2022年高一数学必修一：集合与函数知识点总结 .pdf

1 必修一集合与函数知识点第二章函数1. 函数三要素：（1）解析式（2）定义域（3）值域2. 函数定义域的求法：（1）分式的分母不得为零; (2) 偶次方根的被开方数不大于零; （3）对数函数的真数必须大于零; (4) 指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；（5）0)()(0 xfxfy，要求；（6）抽象函数求定义域：fg(x)的定义域为 a,b，指的是 x 的取值范围为 a,b，而不是 g(x) 的范围为 a,b，如 f(3x-1)的定义域为 1,2 ，指的是 f(3x-1)中的范围是21x. fg(x)与 fh(x)联系的纽带是g(x) 与 h(x) 的值域相同。（7）对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。3. 函数值域的求法：配方法： 转化为二次函数， 利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2nmxcbxaxxf的形式；集合知识网络集合定 义特 征一组对象的全体 形成 一个集合确定性、互异性、无序性表示法分 类列举法 1,2,3, , 、描述法 x|P 有限集、无限集数 集关 系自然数集 N、正整数集N或N、整数集 Z、有理数集Q、实数集 R、空集 元素和集合的关系是”或“如N3M2或集合与集合之间的关系是,ACu运 算性 质交集ABx|xA 且 xB ；并集ABx|x A 或 xB ；补集ACUx|xA 且 xU ，U 为全集AA； A； 若 AB，BC，则 AC；AAAAA； A；AA；ABAABBAB；ACUA； ACUAI；CU( CUA) A 方 法韦恩示意图数轴分析注意 ： 区别与、与、a 与a 、与 、(1,2)与1,2 ； AB时， A有两种情况： A与 A4. 对于任意集合BA,，则BCACUU)(BACU；BCACUU)(BACU； 若集合A中有n个元素， 则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是12n，所有非空子集的个数是12n，所有非空真子集的个数是22n。AnA22n2n2n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 逆求法（反求法） ：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：),(,nmxdcxbaxy；换元法 ：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：)0(kxkxy，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法 ：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。数形结合 ：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。3、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性单调性： 定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）增函数：)()(,x212121xfxfxxbax对任意的减函数：)()(,x212121xfxfxxbax对任意的注：函数上的区间I 且 x1，x2I. 若2121)()(xxxfxf0（x1x2） ，则函数 f(x) 在区间 I 上是增函数；若2121)()(xxxfxf0（x1x2） ，则函数 f(x) 是在区间 I 上是减函数。 用定义证明单调性的步骤: 设 x1，x2M ，且21xx；则 )()(21xfxf作差整理； 判断差的符号； 下结论； 增+增=增减+减=减 复合函数 y=fg(x)单调性 : 同增异减（，则（外层）（内层）yfuuxyfx()()()的单调区间如：求xxy2log22120022xuxxu则，由（设) ，如图：，且11log221xuuy)2(loglog2 10(221212xxyuyxxux，又时，当)2(loglog2)21221212xxyuyxxux，又时，当奇偶性： 定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与 f(-x)的关系）f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x) 为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x) 为奇函数。注:若 f(x) 为偶函数 , 则 f(x) =f(-x)= f(x); 若 f(x) 为奇函数且定义域中含0, 则 f(0)=0. 如：若为奇函数，则实数f xaaaxx( )2221（为奇函数，又，f xxRRf( )( )000即，）aaa22210100周期性 : 若 f(x+T)=f(x) 且 T0 的常数 ,则 T 是函数 f(x) 的周期 ; 若 f(x+a)=f(x+b) ，a、b 为常数且 ab,则 b- a 是函数 f(x)的周期。u O 1 2 x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 (a0,b0) 左加右减上加下减对称性 : 若 f(x+a)=f(b-x),则函数 f(x) 关于直线 x=2ba对称 ;( 即: 一均二等的原则)若函数y=f(x+a) 和函数 y=f(b-x),则函数 y=f(x+a) 和函数 y=f(b-x)关于直线 x=2ab对称 . 你还知道函数y=f(x)关于直线 x=0( 即 y 轴), 直线 y=0( 即 x 轴), 原点。函数图象的变换平移变换：bxfyaxfyxfyaxfybxfy)()()()()(对称变换： (1)y=f(-x) 与 y=f(x) 关于 y 轴对称 . (2)y=-f(x) 与 y=f(x) 关于 x 轴对称 . (3)y=-f(-x) 与 y=f(x)关于原点对称 . (4)(1xfy与 y=f(x)关于直线 y=x 对称 . (5)y=|f(x)| 的图象可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变 . （下翻上 ）(6)y=f(|x|) 的图象：可将y=f(x)，x0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出 x0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到. （2）y=f(ax) （a0）的图象，可将y=f(x) 图象上所有点的横坐标变为原来的a1倍，纵坐标不变而得到4. 求反函数的步骤：(1)反解 x； （2）对调 x,y; （3）写反函数的定义域（即原函数的值域）. 注：函数与反函数之间:f-1(a)=bf(b)=a 5. 常用的初等函数：一次函数 , 二次函数 , 反比例函数 , 指数函数 , 对数函数 ,)0(kxkxy的图象和性质(重点掌握 !)（1）一次函数：)0(kbkxy，当0k时，是增函数；当0k时，是减函数；图象为抛物线）二次函数（abacabxaacbxaxy44202222顶点坐标为，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间 m，n上的最值。求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。两点式：)(21xxxxay；对称轴方程是；与x轴的交点为；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 y y=ax(a1) (0a1) 1 O 1 x (0a0 时，幂函数在第一象限是增函数。0 时，幂函数在第一象限是减函数。6. 函数与方程：（1）函数)( xfy的零点方程0)( xf有实数根函数)( xfy的图象与 x 轴有交点。（2）一般地，如果函数)( xfy在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0 那么，函数)( xfy在 (a,b)内有零点，即),(bac，使得,0)( cf这个 c 也就是方程0)( xf的根。注：解决了存在性问题（有且至少有1 个） 。在 (a,b)内只有 1 个零点，说明函数是单调的。8. 解应用问题的一般步骤：7.二分法步骤：（1）审题； （2）建模；（1）确定区间 a,b,验证 f(a)f(b)0 ，给定精确度；（3）解模；（4）作答（2）求区间 (a,b)中点 c；（3）计算)(cf,0)( cfc 是函数零点。f(a)f(c)0, ),(0cax. f(c)f(b)0, (4) ba否则重复 24. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -