2022年高一数学上册函数的应用之函数与方程知识点及练习题 .pdf

3.1 函数与方程1、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程0322xx与函数322xxy方程0122xx与函数122xxy方程0322xx与函数322xxy推广到一般的一元二次方程02cbxax和二次函数)0(2acbxaxy，使用判别式来把两者的关系联系起。一、函数零点的概念对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点。函数零点的求法：求函数)(xfy的零点：（代数法）求方程0)(xf的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。二次函数的零点：)0(2acbxaxy ，方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点。 ，方程02cbxax有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。 ，方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。1.探索函数零点存在性定理零点存在性的探索观察二次函数32)(2xxxf的图象：在区间 1 ,2上有 _1 个_零点；)2(f_5_，)1 (f_-4_,)2(f)1(f_0（或）。在区间4, 2上有 _1 个_零点；)2(f)4(f_0（或）。观察下面函数)(xfy的图象在区间,ba上_有_(有/无)零点；)(af)(bf_0（或）。在区间,cb上_有_(有/无)零点；)(bf)(cf_0（或）。在区间,dc上_有_(有/无)零点；)(cf)(df_0（或）。零点存在性定理如果函数)(xfy在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有)(af)(bf0，那么，函数)(xfy在区间),(ba内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf，这个 c 也就是方程0)(xf的根。函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数；从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标；若函数)(xf的图象在0 xx处与x轴相切，则零点0 x通常称为不变号零点；若函数)(xf的图象在0 xx处与x轴相交，则零点0 x通常称为变号零点。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 函数与方程（ 1）1、函数 f(x)=2x+5 的零点是 _ 2、已知关于x 的一元二次方程2x2+px+15=0 有一个零点是 -3，则另一个零点是_ 3、函数 y=-x2+8x-16 在区间 3,5上零点个数是 _ 4、设函数) 1 ,(,2), 1, 22)(2xxxxxxf，则函数41)(xf的零点是 _ 5、函数 f(x)=ax+b 有一个零点是2，那么函数g(x)=bx2-ax 的零点是 _ 6、求证：方程5x2-7x-1=0 的根在一个在区间（-1,0）上，另一个在区间(1,2)上。7、已知函数f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1 （1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个不同的交点；（2）如果函数的一个零点在原点，求m 的值。8、函数 f(x)=3x-16 在区间 3,5上有 _个零点9、已知 f(x) 的图象是连续不断的，有如下的x 与 f(x) 的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 f(x) 6.36 3.23 -1.76 -10.0 21.6 131 则函数 f(x) 存在零点的区间是_ 10、已知关于x 的二次函数f(x)x2(2t1)x12t. (1)求证：对于任意tR，方程 f(x)1 必有实数根；(2)若12t34，求证：方程f(x) 0 在区间 (1,0)及(0，12)内各有一个实数根11、设2( )32f xaxbxc，若0abc，(0)0f，(1)0f求证：（1）0a且12ab； （2）方程( )0f x在(0,1)内有两个实根名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 参考答案函数与方程（1）1、252、253、1 4、251 ,895、0，216、设 f(x)=5x2-7x-1 f(-1)0,f(0)0,f(1)0 且 y=f(x) 的图象在（ -1，0）和（ 1，2）上是连续不断的曲线所以 ,方程的根在（ -1，0）上，另一个根在（1，2）上7、 （1）131mm且（2）21m8、0 9、 （2，3） （4，5）10.证明： (1)由 f(1)1 知 f(x)1 必有实数根证明： (1)由 f(1) 1 知 f(x) 1 必有实数根(2)当12t34时，因为 f(1)34t4(34t)0，f(0) 12t2(12t)0，f(12)1412(2t1)12t34t0，所以方程f(x) 0 在区间 ( 1,0)及(0，12)内各有一个实数根11、证明：（1）(0)0fc，(1)320fabc，由0abc，得bac，代入(1)f得：0ac，即0ac，且01ca，即1( 2, 1)bcaa，即证（2）11( )024fa，又(0)0f，(1)0f则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -