2022年高等代数试卷及答案2 .pdf

一、填空题（共 10 题，每题 2 分，共 20分） 。1多项式可整除任意多项式。2艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。3在n阶行列式D中，0的个数多于个是0D。4若A是n阶方阵，且秩1An，则秩A。5实数域上不可约多项式的类型有种。6若不可约多项式( )p x是( )f x的k重因式，则( )p x是(1)( )kf x的重因式。7写出行列式展开定理及推论公式。8当排列1 2ni iiL是奇排列时，则1 2ni iiL可经过数次对换变成12nL。9方程组12312322232121xxxaxbxcxda xb xc xd，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。10若242(1)1xaxbx，则a，b。二、判断题（共 10 题，每题 1 分， 共 10 分） 。1任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。（）2两个多项式互素当且仅当它们无公共根。（）3 设12nL是nP中n个向量，若nP， 有12,nL线性相关，则12nL线性相关。（）4.设是某一方程组的解向量，k为某一常数， 则k也为该方程组的解向量。 （）5若一整系数多项式( )f x有有理根，则( )f x在有理数域上可约。 （）6 秩()AB秩A，当且仅当秩0B。（）7向量线性相关它是任一向量组的线性组合。（）8 若( ),( ) f xg xP x，且( ),( )1f xg x，则( ) ( ),( )( )1f x g xf xg x。 （ ）9( ),( ) f xg xZ x， 且( )g x为本原多项式， 若( )( ) ( )f xg x h x则( ) h xZ x。（）10若,n nA B C DP，则ABADBCCD。（）三、选择题（共5 题，每题 2 分， 共 10 分） 。1A为方阵，则3A（）A. 3 AB. AC. 3nAD. 3nA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页2.若既约分数rs是整系数多项式( )f x的根，则下面结论那个正确（）A. (1),( 1)sr fsr fB. (1),( 1)sr fsr fC. ( 1),(1)sr fsr fD. ( 1),( 1)sr fsr f3. n阶行列式D，当n取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（）A. 4k或42kB. 4k或41kC. 4k或43kD. 41k或42k4含n有个未知量1n个方程的线性方程组11 11221111221,111,221,1nnnnnnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xbaxaxaxbLL L L L L L L L L L LLL有解的（）条件是行列式111211121,11,21,10nnnnnnnnnnnaaabaaabaaabLLLLLLLL。A.充要B.必要C.充分必要D.不充分不必要51110( ) nnnnf xa xaxa xaZ xL，若既约分数pq是( )f x的有理根， 则下列结论正确的是（）A.0,npaqaB. ,nnpa qaC. 0,npa qaD. 00,pa qa四、计算题（共 4 题，每题 7 分，共 28 分） 。1设432( )343f xxxxx，32( )31023g xxxx求( ),( )fxg x，并求( ), ( )u xv x使( ),( )( )( )( ) ( )f xg xu x f xv x g x。2计算下列n阶行列式111212122212nnnnnnnababababababDabababLLLLLLL3求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出它的通解。1234123412341234502303803970 xxxxxxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页4设012114210A，判断A是否可逆，若可逆，求1A五、证明题（共4 题，每题8 分， 共 32 分） 。1设,A B为nn矩阵，如果0AB，那么秩()A秩()Bn。2 如果a是( )fx的一个k重根，证明a是( )( )( )( )( )2xag xfxfaf xf a的一个3k重根。3证明：cos1000012cos1000012cos000cos0002cos1000012cos1000012cosnDnLLLLLLLLLLLLL4设向量组12,(1)sL12,(2)tL1212,(3)stLL的秩分别为123,r rr，证明12312max,r rrrr。答案一 1零次 2.充分 3. 2nn 4. 1 5. 2 6. 单711220ijijinjnDija Aa Aa AijL 8. 奇 9. , ,a b c互不相同 10. 1,2ab二 15 610 三CCBBC四 1( ),( )3f xg xx；2312( )1,( )555u xxv xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页21112121()()203nabnDaabbnn3一般解为13422432722xxxxxx，34,xx为自由未知量。基础解系为1327210，21201。4A可逆，且121142131122A五 1证：令12(,)nBB BBL，1211(,)(,)(0,0,0)nnABA BBBAB ABABLLL0,1,2,iABinLiB是0AX的解。秩12(,)nBBBL秩Bn秩A。秩A秩Bn。 2证：( )( )( )0g ag agaQ且a是( )gx的1k重根，a是( )g x的3k重根。 3提示：nD按最后一行展开，得证。 4提示：取极大无关组，得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页