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单因素方差分析单因素方差分析 2）部分总体的方差都相等，即：）部分总体的方差都相等，即：222221s s,21其中其中和和 都是未知参数。都是未知参数。21）每个部分总体都服从正态分布，即：）每个部分总体都服从正态分布，即：，),(2jjjNAsj, 2 , 1 3）不同的部分总体下的样本是相互独立的。）不同的部分总体下的样本是相互独立的。，jnjjjXXX21在水平在水平Aj下进行下进行nj次独立试验，得样本次独立试验，得样本，),(2NXjij则则记记 称其为随机误差，则称其为随机误差，则，jijijX ), 0(2Nij由此得：由此得： sjNnixijjijjij, 2 , 1), 0(, 2 , 12各个随机误差各个随机误差 相互独立，相互独立， 和和 未知未知. .s,212ij对每个水平对每个水平Aj下的样本下的样本 引进统计量：引进统计量： ，jnjjjXXX21样本和：样本和：样本均值：样本均值：， jniijjXT1 jniijjjXnX11jjTn 1将单因素试验的数据列表如下：将单因素试验的数据列表如下：样本总均值：样本总均值： sjniijjXnX111 sjjjXnn11T.1 T.2 T.s样本和样本和T.j x11 x12 x1s x21 x22 x2s xn11 xn22 xnss样样本本值值 A1 A2 As部分总体部分总体1 x2 xsx 样本均值样本均值jx （1）检验假设：）检验假设：sH 210：sH，：211不全相等不全相等. .（2）求出未知参数）求出未知参数 和和 的估计量的估计量s,212根据样本提供的信息，根据样本提供的信息， 单因素方差分析法是将样本全部偏差的单因素方差分析法是将样本全部偏差的平方和分解成两个平方和，通过这两个平方平方和分解成两个平方和，通过这两个平方和之间的比较，导出假设检验的统计量和拒和之间的比较，导出假设检验的统计量和拒绝域绝域.总平方和：总平方和：效应（组间）平方和：效应（组间）平方和： sjniijTjXXS112)( sjnijAjXXS112)( sjjjXXn12)( SA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均值反映了在每个水平下的样本均值与样本总均值的差异，它是由因子的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以，称取不同水平引起的，所以，称SA是因子是因子A的效应（组间）平方和的效应（组间）平方和.误差（组内）平方和：误差（组内）平方和： sjnijijEjXXS112)(平方和分解公式：平方和分解公式：EATSSS SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是是误差（组内）平方和误差（组内）平方和. sjniijTjXXS112)( sjnijjijjXXXX112)(（） sjnijjijjjijjXXXXXXXX1122)(2)(（）（）)(2)(11112112XXXXXXXXjsjnijijsjnijsjnijijjjj （）（）)(11XXXXjsjnijijj （）又又0 sjnijijjjXXXX11)()( sjniniijjijjjjXnXXX111)1()( sjniniijjjijjjjXnnXXX1111)(EATSSS 所以所以即：即：总平方和总平方和=效应（组间）平方和效应（组间）平方和+误差（组内）平方和误差（组内）平方和在单因素方差分析的模型下，在单因素方差分析的模型下，（2）SA 和和 SE 相互独立。相互独立。（3）sH 210：为真时，为真时，,122）（ sSA）（122 nST定理：定理：）（snSE 22（1）由定理（由定理（1），有），有，）（snSEE 22snSEE 即即.22的无偏估计的无偏估计是是snSE ), 1()/()1/(snsFsnSsSFEA 结合定理结合定理(1)(2)(3)，有，有 sjniijTjXXS112)(记记， jniijjXT1 sjniijjXT11 sjjT1化简得化简得21121 TnXsjniijj sjnijAjXXS112)(ATESSS 21211 TnTnsjjj（1）提出统计假设）提出统计假设sH 210：sH，：211不全相等不全相等. .（2）取假设统计量）取假设统计量)/()1/(snSsSFEA （3）拒绝域：）拒绝域：), 1(snsFFW 如果组间差异比组内差异大得多，则说明如果组间差异比组内差异大得多，则说明各水平间有显著差异，各水平间有显著差异，H0不真。不真。