弹塑性理论基本知识ppt课件.ppt

张强勇张强勇 2 2.1 .1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识 2 2.2 .2 岩土塑性力学基本知识岩土塑性力学基本知识 1.1.应力方向规定应力方向规定 x12x3x111213212322313332x1x2x3正面正面正面负面负面负面l 正面上的应力，以与坐标轴的正面上的应力，以与坐标轴的正向一致为正，反之正向一致为正，反之为负为负。l 负面上的应力以与坐标轴的负面上的应力以与坐标轴的负向一致为正，反之为负向一致为正，反之为负负。 中中 j j表示应力方向，表示应力方向，i i表示应力所在截面的外法线表示应力所在截面的外法线方向。方向。ij2. 2. 应力变换公式应力变换公式 取任意一个斜面，设其外法线上的单位矢量为取任意一个斜面，设其外法线上的单位矢量为n ni i，它的三个分量是方向余弦，即：它的三个分量是方向余弦，即： 且有且有 ijmjninmll)3 , 2 , 1(),cos(ilennniii1332221nnn213nimi 设该斜面上的应力矢量为设该斜面上的应力矢量为 ，斜面的面积为，斜面的面积为S S，S S在在X X1 1OXOX2 2内投影为内投影为S S3 3，在在X X1 1OXOX3 3内投影为内投影为S S2 2，在在X X2 2OXOX3 3内内投影为投影为S S1 1。由四面体的平衡条件由四面体的平衡条件 得到得到: :已知：已知：则：则： 000321XXX333223113333222211223312211111SSSSPSSSSPSSSSPssnssnssn332211333232131332322212123132121111nnnPnnnPnnnPiPiP213nimi1S3S2SjiijniijPnl 截面上的应力矢量的各分量截面上的应力矢量的各分量为jP将将P Pj j投影到任意新的投影到任意新的m m坐标轴上去，可得：坐标轴上去，可得：上式表明：上式表明：l已知材料中任意一点的应力状态已知材料中任意一点的应力状态 ，则通过该点，则通过该点的任意截面的任意截面 （单位外法线矢量为（单位外法线矢量为n ni i）上的应力矢上的应力矢量量P Pj j在任意方向在任意方向 上的投影上的投影 为：为：l由于满足由于满足 形式，表明应力是二阶张量。形式，表明应力是二阶张量。l ) 3 , 2 , 1,(332211jillplplplplijmjnijmjmmmnmijmnmijmjninmllmnjnimijTllTx12x3x111213212322313332x1x2x3正面正面正面负面负面负面213nimi1S3S2Sl已知一点的应力，利用应力变换公式可求得通过该点已知一点的应力，利用应力变换公式可求得通过该点的任意截面上的正应力和剪应力。的任意截面上的正应力和剪应力。 如下图，已知一点的平面应力状态如下图，已知一点的平面应力状态 可可求得任意斜截面上的正应力求得任意斜截面上的正应力 ，剪应力，剪应力,22211211nnnt1x2x2221111222211211nnntxxyynxyyxyxnxyyx22121211ij sin,cos21nnnilll cos,sin21tttjlll利用应力转换公式利用应力转换公式 ，可求得：，可求得： ijmjninmll2212222211221122212211222212211122222122121121112211sincos22sincos222cos1sin2cos1sincossincossincosxyyxyxnnnnnnnniinniinniijnjninnnxyyxtntntntnitniiltlniijtjnintn22212221211222212212112111122sin2sincoscossinsincos3.3.主应力和主应力张量不变量主应力和主应力张量不变量 主应力：主应力：主平面（剪应力为零的平面）主平面（剪应力为零的平面）上的正应力。上的正应力。 