求证：BCGACE； (3)若F=60°，GF=1，求O的半径长 解：（1）如图1， AB是O的直径， AEB=90° AEBC （2）如图1， BF与O相切， ABF=90° CBF=90°-ABE=BAE BAF=2CBF BAF=2BAE BAE=CAE CBF=CAE CGBF，AEBC， CGB=AEC=90° CBF=CAE，CGB=AEC， BCGACE （3）连接BD，如图2所示 DAE=DBE，DAE=CBF， DBE=CBF AB是O的直径， ADB=90° BDAF DBC=CBF，BDAF，CGBF， CD=CG F=60°，GF=1，CGF=90°， tanF=CG=tan60°= CG=， CD= AFB=60°，ABF=90°， BAF=30° ADB=90°，BAF=30°， AB=2BD BAE=CAE，AEB=AEC， ABE=ACE AB=AC 设O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r ADB=90°， AD=r DC=AC-AD=2r-r=（2-）r= r=2+3 O的半径长为2+3   解析： （1）由AB为O的直径即可得到AE与BC垂直 （2）易证CBF=BAE，再结合条件BAF=2CBF就可证到CBF=CAE，易证CGB=AEC，从而证到BCGACE （3）由F=60°，GF=1可求出CG=；连接BD，容易证到DBC=CBF，根据角平分线的性质可得DC=CG=；设圆O的半径为r，易证AC=AB，BAD=30°，从而得到AC=2r，AD=r，由DC=AC-AD=可求出O的半径长 5、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF (1)求证：PC是O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 分析：（1）连接OC，证明OCP=90°即可 （2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出 （3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明OGAOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长 解答：（1）证明：连接OC PC=PF，OA=OC， PCA=PFC，OCA=OAC， PFC=AFH，DEAB， AHF=90°， PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90°， PC是O的切线 （2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DEDF，理由如下： 连接AE 点D在劣弧AC中点位置， DAF=DEA， ADE=ADE， DAFDEA， AD：ED=FD：AD， AD2=DEDF （3）解：连接OD交AC于G OH=1，AH=2， OA=3，即可得OD=3， DH=2 点D在劣弧AC中点位置， ACDO， OGA=OHD=90°， 在OGA和OHD中， ， OGAOHD（AAS）， AG=DH， AC=4 点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质    6、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF (1)求证：PC是O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 （1）证明：连接OC PC=PF，OA=OC， PCA=PFC，OCA=OAC， PFC=AFH，DEAB， AHF=90°， PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90°， PC是O的切线 （2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DEDF，理由如下： 连接AE 点D在劣弧AC中点位置， DAF=DEA， ADE=ADE， DAFDEA， AD：ED=FD：AD， AD2=DEDF （3）解：连接OD交AC于G OH=1，AH=2， OA=3，即可得OD=3， DH=2 点D在劣弧AC中点位置， ACDO， OGA=OHD=90°， 在OGA和OHD中， ， OGAOHD（AAS）， AG=DH， AC=4   解析： （1）连接OC，证明OCP=90°即可 （2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出 （3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明OGAOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长。 7、如图，AB是O的直径，CB、CD分别切O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC； (1)求证：AE是O的切线； (2)过点D作DFAB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF 证明：（1）连接OD，OE， CB、CD分别切O于B、D两点， ODE=90°，CD=CE， CE=AE+BC，CE=CD+DE， AE=DE， OD=OA，OE=OE， ODEOAE（SSS）， OAE=ODE=90°， OAAE， AE是O的切线； （2）DFAB，AEAB，BCAB， AEDFBC， BMFBEA， ， ， EDMECB， ， ， DM=MF   解析： （1）首先连接OD，OE，由CB、CD分别切O于B、D两点，即可得ODE=90°，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可证得AE=DE，则可得ODEOAE，即可证得AE是O的切线； （2）首先易证得AEDFBC，然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可求得DM=MF 8、已知：如图，AB是O的直径，D是O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE AC，垂足是点E过点B作BEAB，交ED延长线于点F，连结OF。 求证：(1)EF是O的切线； (2)OBFDEC。 证明：（1）连结OD，    AB是O的直径，    OA=OB，    又CD=BD，    ODAC，    DEAC，    DEC=90°，ODE=90°，   点D是O上一点，   EF是O的切线。 （2）BFAB，AB是O的直径，    BF是O的切线，    EF是O的切线，    BFO=DFO，FB=FD，    OFBD，   FDB=CDE，   OFD=C，   C=OFB，    又CED=FBO=90°，    OBFDEC。   