初中数学题库试题考试试卷 初中数学——代数式求值.docx

第1讲 代数式求值建平中学 田万国在学习了数的有关性质,学习了方程,不等式,乘法公式,因式分解,整式,分式,根式及有关运算法则以后,代数式求值涉及的范围已十分广阔.代数式的恒等变形与其关系密切.有的代数式要先化简再求值,就显得简洁.有的代数式,经过恒等变形以后,挖掘出代数式中的隐含条件,推导出有力的结果,进而求出代数式的值.对已知条件,所求结论的特征仔细观察分析,选择合理的变形方向,是求代数值得关键.在数学竞赛中出现的代数式求值,其灵活性和逻辑推理能力的要求是较高的.下面对代数式求值的常用解题方法技巧作一归纳介绍.一、灵活运用乘法公式和运算法则代数式的变形化简，离不开乘法公式、各种运算法则及它们的变形用法。有些条件求值问题，条件与结论间存在这明显的结构关联。利用乘法公式或合适的运算性质就能解。例1 已知:a3+b3+c3=a2+b2+c2=a+b+c=1,求证:abc=0证明:a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+bc+ca又a+b+c=1,a2+b2+c2=1,ab+bc+ca=0类似地，由a+b+c3=a3+b3+c3+3a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+6abc知a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc=0.即a+b+cab+bc+ca-abc=0abc=0例2 若m2=m+1,n2=n+1,且mn,求m5+n5的值.mn由已知条件得m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的根m+n=1,mn=-1m2+n2=m+n2-2mn=3m3+n3=m+nm2-mn+n2=4m5+n5=m3+n3m2+n2-mn2(m+n)=11例3 已知a2-a-1=0,求代数式a18+323a-6的值.解:a2=a+1a4=a+12=a2+2a+1=3a+2a8=3a+22=9a2+12a+4=21a+13a16=21a+132=441a2+546a+169=987a+610a18=a16a2=987a+610a+1=987a2+1597a+610=2584a+1597a-6=1a6=1(a4a2)=13a+2a+1=13a2+5a+2=18a+5a2-a-1=064a2-64a-65=1即84+58a+13=-1a-6=18a+5=-8a+13a18+323a-6=2584a+1597+323-8a+13=5796二、运用比例的基本性质如果所给已知条件是比例形式，或者变形后是比例，恰当运用比例的性质，会有意想不到的效果，直达目标。例4 已知实数a,b,c满足c-a2a-b=2b-cc-a,求a+c-2b的值.解:由已知作合比，得c-a+2(a-b)2a-b=2b-c+c-ac-a,即a+c-2b2a-b=2b-a-cc-a.0=a+c-2b12a-b+1c-a=a+c-2b22a-bc-a,a+c-2b=0.例5 已知x+9y9x+7y=mn, x+9y9x+8y=m+anbm+cn, 如果满足式的一切实数x,y,m,n也满足式，求a+b+c的值.解：对于式,由合分比定理得m+anbm+cn=x+9y+a9x+7ybx+9y+c9x+7y=1+9ax+9+7ayb+9cx+9b+7cy.代入式得x+9y9x+8y=1+9ax+9+7ayb+9cx+9b+7cy.上式对于一切实数x,y恒成立，则存在非零常数k，使1+9a=k,9+7a=9k,b+9c=9k,9b+7c=8k. 解得a=0b=974c=7374k=1a+b+c=4137.三、构造值为常数的代数式在条件求值题中,若直接将已知条件代入代数式,可能十分繁杂或难以求出.此时,把已知条件化为一个值为常数的代数式,将所求代数式进行分解或分离,然后代入求解.例6 若x=1-52,求1x-1x3-3x4-x2的值.解:由已知可得:x-1x=1-52-21-5=1, x+1x=1-52+ 21-5=-5,且x<0,1x-1x3-3x4-x2=1x2x-1x-3x3x-1x=1x2-3x3=-1x-x=5例7 已知a2+4a+1=0,且a4+ma2+12a3+ma2+2a=3,求m的值.