设任一主平面的外法线方向为设任一主平面的外法线方向为n ni i（i=1i=1，2 2，3 3） 由由因因n n1 1，n n2 2，n n3 3不全为零，则不全为零，则 0)(0)(0)(333223113332222112331221111nnnnnnnnn0/ijij0n)(nnnPiijijijijijij0032213332313322212312111III由由 可求得主平面上的主应力矢量在可求得主平面上的主应力矢量在三个坐标轴上的投影三个坐标轴上的投影 则：则： 333231232221131211311133133333223222221121123322111IIIkk032213III321,321313322123211)(III因为主应力和坐标系的选择无关（即用主平面上的主应因为主应力和坐标系的选择无关（即用主平面上的主应力描述一点的应力状态不随坐标系而变化），因此力描述一点的应力状态不随坐标系而变化），因此 在坐标变换时也保持不变，故称在坐标变换时也保持不变，故称 分别为应力张分别为应力张量的第一、第二、第三不变量量的第一、第二、第三不变量321,III4.4.偏应力张量及其不变量偏应力张量及其不变量 由于任何张量由于任何张量 总可以分解为球张量和偏张量两部分，总可以分解为球张量和偏张量两部分，即即球张量球张量 ：不随坐标系而变化的张量。：不随坐标系而变化的张量。偏张量偏张量 ：张量与球张量之差。张量与球张量之差。应力张量应力张量 也可分解为应力偏张量也可分解为应力偏张量 和应力球张量和应力球张量 在主应力状态下在主应力状态下 ijTijijijijijPSQSTijijS)(31)(3131321332211kkPijQijSijQpppPQijij000000ijijijpSPPPSij321000000 与应力张量不变量类似可得到偏应力张量的三个不变与应力张量不变量类似可得到偏应力张量的三个不变量量 : :式中式中: : 为偏应力第一不变量；为偏应力第一不变量； 为偏应力第二不变量；为偏应力第二不变量； 为偏应力第三不变量为偏应力第三不变量 321,JJJijkiikijijijkkSSSSJSSSSSSSSSSSSSSJSSSSJ31)(6)()()(6121)(0323122321221133233222221113313223211211333322221123322111)(31)(310232221321313322123222121SSSSSSJJJ1J2J3J 5. 5. 应力空间应力空间 一般应力空间：一般应力空间：应力张量有应力张量有6 6个独立分量，可视为个独立分量，可视为6 6维空间中维空间中的一个点，这的一个点，这6 6维空间中的每一个坐标代表一种应力分量维空间中的每一个坐标代表一种应力分量（或说代表一点的应力状态），这个应力空间称为（或说代表一点的应力状态），这个应力空间称为一般应力一般应力空间空间。 应力路径：应力路径：研究固体中一个点的应力变化可用应力空间中的研究固体中一个点的应力变化可用应力空间中的一个点的轨迹来形象加以描述，这个轨迹表示了应力变化的一个点的轨迹来形象加以描述，这个轨迹表示了应力变化的历史，称为历史，称为应力路径应力路径。 主应力空间：主应力空间：确定一点的主应力需要确定一点的主应力需要6 6个独立变量，三个主个独立变量，三个主应力值和三个决定主轴方向的参数，应力值和三个决定主轴方向的参数，如果研究的材料是各向如果研究的材料是各向同性的，主应力的方向可以不考虑，则一点的应力状态只由同性的，主应力的方向可以不考虑，则一点的应力状态只由三个主应力值决定三个主应力值决定，如果用三个互相垂直的轴各表示一个主，如果用三个互相垂直的轴各表示一个主应力值，则得到一个三维的应力空间，称为应力值，则得到一个三维的应力空间，称为主应力空间主应力空间。主应力空间中任意一点的主应力矢量为主应力空间中任意一点的主应力矢量为 , , 把把 分解为球张量和偏张量两部份：分解为球张量和偏张量两部份：由由 知表征应力球张量的单位矢量知表征应力球张量的单位矢量n n与三个主应力坐标轴的夹角相等，与三个主应力坐标轴的夹角相等， ， 我们称与三个主应力坐标轴成相同夹角我们称与三个主应力坐标轴成相同夹角 的直线的直线为静水压力轴为静水压力轴，在静水压力轴上每一点的，在静水压力轴上每一点的 球张量的几何解释是静水压力轴上的一个分矢量球张量的几何解释是静水压力轴上的一个分矢量。 332211eeePPQSP)(321eeePQ)(31321eeen5533arccos0321P 6. 6.八面体应力和等效应力八面体应力和等效应力 八面体：l 如果一个平面的法线和三个坐标轴的夹角都相等如果一个平面的法线和三个坐标轴的夹角都相等（即（即 ），），则这则这 个平面称为等斜面，在主应力空个平面称为等斜面，在主应力空间中，这样的平面共有八个，它们组成的几何体称为间中，这样的平面共有八个，它们组成的几何体称为八八面体面体。l 八面体上的正应力八面体上的正应力 与第一应力不变量与第一应力不变量I I1 1有关有关，八面体，八面体上的剪应力上的剪应力 和第二偏应力不变量J2有关。 33321nnnoctoct21323222121321)()()(313231)(31JIoctoct 等效应力：l 许多文献为了把三维应力状态和单轴试验中的拉（压）许多文献为了把三维应力状态和单轴试验中的拉（压）应力联系起来，定义了应力联系起来，定义了等效应力等效应力 在单向拉伸时 ，则l 为了把三维应力和纯剪试验中的剪应力联系起来，定义了等效剪应力 2132322212)()()(213J0,321T2132322212)()()(61JT 1. 1. 塑性材料分类塑性材料分类 理想弹塑性材料理想弹塑性材料 应变硬化材料应变硬化材料 应变软化材料应变软化材料 塑性材料的特征：塑性材料的特征：l加载、卸载遵循不同的应力应变路径，是加载、卸载遵循不同的应力应变路径，是不可逆过程不可逆过程。l应力与应变之间不是一一对应的关系，应力应变关系应力与应变之间不是一一对应的关系，应力应变关系与加载历史有与加载历史有关关，即：，即： 式中式中 为内变量，反映加载历史和材料微观结构变化的量，其不能直接为内变量，反映加载历史和材料微观结构变化的量，其不能直接测量，因此称为测量，因此称为内变量内变量。加载卸载加载卸载加载卸载),(qijijq 2. 2. 理想弹塑性材料理想弹塑性材料 屈服：屈服：材料应力达到某一定值的时候变形可以不断增材料应力达到某一定值的时候变形可以不断增加而应力不再提高，这种现象称为加而应力不再提高，这种现象称为屈服屈服。 屈服面：屈服面：在应力空间中，每一种应力状态（在应力空间中，每一种应力状态（ ）下都）下都能找到一个确定屈服的临界能找到一个确定屈服的临界 ，这些值所形成封，这些值所形成封闭曲面称为屈服面闭曲面称为屈服面 屈服准则：屈服准则：反映材料产生屈服的条件反映材料产生屈服的条件 称为屈服称为屈服条件（屈服准则）条件（屈服准则） ij)(ijF0)(ijFijF( )=0ijij0)(ijF 对于金属材料认为：对于金属材料认为：l其屈服条件只与主应力其屈服条件只与主应力 大小有关，大小有关，与其方与其方向无关向无关。l 其屈服条件只和应力偏张量有关，而与其屈服条件只和应力偏张量有关，而与 平均应力平均应力 无关无关。l这就是说材料的这就是说材料的屈服面在空间中与静水压力屈服面在空间中与静水压力轴平行轴平行。 iikkP313.3.TrescaTresca准则和准则和MisesMises屈服准则屈服准则 TrescaTresca屈服准则屈服准则 : : l认为材料的最大剪应力达到一定极限值认为材料的最大剪应力达到一定极限值k k，材料材料就会产生屈服，其屈服条件只与就会产生屈服，其屈服条件只与 、 有关，和有关，和中间主应力中间主应力 无关。无关。lTrescaTresca屈服面在应力空间为屈服面在应力空间为一六棱柱面一六棱柱面，在平面，在平面上的投影为上的投影为一正六边形一正六边形。 321Tresca六棱柱屈服面ssssssskbka21, 0,:210,321321、在纯剪状态下、在单向拉伸状态下132k)(2131max MisesMises屈服准则屈服准则 : :l 认为偏应力张量的第二不变量达到某一极限值认为偏应力张量的第二不变量达到某一极限值C C，材料产生屈服。材料产生屈服。 J J2 2=C =C l J J2 2在在平面上的投影为一个圆，因此平面上的投影为一个圆，因此MisesMises屈服屈服面为面为一平行静水压力轴的圆柱面一平行静水压力轴的圆柱面。321Mises屈服面Tresca屈服面321Mises圆柱形屈服面s3s2s2s32s12s232s1577. 03cJ, 0,:bc31J , 0,:a、纯剪状态、单向拉伸 4. 4.流动法则和加卸载准则流动法则和加卸载准则 流动法则流动法则 : 式中式中G G为塑性势函数为塑性势函数 ；为比例常数，为比例常数，q q为内变量（反为内变量（反映加载历史和塑性变形的变量）映加载历史和塑性变形的变量）加、卸载准则加、卸载准则 : :ijijpijGhdGdd非关联流动法则关联流动法则GFGF卸载但中性卸载塑性加载且弹性阶段,00),(0,00),(0),(ijijijijijijijijijdFdFqFdFdFdFqFqFijF( )=0ijij弹性加载 塑性加载ijijFijd2卸载ijFij2dij5.5.塑性一致性条件塑性一致性条件 塑性一致性条件：塑性一致性条件：屈服面屈服面 在应力空间随塑性内变量在应力空间随塑性内变量q q的变化的变化而变化，但材料在加载过程中出现的新的应力点而变化，但材料在加载过程中出现的新的应力点（ ）将始终在后继加载面（屈服面）将始终在后继加载面（屈服面）上，即，上，即， 这种新的应力始终保持这种新的应力始终保持在加载面上的条件称为在加载面上的条件称为塑性一致性条件塑性一致性条件。