9、如图，已知AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O 切线，交OD的延长线于点E，连结BE (1)求证：BE与O相切； (2)连结AD并延长交BE于点F，若OB6，且sinABC，求BF的长 解：（1）连结CO，ODBC，12，再由COOB，OE公共， OCEOBE（SAS ） OCEOBE， 又CE是切线，OCE90°，OBE90°BE与O相切 （2）备用图中，作DHOB于H，H为垂足， 在RtODB中，OB6，且sinABC，OD4， 同理RtODHRtODB，DH，OH  又RtABFRtAHD，FBDHABAH， FB 考点：切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。 点评：熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中档题。 10、如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F。 (1)求证：DE是O的切线；  (2)若，求的值； (3)在(2)的条件下，若O直径为10，求EFD的面积 试题分析： （1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得CAD=ODA，推出ODAC，根据平行线性质和切线的判定推出即可； （2）先由（1）得ODAE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD 因为OA =“ OD“   所以OAD = ODA  又已知OAD = DAE  可得ODA = DAE ， 所以ODAC ， 又已知DEAC 可得DEOD  所以DE是O的切线； （2）由（1）得ODAE， （3） 考点：圆的综合题 点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.11、已知：如图，在RtABC中，A=90°，以AB为直径作O，BC交O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F 求证： (1)DE为O的切线 (2)ABDF=ACBF 证明：（1）如图，连接OD、AD OD=OA， 2=3， AB是O的直径， BDA=90°， CDA=90° 又 E是边AC的中点， DE=AE=AC， 1=4， 4+3=1+2=90°，即° 又AB是O的直径， DE为O的切线； （2）如图，ABAC，ADBC， 3=C（同角的余角相等） 又ADB=CDA=90°， ABDCAD， 易证FADFDB， ， ， ABDF=ACBF   解析： （1）连接OD、AD，求出CDA=BDA=90°，点E为AC中点，求出1=4，2=3，推出4+3=1+2=90°，根据切线的判定即可； （2）证ABDCAD，推出，再证FADFDB，推出，得，即可得出ABDF=ACBF 12、如图，以ABC的边AB为直径的O与边BC交于点D，过点D作DEAC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分BAC (1)求证：EF是O的切线； (2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积 解：（1）连接OD OA=OD， OAD=ODA， AD平分BAC， OAD=CAD， ODA=CAD， ODAC， DEAC， DEA=90°， ODF=DEA=90°， OD是半径， EF是O的切线 （2）AB为O的直径，DEAC， BDA=DEA=90°， BAD=CAD， BADDAE， ， 即， AD=2， cosBAD=， BAD=30°，BOD=2BAD=60°， BD=AB=2， SBOD=SABD=××2×2=， S阴影=S扇形BOD-SBOD=  解析： （1）根据等腰三角形性质和角平分线性质得出OAD=ODA=DAE，推出ODAC，推出ODEF，根据切线的判定推出即可； （2）证BADDAE，求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出BAD=30°，求出BOD=60°和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和BOD的面积，相减即可 13、知AB是O的直径，直线l与O相切于点C且，弦CD交AB于E，BFl，垂足为F，BF交O于G。 (1)求证：CE2=FG·FB； (2)若tanCBF=，AE=3，求O的直径。 解：（1）证明：连结AC， AB为直径，ACB=90°， ，且AB是直径， ABCD即CE是RtABC的高， A=ECB，ACE=EBC， CE是O的切线， FCB=A，CF2=FG·FB， FCB=ECB， BFC=CEB=90°，CB=CB， BCFBCE， CE=CF，FBC=CBE， CE2=FG·FB； （2）CBF=CBE，CBE=ACE， ACE=CBF， tanCBF=tanACE=， AE=3， CE=6， 在RtABC中，CE是高， CE2=AE·EB，即62=3EB， EB=12， O的直径为：12+3=15。   14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.求证：AEBD； AD 2 = DF·AE 证明：AE为圆的切线， EAB=ACE（弦切角等于夹弧所对的圆周角）， CA为BCD的平分线， ACE=ACD， ABD=ACD， EAB=ABD， AEBD； AEBD， AEC=DBC， DBC=DAC， AEC=DAC， EAB=ADB（弦切角等于夹弧所对的圆周角）， ABEDFA， ACE=ACD， AD=AB， 则ADAB=AD2=AEDF 15、已知：ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作O，过E作O的切线ET，T为切点.求证：ET = ED 证明：因为四边形ABCD是平行四边形 ADBC EAD=ECF EDA=EFC AEDCEF(AA) AB平行DC EAG=ECD G=EDC AEGCED（AA) ET与O相切于点T 16、如图，ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CDBA，垂足为D.求证： （1） DAC = 2B； （2） CA 2 = CD·CO 证明：（1）如图,由已知ABC中,AB=AC 得 ABC为等腰三角形,B=ACB 外角1=B+ACB=2B 又由已知O是BC上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆与AC相切于点A 得OAB为等腰三角形,B=OAB,OAAC 外角2=B+OAB=2B OAC=90°即1=2，OAC为直角三角形 由已知过C作CDBA的延长线于D，得ADC=90°，ADC为直角三角形 在直角三角形OAC和ADC中 1=2,OAC=ADC=90° OACADC 则CA/CO=CD/CA，即CA²=CD·CO 第 16 页 共 16 页