（1）提出统计假设）提出统计假设sH 210：sH，：211不全相等不全相等. .（2）编制单因素试验数据表）编制单因素试验数据表（3）根据数据表计算）根据数据表计算， T， sjniijjx112EATSSS,（4）填制单因素方差分析表）填制单因素方差分析表单因素方差分析表单因素方差分析表n-1ST总和总和SA/s-1SE/ n-ss-1 n-sSASE因子因子A随机误差随机误差临界值临界值F值值均方均方自由度自由度平方和平方和方差来源方差来源)/()1/(snSsSEA ), 1(snsF （5）检验，若）检验，若)/()1/(snSsSEA ，), 1(snsF 否则接受否则接受H0 ，认为因子，认为因子A对指标没有显著影响对指标没有显著影响.则拒绝则拒绝H0，例例1. 在显著性水平在显著性水平=0.01下，用单因素方差分析法判断下，用单因素方差分析法判断实例实例1中，三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著中，三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异？差异？解：解：提出统计假设提出统计假设3210H ：3211H，：不全相等不全相等. .编制单因素试验数据表编制单因素试验数据表18446 37 60 69 47 86 100 40 67 98 60 92 95 98 样本样本和和样样本本值值 样本样本均值均值 A1 A2 A3部分部分总体总体13 n T，364321 nnn sjjT1949 21121 TnxsjniijjTS sjniijjx11275721 6444 49826783 894284 AS21211 TnTnsjjj2222949131267314986118441 216042846444 ATESSS 单因素方差分析表单因素方差分析表总和总和因子因子A随机误差随机误差临界值临界值F值值均方均方自由度自由度平方和平方和方差来源方差来源所以拒绝所以拒绝H0，)10, 2(01. 0F4284221606444101221422169167. 956. 7 9167. 9 f因为因为,56. 7 认为三个工厂所生产的电池的平均寿命有显著差异认为三个工厂所生产的电池的平均寿命有显著差异.122的的无无偏偏估估计计是是）（snSE 前面已说明：前面已说明：又又）（）（ jniijjjXEnXE11，j 所以所以sjXjj, 2 , 12 的无偏估计，的无偏估计，是是）（可以证明，可以证明，.,的的最最小小二二乘乘估估计计也也是是对对于于每每个个jjXj 例例2. 试验试验4种不同的农药，观察它们的杀虫率有无明显种不同的农药，观察它们的杀虫率有无明显的不同，试验结果如下表所示的不同，试验结果如下表所示:部分总体部分总体A1A2A3A4样样本本值值87.485.080.290.588.587.394.756.262.455.048.21）在显著性水平）在显著性水平=0.01下，问下，问4种农药的杀虫率的种农药的杀虫率的均值是否有明显不同？均值是否有明显不同？2）分别求）分别求4种不同农药的杀种不同农药的杀虫率的均值和方差的估计值。虫率的均值和方差的估计值。解：解：编制单因素试验数据表编制单因素试验数据表252.6 87.4 90.5 56.2 55.0 85.0 88.5 62.4 48.2 80.2 87.3 94.7 样本和样本和样样本本值值样本均值样本均值 A1 A2 A3 A4部分总体部分总体84.236190.2559.3118.6103.251.6(1)提出统计假设提出统计假设43210H ：43211H，：不全相等不全相等. .，11 n T，22434321 nnnn sjjT1，4 .835 21121 TnxsjniijjTS sjniijjx11212.66308 2873.2863 21211 TnTnSsjjjA222224 .8351112 .103216 .11821361416 .25231 4373.2762 ATESSS 4373.27622873.2863 85.100 单因素方差分析表单因素方差分析表4373.276285.1002873.286337108124.9204071.149138.63)73(01. 0，F45. 8 所以拒绝所以拒绝H0，9138.63 f因为因为，45. 8 总和总和因子因子A随机误差随机误差临界值临界值F值值均方均方自由度自由度平方和平方和方差来源方差来源认为认为4种农药的杀虫率的均值是有明显不同的种农药的杀虫率的均值是有明显不同的.，2 .8411 x，25.9022 x，3 .5933 x6 .5144 x(2)snSE 24071.14