第7章数列与数学归纳法.doc

蓝舰教育第7章 数列与数学归纳法一 数列7.1 数列一、数列及其数列的通项公式： 按一定次序排列的一列数叫做数列如果数列的第项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 数列可以看成以正整数集（或其子集）为定义域的函数，当自变量按从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列数 数列的一般形式可以写成，其中是数列的第项，是的序数，上面的数列可以简单记作例1 根据下面的通项公式，写出数列的前5项：（1）； （2）例2 根据下面各项，写出该数列的通项公式： 蓝舰教育练习7.1（1）1、写出下面数列的一个通项公式，使它前面的四项分别是下列各数：（1）2，2，2，2， （2）3，5，9，17，33，（3）， （4），1，1，1，（5）， （6）1，3，（7）1.1,1.01,1.001,1.0001， （8）0.1，0.02，0.003，0.0004，2、已知数列1，0，1，0，则下列选项中，不能作它的通项公式的是（ ）A B C D3、已知数列0，2，4，6，则14是这个数列的（ ）A第6项 B第7项 C第8项 D第9项4、已知数列的通项公式，依次取出其中第2项，第4项，第8项，第项构成一个新的数列，求的通项公式 蓝舰教育二、数列的递推公式： 如果已知数列的第一项（或前几项），且数列的任一项与它的前一项（或前项）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式例3 根据下列递推公式写出数列的前4项： （1）； （2）例4 根据图中的框图，建立所打印数列的递推公式，并写出这个数列的前5项 蓝舰教育练习7.1（2）1、在数列中，则_2、在数列中，则_3、已知数列的首项，则数列的第3项是_4、在数列1，1，2，3，5，8，21，34，55，中的值应当是（ ）A14 B13 C12 D115、根据框图：（1）写出数列的递推公式；（2）写出数列的前4项；（3）猜测数列的通项公式 蓝舰教育三、数列的前项和： 与的关系：例5 已知数列的前项和，求数列的通项公式练习7.1（2）1、在数列中，前项之和，则_2、已知数列的前项和，求数列的通项公式四、数列的分类： 按照项数的多少可以分为：； 按照前后两项的大小关系可以分为：； 周期数列：如果，就称该数列为周期数列例6、下列说法不正确的是（ ）A数列1，1，1，1，是无穷数列B数列5，4，3，2，1是有穷数列C数列1，的一个通项公式是D若数列的通项公式为，则例7、数列满足，则等于（ ）A2 B C D1练习7.1（3）1、数列满足，若，则_7.2 等差数列一、等差数列的递推公式及其通项公式： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差 等差数列的递推公式：，其中是常数，且例1 在数列中，如果为等差数列，求公差及 等差数列的通项公式：，其中是首项，是公差例2 （1）求等差数列8，5，2，的第20项 （2）是不是等差数列，的项？如果是，是第几项？ 蓝舰教育例3 已知某区的绿化覆盖率的统计数据如下表所示：年份第1年年底第2年年底第3年年底第4年年底绿化覆盖率（单位：%）22.223.825.427.0 如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么到第几年年底该区的绿化覆盖率可超过35.0%？例4 已知数列的通项公式为，判断数列是否是等差数列如果是，求出这个数列的公差和首项例5 已知数列的通项公式为，其中、为常数，且判断数列是否是等差数列，并证明你的结论例6 已知数列与都是等差数列，且求证：数列是等差数列例7 安装在同一个轴上的6个皮带轮的直径成等差数列，如果最大和最小的皮带轮的直径分别为220毫米和100毫米，求中间四个皮带轮的直径 等差数列的通项公式的推广：，其中是公差，且例8 如果为等差数列，求该等差数列的公差练习7.2（1）1、等差数列，的通项公式是（ ）A B C D2、数2001是等差数列，1，3，的第_项3、在等差数列中，若，公差，则公差为（ ）A B C D4、若，且两个数列和各成等差数列，则_5、在和3之间插入个数，使个数组成公差为2的等差数列，则（ ）A B C D6、如果为等差数列，求其通项公式7、已知等差数列中，则_二、等差中项： 若成等差数列，则称为和的等差中项，即另外，如果三个数成等差数列，通常可以设这三个数分别为；如果四个数成等差数列，通常可以设这四个数分别为例1 若与4的等差中项7，则_例2 若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为28°，求其他两内角的度数 