即：。即： 0),(qFijijijd0dqqFdFdF0),(qFij0dqqFdFdFijijij初始屈服面后继屈服面F（ ,q）=0F（ d ,q+dq）=0 由于塑性变形的影响，材料加卸载弹性模量由于塑性变形的影响，材料加卸载弹性模量随塑性变形的变化而变化，这种特性称为随塑性变形的变化而变化，这种特性称为弹弹塑性耦合。塑性耦合。 6. 6. 弹塑性耦合弹塑性耦合 DruckerDruckerPragerPrager屈服准则屈服准则 :lD-PD-P准则考虑了静水压力（围压效应）的影响，准则考虑了静水压力（围压效应）的影响，随静水压力随静水压力增加的增加，屈服面半径不断扩大增加的增加，屈服面半径不断扩大lD-PD-P准则在应力空间中为准则在应力空间中为圆锥面，是圆锥面，是MisesMises准则的推广准则的推广。 21KJI2222222322)()()(61sin393,sin39sinxyzxyzxzzyyxJcCosk7.7.岩土材料中的屈服准则岩土材料中的屈服准则 321D-P圆锥面321Mises圆柱形屈服面Mohr-CoulombMohr-Coulomb（M-CM-C）屈服准则屈服准则 : :maxtgcnncos)(21sin)(21)(21313131nnnn13nn( , )C摩尔-库仑六棱锥面231cos)3sinsincos(sin31sin)(21)(21cos)(2121313131JItgcKJI213sinsincos)(,)(cos,)(3sinFFkF为材料内摩擦角为材料内摩擦角为为LodeLode角角M-CM-C准则在应力空间准则在应力空间为一六棱锥面，是为一六棱锥面，是TrescaTresca准则的推广准则的推广321Tresca六棱柱屈服面 注意：注意：D-PD-P准则和准则和M-CM-C准则准则只适用岩土受压情只适用岩土受压情形形，即，在，即，在受拉区和实验有较大出入受拉区和实验有较大出入 321M-C六棱锥面D-P圆锥面Zienkiewicz-pandeZienkiewicz-pande（辛潘屈服准则）辛潘屈服准则） 220(024mF ）kijkijijijijijijzyxmSSSJJKPSSSJccckkkgJg31,2333sinsin3sin3,21cossin,cossin2,sin3sin)1 ()1 (2)(,)()(3133322222220l D-PD-P准则适用于软弱夹层准则适用于软弱夹层l Z-P Z-P准则适于模拟岩石、砼材料准则适于模拟岩石、砼材料 8. 8. 岩土材料的弹塑性本构模型岩土材料的弹塑性本构模型 弹塑性力学响应特征弹塑性力学响应特征: : 式中：为内变量（反映加载历史和塑性变形的量）；式中：为内变量（反映加载历史和塑性变形的量）； 为比例常数；为比例常数；H H为反映材料软、硬化特征的参数。为反映材料软、硬化特征的参数。因因 其中其中 则则由塑性一致性条件由塑性一致性条件 dF=0dF=0 qd peddddDdee1FddpFddDde1)(FddDde0dqqFdFT( , ) 0pijFddF Fqdq d H； 0)(HdqFFddDFeTHqFFDFdDFdeTeT将将 代入代入弹塑性本构关系弹塑性本构关系 弹塑性矩阵弹塑性矩阵dAFDFDFFDDdeTeTee)(dDdDDeppeHqFFDFdDFdeTeT)(FddDde式中：式中： 为弹性矩阵；为弹性矩阵； 为塑性矩阵为塑性矩阵 反映材料软、硬化特性的参数；反映材料软、硬化特性的参数；A=0A=0为理想弹塑性材料。为理想弹塑性材料。eDpDHqFAGGGGGGDe000000000000222称对)21)(1 (E)1 (2EGepepDDDl当岩土材料采用当岩土材料采用Z-PZ-P屈数准则，可推得塑性矩阵屈数准则，可推得塑性矩阵l当岩土材料采用当岩土材料采用D-PD-P屈服准则，对厚度较薄的夹层单屈服准则，对厚度较薄的夹层单元，可推得塑性矩阵元，可推得塑性矩阵 2222221xyzxxyyzxyzxyyxyxxyxzyzzxzzxyzxxzxyzzyzyyzxyzzyzxzyxyxPAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAQD称对2221zxyzzxzzxyzzyzzpBBBBBBBBBqD称对042(220mF=TeepTeFFDDDFFDApDpD21KJIxzxyzyzz000000002GDe