解:a2+4a+1=0 a0a+1a=-4,a2+1a2=a+1a2-2=14.又a4+ma2+12a3+ma2+2a=3,左边分子分母同除以a2得a2+m+1a22a+m+2a=3即14+m-8+m=3. m=19.例8 如果a是方程x2-3x+1=0的根，求2a5-5a4+2a3-8a2a2+1的值.解:由已知得a2-3a+1=0a2+1=3a或a2-3a=12a5-5a4+2a3-8a2a2+1=a2-3a+12a3+a2+3a3-9a2a2+1=3a3-9a2a2+1=3a(a2-3a)3a=-1.四、转化为一元二次方程解题一元二次方程是很重要的内容,方程根的含义,求根公式,韦达定理常被用来解题.有时观察求值题的条件特征,运用根的定义构造方程,以帮助求解.例9 已知b2-4a0,求a2b+b2-4a2a4+2a-b2b+b2-4a2a2-2的值.解:令c=b+b2-4a2a,则由求根公式知,c是方程ax2-bx+1=0的根.ac2-bc+1=0,bc=ac2+1.原式=a2c4+2a-b2c2-2=a2c4+2ac2+1-b2c2-3 =ac2+12-b2c2-3=bc2-b2c2-3=-3.例10 已知x=1219981n-1998-1nn为整数,求x-1+x2n的值.解:设a=19981n,b=-1998-1n,则a+b=2x,ab=-1,a,b是方程t2-2xt-1=0的两个实根.t=x±x2+1b<a b=x-1+x2x-1+x2n=bn=-1998-1nn=-1n1998.例11 设a2+2a-1=0,b4-2b2-1=0且1-ab20,求ab2+b2+1an的值.解:由已知得:1a2-2a-1=0,b22-2b2-1=01a,b2为方程x2-2x-1=0的两个实根.由韦达定理得:1a+b2=2,1a·b2=-1ab2+b2+1an=b2+1a·b2+1an=2-1n=1.例12 已知首项系数不相等的两个二次方程a-1x2-a2+2x+(a2+2a)=0,b-1x2-b2+2x+(b2+2b)=0.有一个公共根，其中a,b为正整数,求ab+baa-b+b-a的值.解:因两方程有一个公共根,设为x0,显然x01否则a=b关于未知数x的方程可转化为关于a和b的方程:1-x0a2+x02+2a-(x02+2x0)=01-x0b2+x02+2b-(x02+2x0)=0a,b为方程1-x0y2+x02+2y-(x02+2x0)=0的两个不想等的正整数根.由韦达定理,得a+b=x02+2x0-1,ab=x02+2x0x0-1=2+x02+2x0-1.ab=2+a+b,即a-1b-1=3.a-1=1,b-1=3;或a-1=3,b-1=1.a=2,b=4;或=4,b=2.ab+baa-b+b-a=256.五、利用非负数的性质我们知道,实数的完全平方,算数平方根,绝对值等都是非负数.有限个非负数之和为零,则每个非负数 均为零.利用这一性质可解决一些求值题.例13 设a,b,c,d均为实数,且ad-bc=1,a2+b2+c2+d2-ab+cd=1,求abcd的值.解:ad-bc=1 a2+b2+c2+d2-ab+cd=1 ×2-×2得2a2+2b2+2c2+2d2-2ab+2cd-2ad+2bc=0即a-b2+b+c2+c+d2+d-a2=0a=b=-c=d,代入得a2+a2=1,a2=12abcd=-a4=-14.例14 若实数x,y,m适合关系式3x+5y-2-m+2x+3y-m=x-10+y·10-x-y,试确定m的值.解:由右边的二次根式,得x-10+y0,10-x-y0,即x+y10,x+y10. x+y=10此时原方程化为3x+5y-2-m+2x+3y-m=0.3x+5y-2-m=0 2x+3y-m=0 -得x+2y=2.又x+y=10,2x+3y=12.由得m=12.例15 设x,y,a都是实数,且x=1-a,y=1-aa-1-a2,试求x+y+a3+1的值.解:1-a=x0 a1.当a<1时,1-a>0,a-1-a2=-1-a-a2<0.1-aa-1-a2<0.即y<0,这不可能.a=1,得x=0,y=0. x+y+a3+1=2.六、考虑数的性质若所给条件限制于整数,有理数,或涉及到质数,奇偶数,整除性等,把握住这方面的性质,有利于寻到突破口.例16 已知p,q是有理数,x=5-12满足x3+px+q=0,求p+q的值.