蓝舰教育练习7.2（2）1、等差数列的前三项为，则_2、三个数成等差数列，且，则_3、“”是成等差数列的（ ）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件4、已知和的等差中项是5，和的等差中项是4，则和的等差中项是（ ）A B3 C6 D95、三个数的倒数成等差数列，且互不相等，则为（ ）A B C D6、若是的等差中项，是，的等差中项，则（ ）A B C D或7、已知等差数列中，求及通项公式8、已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求这三个数 蓝舰教育9、已知中，设成等差数列，且三内角也成等差数列，求证：为正三角形三、等差数列的性质： 等差中项不仅描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系：，还可以推广为：若项数成等差数列，则例1 若七个数成等差数列，且他们的和为21，求中间的一个数时，是递增数列；时，是递减数列；时，是常数列若，则例2 如果为等差数列，求的值已知等差数列的公差为，则数列是公比为的等比数列其中，若是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列例3 若是以为公差的等差数列，则的公差是_练习7.2（3）1、已知等差数列，是方程的两根，则（ ）A18 B C15 D122、已知等差数列中，求等差数列的通项公式3、在等差数列中，则_四、等差数列的证明方法： 是公差为的等差数列； 为常数是公差为的等差数列； 或是等差数列 注意：方法一般只用于选择、填空题例1 已知数列通项为，求证：数列为等差数列例2 已知数列中，时，有，则_7.3 等差数列的前项和一、倒序相加法： 设等差数列的前项和，即：，然后把各项次序反过来，可得 由等差数列的性质，可得 于是，可得 ，即 这种求等差数列的前项和的方法就叫做倒序相加法例1 已知数列为等差数列 （1）设，求； （2）设，求例2 已知一个等差数列的前10项和，前20项和，由此可以确定其前项和的公式吗？例3 已知数列的前项和为 （1）求数列的通项公式；（2）求证：是等差数列例4、在等差数列中，（1）已知，求的值；（2）已知，求的值练习7.3（1）1、已知数列为等差数列，求2、在1和6之间插入98个数，使这100个数成等差数列，则它们的和为_3、在等差数列中，则（ ）A39 B20 C19.5 D184、在等差数列中，求与5、在等差数列中，则前20项之和_6、在等差数列中，则前19项之和_7、已知等差数列的公差为，且，若等差数列的前20项的和，则为（ ）A B C D8、若等差数列的前23项之和，则必能断定该数列中（ ）A B C D二、等差数列前项和的应用：1、由等差数列通项公式及前项和公式可得 解题的基本方法： 抓住首项与公差，是解决等差数列的关键； 等差数列的通项公式和前项和共涉及五个量：，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（俗称知三求二）例1、已知数列为等差数列，求例2、在等差数列中，则前20项之和_例3、一个等差数列的首项为20，公差为，当为何值时，前项的和最大？并求此最大值2、判断等差数列通项公式和前项和的最大值和最小值往往可以借助于等差数列的性质：若，则例4、在等差数列中，试求出当取最大值时的值3、将等差数列的前项和变形，可得所以当时，等差数列前项和公式是关于的二次函数（不含常数项），它的图像是抛物线上横坐标为正整数的一群孤立点于是，就有了新的判定等差数列的方法：是等差数列例5 一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，由此可以确定其前项和的公式吗？练习7.3（2）1、已知数列为等差数列，则_2、已知为等差数列，则_3、若各项均为整数的等差数列的公差，并且有，则其首项_4、在等差数列中，求公差的取值范围；问为何值时，取得最大值？5、已知等差数列中，则当时，最小的正整数_6、等差数列中，问该数列前几项和最大？7、已知数列的前项和，则是等差数列的必要条件是_8、已知等差数列中，前项和，则使为最小值的是（ ）A7 B8 C7或8 D9三、等差数列的性质： 若数列是等差数列，且，则；例1 已知等差数列中，求 若与均为等差数列，且前项和分别为与，则；例2 设和分别是两个等差数列和的前项和，若对于所有的，都有，求的值 若数列是等差数列，是等差数列例3 等差数列的前项和为25，前项和为100，则它的前项的和为（ ）A125 B200 C225 D275 若等差数列共项，则；若等差数列共项，则例4 一个等差数列共项，其中奇数项之和为36，偶数项为30，求此数列第项的值7.4 等比数列一、等比数列的递推公式：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数，叫做等比数列的公比 等比数列的递推公式为例1 数列中，若，则_例2 等比数列中，已知，则等比数列的递推公式是_例3 等比数列的公比，则等于（ ）A B C D3二、等比数列的通项公式：1、，其中是首项，是公比例1 数列中，若，则_例2 等比数列的公比为，为偶数，则它的第项等于（ ）A B C D2、等比数列的通项公式的推广：例3 等比数列中，已知，_三、等比中项： 若成等比数列，则称为和的等比中项，即另外，如果三个数成等比数列，通常可以设这三个数分别为；如果四个数成等比数列，通常可以设这四个数分别为例1 求9与25的等差中项和等比中项例2 （1）“实数、满足”是“、成等比数列”的_条件；（2）“实数、满足”是“为、的等比中项”的_条件四、等比数列的性质： 等比中项不仅描述了等比数列中相邻三项之间的数量关系：，还可以推广为：若项数成等差数列，则例1 等比数列中，已知，则此数列前17项之积等于（ ）A B C D例2 等比数列中，已知，求若，则例3 等比数列中，求已知等比数列的公比为，则数列是公差为的等差数列其中，例4 、成等差数列是、成等比数列的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件若是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项之和下标成等差数列且公差为的项组成公比为的等比数列五、等比数列的证明方法：是公比为的等比数列；或是等比数列例1 已知数列的通项公式为，且求证：数列是等比数列练习7.41、等比数列中，已知，求数列的通项公式2、等比数列中，则公比的值是_3、有四个数前三个成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数之和是16，第二个数与第三个数之和是12，求这四个数4、若、成等比数列，求证：，也成等比数列5、在中，若三边成等比数列，对应的三内角成等差数列，证明为等比三角形6、与的等比中项是_7、等比数列中，那么_8、三个实数、成等差数列，又成等比数列，则_9、若、成等比数列，则函数的图像与轴的交点的个数为_个10、成等比数列，则的值等于（ ）A0 B C6 D11、已知是、的等差中项，、三数之和为9且是、的等比中项，求、的值12、若、成等比数列，公比，求证：、成等比数列13、等比数列中，且公比为整数，则_14、已知是公比为的等比数列，则数列；中等比数列的个数是（ ）A1 B2 C3 D415、下列命题中，真命题的个数为（ ）在等比数列中，至少可以有一项为0；常数列既是等差数列，也是等比数列；在等比数列中，若公比大于1，则是递增数列；若，则是等比数列A0个 B1个 C2个 D3个7.5 等比数列的前项和一、错位相减法： 设等比数列的前项和，即：，然后在上式两边同时乘以公比，可得 于是，可得 这种求等比数列的前项和的方法就叫做错位相减法 注意：该公式前提条件是，如果，例1 求下列等比数列各项的和：（1）1，； （2）27，3，例2 已知等比数列，1，求使得大于100的的最小值二、等比数列的性质：若数列是等比数列，是公比为的等比数列例1 等比数列的前项和为10，前项和为30，求其前项和练习7.51、设，求2、等比数列中，则_3、_4、首项为，公比为的等比数列前项和为，则数列前项和为（ ）A B C D5、数列的和为（ ）A B C D6、等比数列前项和为，则项数为（ ）A7 B8 C9 D107、等比数列前项和为，则（ ）A B0 C1 D38、等比数列中，则_9、等比数列中，则_10、等比数列中，公比，则_11、等比数列中，则_7.6 根据递推公式求通项公式 （类等差数列），通过逐式相加（累加法），可求出通项公式； 例1 数列中，则等于（ ） A240 B220 C200 D180 （类等比数列），通过逐式相乘（累乘法），可求出通项公式； 例2 数列中，且，则其通项_ 或（复合等差数列），通过求出的通项公式，从而求出的通项公式其中，比较典型的就是取倒数法 例3 数列中，且，求 或（复合等比数列），通过求出的通项公式，从而求出的通项公式 对于（线性数列），通过设，可逐步求出通项公式 例4 已知数列中，求 对于型： 例5 数列中，求数列的通项公式 型： 例6 设数列：，求 型，其中 例7 已知数列中，求 型： 例8 已知数列中，求 型： 解析：于是令，则，两边取倒数，可得7.7 数列的求和（1）倒序相加法：等差数列的求和方法例1 求和：（2）错位相减法：可求，其中数列为等差数列，数列为等比数列例2 求和：例3 设是正项数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）已知，求的值（3）裂项相消法：可求类似于，其中为常数，为等差数列，将每项分裂成两项或几项的差，中间前后相邻的项相互抵消，只剩下首末两项或几项，最后合并求得和例4 求和：_例5 求和：（4）通项分拆法：将通项公式分拆成几个已知其和的数列通项公式的代数和，然后分别求出各部分的和再相加例6 求和：（5）分组求和法：将规律相同的项合并成一组，各自求和例7 求和：（6）降幂累加法：利用公式：，可求得自然数各次幂的和如：； 练习7.71、已知各项均为正数的数列前项和为，首项为，且成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，证明：2、已知数列前项和为，且当时，满足，数列满足，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和3、已知数列中，数列的前项和为，其中，（1）求数列和的通项公式；（2）若，求的表达式4、在数列中，（1）设，证明数列是等差数列（2）求数列的前项和5、数列中，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，求；（3）设， ，是否存在最大的整数，使得对任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由6、求和：二 数学归纳法7.8 数学归纳法 归纳法/完全归纳法/数学归纳法： （1）归纳法：由特殊的事例推出一般结论的推理方法； （2）完全归纳法：逐步考查某个事例的所有可能的情况下，得出一般结论的推理方法； （3）数学归纳法：证明与正整数有关的数学命题的一种有效推理方法 证明当取第一个值（，例如或）时命题成立； 假设当时命题成立，证明当时命题也成立 在完成了上面两个步骤后，就可以断定这个命题对于从开始的所有正整数都成立，这种证明方法叫做数学归纳法一、数学归纳法的第一步：例1 用数学归纳法证明真命题：“凸边形内角和公式是”（1）第一步的值应取_；（2）第一步的值应取_例2 用数学归纳法证明第一步左边_，右边_例3 对某些，用数学归纳法可以证明不等式：成立，第一步验证不等式成立，正确的是_A时， B时，C时， D时，练习7.8（1）1、用数学归纳法证明：“凸边形的对角线有条”第一步是验证_成立2、设，则_3、在比较与大小时，当时，左式=_4、若用数学归纳法证明凸边形各内角和等于，则所取的第一个值应为_5、用数学归纳法证明：，在验证时，左边为_6、为正偶数，表示等式，则表示的等式为_二、数学归纳法的第二步：例1 用数学归纳法证明：（1）则从到时，左边要添的项为_ A B C D（2）则从到时，右边要添的项为_ A B C D例2 用数学归纳法证明：具有某种性质，在假设时，具有某种性质后，需证明当时，_例3 设，则_练习7.8（2）1、用数学归纳法证明时，在假设时等式成立，进一步要证明时的等式为_2、设平面上的条直线，它们交点最多有个，若平面上有条直线，则_3、利用数学归纳法证明：时由到时，左边应添加因式为_4、用数学归纳法证明“”的过程中，第二步假设时等式成立，则当时应得到_5、设，那么_6、设，那么_7、设，则_ A B C D8、用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数为_A B C D9、某个命题与正整数有关，如果当时，该命题成立，那么可推得当时，该命题也成立于是在已知时该命题不成立，那么可推得_A当时，该命题不成立 B当时，该命题成立C当时，该命题不成立 D当时，该命题成立10、与正整数有关的数学命题，如果当时该命题成立，则可推得当时该命题也成立，现得知时命题不成立，那么可推得_A当时，该命题不成立 B当时，该命题不成立C当时，该命题成立 D当时，该命题成立11、若，由到时，的右边增加了_A1项 B项 C项 D项12、下面四个判断中，正确的是_A式子，当时为1B式子，当时为C式子，当时为D设，则13、证明：小明用数学归纳法证明如下：（1）时，左式，右式左式右式（2）假设时，等式成立，当时，左式右式， 根据（1）、（2）可知，对任意，等式均成立，指出小明的解法错误，并给出纠正14、用数学归纳法证明对于正奇数，都能被整除，在假设时结论成立，进一步要对于_时，验证结论也成立15、如果命题对成立，则它对也成立，又若对成立，则下列结论中正确的是_A对所有正整数成立 B对所有正偶数成立C对所有正奇数成立 D对所有大于1的正整数成立16、某数列的通项公式，有，根据这个事实，得出两个结论：（1）该数列前4项都是1，（2）该数列所有项都是1，则_A两个结论都正确 B两个结论都错误C前面结论正确，后面结论错误 D前面结论错误，后面结论错误三、数学归纳法的应用：例1 用数学归纳法证明：例2 用数学归纳法证明：能被6整除例3 求证：三个连续自然数的立方和能被9整除练习7.8（3）1、用数学归纳法证明：2、用数学归纳法证明：3、用数学归纳法证明：当时，4、用数学归纳法证明：5、用数学归纳法证明：能被整除，其中为整数，6、用数学归纳法证明：四、归纳猜想证明： 在用“归纳猜想证明”的方法解题时，归纳是基础，要认真细致，猜想是关键，要谨慎准确，在归纳猜想的过程中，要善于发现：从有效项的关系式，推出更一般的关系式，要具体分析项数的增加所引起的归纳猜测例1 已知，则分别为_例2 观察下列等式：，可见猜想：_例3 平面内有条直线，其中没有两条平行，也没有三条或三条以上过同一点，设条直线将平面分割成区域为，探求，并用数学归纳法证明练习7.8（4）1、数列中，成等差数列，则，分别为_，猜想_2、数列中，分别求出，为_，猜想_3、由下列等式，猜想一般性等式为_4、在数列中，已知，（1）计算：；（2）猜想，并证明三 数列的极限7.9 数列的极限一、数列极限的定义： 一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项无限趋近于一个常数，那么叫做数列的极限或叫做数列收敛于，记作，读作“趋近于无穷大时，的极限等于” ； 注意：存在的充要条件是，且不一定代表公比，所有不需要例1 判断有没有极限，并说明理由例2 判断下列数列是否有极限如果有极限，给出它的极限；如果没有极限，说明理由（1），1，4，；（2），1，1，；（3）常数数列，例3 计算：（1）； （2）； （3）二、分式数列的极限： 极限的运算法则： ；注意：该式只用于有限个数列相加的情况； ； 特别地，如果是常数，那么由可得 例4 已知，求（1）； （2）例5 计算：例6 求出以下数列的极限： （1）； （2）； （3）_ 解析：若分子、分母都是多项式时，该分式数列的极限如下： 三、指数型数列的极限：例7 计算：练习7.9A组1、数列有极限吗？如果有，请求出它的极限值2、请写出若干个符合下列条件的数列极限为0，且数列的每一项都大于0；极限为0，且数列的每一项都小于0；极限为0，且数列的项在正数和负数之间变化3、判断下列数列是否有极限，如果有极限分别写出它们的极限数列，； 数列，4、判断下列数列是否有极限，如果有极限分别写出它们的极限数列，； 数列，5、下列数列中，有极限的是（ ）A1，3，5，7，9， B3，3，3，C， D，6、下列数列中，极限为零的是（ ）A B C D7、数列中，则数列的极限值（ ）A等于0 B等于1 C等于0或1 D不存在8、计算：9、计算_10、计算_11、计算_12、计算_13、下列命题中，正确的是（ ）A当时， B当时，C当时，不存在 D当或时，存在14、若，则实数的取值范围是（ ）A B C DB组1、下列数列中，极限存在的数列是（ ）A BC D2、判断下列数列是否有极限，如果有极限，分别写出它们的极限数列，； 数列，； 数列，；数列，； 数列，； 数列3、下列命题中真命题是（ ）A在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项越来越接近于一个常数，那么叫做数列的极限B有穷数列没有极限，无穷数列一定有极限C若，则数列一定是递增数列D若，则数列一定是递减数列4、设，则满足的最小正整数是（ ）A99 B100 C101 D1025、举出3个极限为的无穷数列的例子6、若，求实数，的值7、求8、已知，求9、计算_10、设，则_11、“，”是“”成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件12、如果，则（ ）A B或 C或 D的值不存在13、已知，求的值14、对于数列，求7.10 无穷等比数列各项的和1、我们把的无穷等比数列前项的和，当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号表示，即2、无限个数的和与有限个数的和从意义上来说是不一样的前者是极限运算，后者是加法运算例1 化下列循环小数为分数：（1）0.2( )9( )； （2）0.43()1()例2 已知无穷等比数列的各项的和是4，求首项的取值范围例3 如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，求所有正方形的面积的和 练习7.101、计算； 计算2、已知无穷等比数列的各项和，公比，求数列的前项和3、计算：4、计算：5、化循环小数为分数：_； _6、无穷等比数列，所有奇数项的和是_7、若实数满足，则无穷数列的和等于_8、数列的各项和存在，则的取值范围是_9、已知，那么_10、已知等比数列的公比，则_11、等比数列的公比为，前项和为，则的值为（ ）A B C D12、无穷等比数