高等代数第一学期试卷及答案(A).pdf

数学与应用数学高等代数第一学期期末考试试卷闭卷数学与应用数学高等代数第一学期期末考试试卷闭卷 A A 卷卷一、单项选择题每题 2 分，共 10 分a1a2b2c2a3c3a1a32c15b12c25b22c35b33b13b2().3b31. 假设b1c1b3 m，则a2A30m B.-15mC6m D.-6m2.n阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是().AA=0B. rAnC. A 是满秩矩阵D. A 是退化矩阵3以下说法不正确的选项是().A任何一个多项式都是零次多项式的因式B. 如果 f(x)g(x)，g(x)h(x)，则 f(x)h(x)C.如A A是n阶矩阵，则(A AE E)(A AE E) (A AE E)(A AE E)D. 如A A是n阶矩阵，则A AmA Ak A AkA Am4. 设向量组 , , , , 线性无关， , , , , 线性相关，则().A 一定能由 , , , , 线性表示B. 一定能由 , , , , 线性表示C. 一定不能由 , , , , 线性表示D. 一定不能由 , , , , 线性表示5. 对于n元方程组，以下命题正确的选项是().A如果Ax0只有零解，则Axb也只有零解B. 如果Ax0有非零解，则Axb有无穷多解C. 如果Axb有两个不同的解，则Ax0有无穷多解D.Axb有唯一解的充分条件是r(A A) n二、填空题每空 2 分，共 20 分1 1. 假设A=24,5,6 ，则A= .3 （5）（x）2. f(x)=x4 x3- 1，则f=3p(x)是不可约多项式，对于任一多项式 f(x)，已知 p(x)f(x)，则p(x),f(x)= .10124. 已知A=- 11031110- 1254，则A12-A22+A32-A42=_ .1005. 设A=020， A1*是A1的伴随矩阵，则A1*=0036. 假设 1 1 (1,0,5,2)T, 2 2 (3,2,3,4)T, 3 33,1,t,3线性无关，则t .7. 设 =0,1，-1，=1,0,-2,则向量组 , 的秩=.8. 设 f(x)Rx,deg f(x)2 ,且 f(1)=1，f(-1)=2，f(2)=0,则 f(x)=.9. 一个n阶矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩= .10. 设 3 阶矩阵A的伴随矩阵为A*，A=1，则-2A*=T三、计算题每题 10 分，共 50 分1.问 k,m,n 满足什么条件时,x2+kx+1 能整除 x3+mx+n.00012000342. 计算行列式12376的值.04500689784003设A=031，求A1021x1 x2 x3 x4 04. 求齐次线性方程组2x15x23x32x4 0的基础解系和通解7x 7x 3x x 02341 12211 24802A, b, 24233 求矩阵 A 及矩阵A (A,b)的秩.5. 设36064 四、证明题每题 10 分，共 20 分1. 设列矩阵X (x1,x2,xn)T满足XTX 1,E 为 n 阶单位矩阵,H E 2XXT,证明 H 是对称矩阵.2. 已知1,2,3线性无关，证明.2132,23,123线性无关.高等代数一 闭卷 A 卷答案一、单项选择题每题 2 分，共 10 分1.D 2.C 3.A 4.B 5.C二、填空题每空 2 分，共 20 分161.0；2.0；31；4. 0；5.00013000；126. 21；7. 2 ；8.- 13231xx -；9.n；10. -8.623三、计算题每题 10 分，共 50 分1. 解：用 x 2+kx+1 除 x3+mx+n，商式是 x-k余式是k2+m-1x+k+n4 分所以 x3+mx+n =x 2+kx+1 x-k+k2+m-1x+k+nx 2+kx+1 整除 x3+mx+n 的充要条件是k2+m-1=0 且k+n=04 分n=-k，m= 1-k22 分2.解：0001212000000343400012376 12376123045878704500698980064 分12312340454 分006 2402 分此答案仅做参考，因为计算方法不止一种，对于其它做法全对的给总分值，不全对者酌情给分！3解：令A=A0 10A2A=4,A3112=214 分-14-1=1，314211- 1- 234 分100A1=401- 12 分0- 23此答案仅做参考，因为计算方法不止一种，对于其它做法全对的给总分值，不全对者酌情给分！4.解：对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简矩阵，有A 111125327731111107540141081111075400001023 770154770000 x 2x 3x得134775，4 分x27x347x42 377所以基础解系为541,27710014 分x1通解为x x2 c11c22，c1,c2Rx 2 分3x4 1 211 22115. 解：A212 4802r2 2r100420 24 23r3 2r1300 21536064r43r100631r1 2111 2211222r r00210r250021032r 3r000050014200001r4r30000000r(A) 2,r(A) 3.2 分五、证明题每题 10 分，共 20 分证明HT (E 2XXT)T ET 2(XXT)T E 2XXT H,由对称矩阵的定义可知 H是对称矩阵.2.证明：设1 2132,223,3123，则2011,2,31,2,33114 分01 1201令B B 1,2,3，A A 1,2,3，k k 311，01 1201则上式可写为B B AkAk，而k k 311 1 0，所以k k可逆4 分01 1所以RB B RA A，又知1,2,3线性无关，所以.2132,23,123线性无关。2 分此答案仅做参考，因为计算方法不止一种，对于其它做法全对的给总分值，不全对者酌情给分！4 分4 分4 分4 分2 分