解:将x=5-12代入x3+px+q=0,化简得52+p+2q-p-4=0p,q为有理数,2+p=0,2q-p+4=0. 得p=-2,q=1.p+q=-1.例17 若整数a,b满足2·34-bx2-ax+1=34+1,求a与b的值.解:令32=x,则已知条件化为2x2-bx2-ax+1=x2+1,即x4-ax3-ax+b+1=0.x3=2,2-ax=2a-b+1.x为无理数,a,b为整数2-a=0,2a-b-1=0, a=2,b=3.例18 整数x,y满足方程15x2y2=35x2-3y2+412,求15x2y2的值.解:已知条件化为:15x2y2-35x2+3y2-7=405即5x2+13y2-7=34·55x2+1不是5的倍数,3y2-7不是3的倍数,5x2+1=34,3y2-7=5, x2=16,y2=4.15x2y2=960.例19 若三个整数a,b,ca0使得方程ax2+bx+c=0的两个根为a和b,求a+b+c的值.解:由韦达定理,得a+b=-ba,ab=ca.a2+ab+b2=0,即a+1b=-a2.a0, a+10,b0,b=-a2a+1=-a+1-1a+1.b为整数,a+1整除1,但a+11a0,a+1=-1,a=-2.从而b=4,c=16,a+b+c=18.七、特殊值方法普遍成立的结论在特殊情况下也成立.对某些条件等式,只要巧妙地取特殊数字代替字母,就能变字母运算为数字运算.例20 设x+a4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,若a1+a2+a3=64,求a的值.解:令x=1,则1+a4=1+a1+a2+a3+a4=65+a4.令x=0,则a4=a4. 1+a4=65+a4,即2a3+3a2+2a-32=0,a-22a2+7a+16=0.2a2+7a+16=0无实数根,a=2.例21 已知a0,且ax+n4=ax4+bx3+cx2+dx+16,求b+c+d的值.解:比较左,右两边x4的系数及常数项,得a4=a,n4=16, a=1,n=±2.当n=2时,令x=1,则1+24=1+b+c+d+16, b+c+d=64当n=-2时,令x=1,则1-24=1+b+c+d+16,b+c+d=-16.例22 方程x-ax-8-1=0有两个整数根,求a的值.解:设两整数根为x1,x2,则x-ax-8-1=x-x1x-x2令x=8 -1=8-x18-x28-x1与8-x2均为整数,8-x1=-1,8-x2=1, x1=9,x2=7.即x-ax-8-1=x-9x-7令x=9, 9-a-1=0, a=8.八、引入变量当所给条件中几个量之间的关系式较为复杂时,可以适当引入另外的变量,使各个量与它建立联系,以此为突破口解题.引入的变量有时求出它的值,有时设而不求.例23 设ax3=by3=cz3,3ax2+by2+cz2=3a+3b+3c,其中a,b,c>0,xyz>0,求1x+1y+1z的值.解:设ax3=by3=cz3=k,则k0,且a=kx3,b=ky3,c=kz3.由已知得3kx+ky+kz=3kx3+3ky3+3kz3,即3k·31x+1y+1z=3k1x+1y+1z.k0 31x+1y+1z= 1x+1y+1z.由已知得x> 0,y>0,z>0, 1x+1y+1z=1.例24 设a,b,c,d都是正整数,且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b的值.解:ba4=a是正整数,令ba=mm是正整数a=m4,b=m5.同理,c=n2,d=n3n为正整数c-a=n2-m4=n+m2n-m2=19.19为质数,n+m2=19,n-m2=1, m=3,n=10.d-b=n3-m5=757.例25 已知a,b为正整数,且满足a+ba2+ab+b2=449,且a+b的值.解:令a+b=4kk为正整数,则a2+ab+b2=49k,即a+b2-ab=49k, ab=16k2-49k.从而a,b是关于x的方程x2-4kx+16k2-49k=0 的两个正整数根.=16k2-416k2-49k0.k为正整数,1k4912.k为正整数,k=1,2,3,4验证知,当k=1,2,3时,方程无正整数解.当k=4时,方程为x2-16x+60=0,x1=6,x2=10a+b=16.九、用不等式分析相等与不相等是一对矛盾.当直接求代数式的值困难时,可以考虑它的反面,用不等式分析,或许能开辟新的思路.例26 若a,b为正数,且aaa3+a2b+ab+b+b)b=1,求a+b的值.解:已知等式变形为aaaaa+b+b+b+b+b=1.观察知a+b=1时上式成立,若a+b>1,则aa+b+b>1,aaa+b+b+b>1, aaaa+b+b+b+b>1,aaaaa+b+b+b+b+b>1,这与已知矛盾若a+b<1,同理可得矛盾从而,a+b=1.例27 若n是正整数,且n2+9n+98恰好等于相邻两个正整数的积,求n的所有值之和.解:对于任意正整数n,有n2+9n+20<n2+9n+98<n2+19n+90,即n+4n+5<n2+9n+98<n+9n+10n2+9n+98=n+5n+6,或n2+9n+98=n+6n+7,或n2+9n+98=n+7n+8,或n2+9n+98=n+8n+9,得n=34,14,7所求n的所有值之和为34+14+7=55.例28 若自然数n满足2n+3n+1+4n+2=13360,求1n+2n+1+3n+2的值.解:n为自然数,由自然数的性质知1n>1n+1>1n+2,2+3+4n+2<2n+3n+1+4n+2<2+3+4n,即9n+2<13360<9n28133<n<48133,从而n=3或4.经检验,n=3符合题意.1n+2n+1+3n+2=4330.十、余数定理的应用例29 已知关于x的三次四项式x3-ax2-1005x+b能被x2-1001+1998整除,求b-6a的值.解:x2-1001+1998=x-2x-999x3-ax2-1005x+b能被x2-1001x+1998整除,从而它既能被x-2整除,且能被x-999整除.2和999是x3-ax2-1005x+b的根.23-a·22-1005×2+b=09993-a·9992-1005×999+b=0得a=998,b=5994.b-6a=6.练 习 题1. 已知m,n是有理数,并且方程x2+mx+n=0有一个根是5-2,求m+n的值.2. 方程x2-ax-a=0的根x1,x2满足关系式x13+x23+x13x23=75,求19+9a2+9a4的值.3. 设A=b2+c2-a22bc,B=c2+a2-b22ac,C=a2+b2-c22ab,A+B+C=1,求A10+b10+c10的值.4. 已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,且x=aa+bb+cc,y=a1b+1c+b1c+1a+c1a+1b,求x20-20xy+y3的值.5. 设x1,x2是二次方程x2+x-3的两个根,求x13-4x22+19的值.6. 已知x+y-zz=x-y+zy=-x+y+zx且xyz0,求分式x+yy+zz+xxyz的值.7. 若a>0,b>0,且aa+b=3ba+5b,求2a+3b+aba-b+ab的值.8. 若ax=by=38z其中a,b为自然数,且1x+1y=1z,求2a+b的一切可能的取值.9. 求a19a19+a12+a29a29+a12+a39a39+a12+a89a89+a12的值.10. 已知实数a,b分别满足4a4-2a2-3=0和b4+b2-3=0,求代数式a4b4+4a4的值.11. 设实数x,y满足x2+4y2+2x-4y+2=0,求x2y+2xy的值.12. 已知a-b=5+6,b-c=5-6,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.13. 实数x,y满足x2+1997-xy2+1997-y=1997,求10010x·1020y的值.14. 若fx=x4+4x3+6px2+4qx+r恰可被gx=x3+3x2-x-3整除,求p+qr的值.15. 设正数p,q,r满足p+q+r2p2=2p+q+r2q2=3p+q+r2r2=k,求k的值.16. 已知x2-5x-10=0,求值:x-24+x-12-1x-1x-2.17. 若a+b=4,a3+b3=28,求值:a2+b2.18. 已知x,y为实数,y=x2-9+9-x2+1x-3,求5x+6y的值.19. 设xx2+x+1=a,其中a0,求x2x4+x2+1的值.20. 已知一列数a1,a2,a7且a1=8,a7=5832,a1a2=a2a3=a3a4=a4a5=a5a6=a6a7,求a5的值.