2022年高考数学圆锥曲线知识点总结 .pdf

学习必备欢迎下载高考数学圆锥曲线知识点总结方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0 ，则点 P0(x0,y0) 在曲线 C 上f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0) 0。两条曲线的交点： 若曲线 C1， C2 的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0, 则点 P0(x0,y0) 是 C1， C2 的交点0),(0),(002001yxfyxf方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集M OM=r ，其中定点O 为圆心，定长r 为半径 . 2、方程： (1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2 (2)一般方程：当D2+E2-4F 0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是2422FED。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为 (x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-2D,-2E); 当 D2+E2-4F 0 时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为 (x0,y0) ， 则 MC r点 M 在圆 C 内， MC=r点 M 在圆 C 上， MC r点 M 在圆 C 内，其中 MC =2020b)-(ya)-(x。直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法； (ii) 利用圆心C(a,b)到直线 Ax+By+C=0的距离22BACBbAad与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0 e1 时，轨迹为椭圆；当e=1 时，轨迹为抛物线；当e 1时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载椭圆、双曲线、抛物线性质对比椭圆双曲线抛物线定义1 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比 为 定 值e 的 点的 轨迹 .（0e1）1到两定点F1,F2 的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 轨迹条件点 集 ： (M MF1+ MF2=2a,F 1F2 2a 点集：M MF1 -MF2 . =2a,F2F2 2a. 点集 M MF =点 M 到直线 l 的距离 . 图形方程标 准方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) pxy22参 数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数 ) 范围a x a， b y b |x| a，yR x 0 中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), ( a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), ( a,0) (0,0) 对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b x 轴， y 轴 ; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0) )0,2(pF准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=ca2准线垂直于实轴， 且在两顶点的内侧 . x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距2c （c=22ba）2c （c=22ba）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载离心率)10(eace)1(eacee=1 【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax. 共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为0byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax. 【备注 2】抛物线：（1）抛物线2y=2px(p0) 的焦点坐标是(2p,0)，准线方程x=-2p，开口向右；抛物线2y=-2px(p0) 的焦点坐标是(-2p,0)，准线方程x=2p，开口向左；抛物线2x=2py(p0) 的焦点坐标是(0,2p)，准线方程y=-2p，开口向上；抛物线2x=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-2p） ，准线方程y=2p，开口向下 . （2）抛物线2y=2px(p0) 上的点M(x0,y0) 与焦点F 的距离20pxMF；抛物线2y=-2px(p0) 上的点M(x0,y0)与焦点 F 的距离02xpMF（3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p. （4）已知过抛物线2y=2px(p0) 焦点的直线交抛物线于A、B 两点， 则线段 AB 称为焦点弦， 设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，则弦长AB=21xx+p 或2sin2 pAB( 为直线 AB 的倾斜角 )，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径 ). 五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. （2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x Oy中的坐标是),(yx.设新坐标系的原点O在原坐标系xOy 中的坐标是 (h,k) ，则kyyhxx或kyyhxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载叫做平移 (或移轴 )公式 . 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1 (c+h,k) x=ca2+h x=h y=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1 (h,c+k) y=ca2+k x=h y=k 双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 (c+h,k) x=ca2+k x=h y=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 (h,c+h) y=ca2+k x=h y=k 抛物线(y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-2p+h,k) x=2p+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2p+k) y=-2p+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- 2p+k) y=2p+k x=h 六、椭圆的常用结论：点 P 处的切线PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角 . PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 若000(,)P xy在椭圆22221xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2 的直线方程是00221x xy yab. 椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载椭圆22221xyab（ ab0）的焦半径公式10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc,2( ,0)Fc00(,)Mxy). 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N 两点，则MF NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF NF. AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点， 则22OMABbkka， 即0202yaxbKAB。若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab；【推论】：1、若000( ,)P x y在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab。椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是22221xyab. 2、过椭圆22221xyab(a0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb xka y（常数） . 3、若 P 为椭圆22221xyab（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4、设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2 中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5、若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 0 e21时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 . 6 、 P为 椭 圆22221xyab（ a b 0 ） 上 任 一 点 ,F1,F2为 二 焦 点 ， A为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则2112| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立. 7、椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载2222200()A aB bAxByC. 8 、 已 知 椭 圆22221xyab（ a b 0） ， O为 坐 标 原 点 ， P、 Q 为 椭 圆 上 两 动 点 ， 且OPOQ.（ 1 ）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab. 9、过椭圆22221xyab（ab 0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点， 弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10、已知椭圆22221xyab（ ab0）,A、 B、 是椭圆上的两点， 线段 AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11、设P 点是椭圆22221xyab（ab 0）上异于长轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12 、 设A 、 B是 椭 圆22221xyab（a b 0 ） 的 长 轴 两 端 点 ， P 是 椭 圆 上 的 一 点 ，PAB, PBA,BPA， c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1)22222|cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13、已知椭圆22221xyab（ ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ). （注 :在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：1、点 P处的切线PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角 . 2、PT 平分 PF1F2 在点 P处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 3、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4、以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切： P 在右支；外切：P在左支）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载5、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2 的直线方程是00221x xy yab. 7、双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co. 8、 双 曲 线22221xyab（ a 0,b o） 的 焦 半 径 公 式 ： (1(,0)Fc, 2( ,0)Fc） 当00(,)M xy在 右 支 上 时 ，10|MFexa,20|MFexa；当00(,)Mxy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa。9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、 Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N 两点，则MFNF. 10、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF. 11、 AB 是双曲线22221xyab（a0,b0） 的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12、若000(,)P x y在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 【推论】：1、双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2 时A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是22221xyab. 2、过双曲线22221xyab（ a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数） . 3、若P 为双曲线22221xyab（a0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点 , 12PF F, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）. 4、设双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea. 5、若双曲线22221xyab（ a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1 是 P到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 . 6、 P为双曲线22221xyab（a0,b0） 上任一点 ,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点， 则21|2|AFaPAPF,当且仅当2,A FP三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 7、双曲线22221xyab（a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 8、已知双曲线22221xyab（ba 0） ，O 为坐标原点， P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ. （1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba. 9、过双曲线22221xyab（ a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10、 已知双曲线22221xyab（a0,b 0） ,A、 B 是双曲线上的两点， 线段 AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11、设P 点是双曲线22221xyab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122cot2PF FSb. 12、 设A 、 B 是 双 曲 线22221xyab（ a 0,b 0） 的 长 轴 两 端 点 ， P 是 双 曲 线 上 的 一 点 ，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13、已知双曲线22221xyab（a0,b 0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 抛物线的常用结论：xcbyay2顶点)244(2ababac. )0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF. 通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx） （t为参数） . pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0 ,2(pF)2, 0(pF)2, 0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx, 0Ryx,00, yRx0, yRx对称轴x轴y轴顶点（0,0）离心率1e焦点12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF圆锥曲线的性质对比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程(x2/a2)+(y2/b2)=1 ab0 (x2/a2)-(y2/b2)=1 a0,b0 y2=2px p0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载范围x -a,a y -b,b x(-, -aa,+ ) yR x0,+ ) y R 对称性关于 x 轴,y 轴 ,原点对称关于 x 轴,y 轴,原点对称关于 x 轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点(c,0),(-c,0) 【其中 c2=a2-b2】(c,0),(-c,0) 【其中 c2=a2+b2 】(p/2,0) 准线x= (a2)/c x= (a2)/c x=-p/2 渐近线y= (b/a)x 离心率e=c/a,e(0,1) e=c/a,e(1,+ )e=1 焦半径PF1=a+ex PF2=a-ex PF1 =ex+a PF2= ex-aPF=x+p/2 焦准距p=(b2)/c p=(b2)/c p 通径(2b2)/a (2b2)/a 2p 参数方程x=acos y=bsin ， 为参数x=asec y=btan , 为参数x=2pt2 y=2pt,t 为参数过圆锥曲线上一点(x0 x/a2)+(y0y/b2)=1 (x0,y0)的切线 方程(x0 x/a2)-(y0y/b2)=1 y0 y=p(x+x0) 斜率 为 k的切线方程y=kx (a2) (k2)+b2y=kx (a2) (k2)-b2 y=kx+p/2k 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页