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-矩阵知识点归纳-第 5 页矩阵知识点归纳(一)二阶矩阵与变换1线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy中，由(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换由四个数a，b，c，d排成的正方形数表称为二阶矩阵，其中a，b，c，d称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，或(aij)表示(其中i，j分别为元素aij所在的行和列)2矩阵的乘法行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则为a11a12a11b11a12b21，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律3几种常见的线性变换(1)恒等变换矩阵M；(2)旋转变换R对应的矩阵是M；(3)反射变换要看关于哪条直线对称例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3；(4)伸压变换对应的二阶矩阵M，表示将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，k1，k2均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M，若沿y轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M.(其中k为非零常数)4线性变换的基本性质设向量，规定实数与向量的乘积；设向量，规定向量与的和.(1)设M是一个二阶矩阵，、是平面上的任意两个向量，是一个任意实数，则M()M，M()MM.(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1矩阵的逆矩阵(1)一般地，设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得I，则称变换可逆并且称是的逆变换(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BAABE，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的A的逆矩阵记为A1(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)1B1A1.(5)已知A，B，C为二阶矩阵，且ABAC，若矩阵A存在逆矩阵，则BC.(6)对于二阶可逆矩阵A(adbc0)，它的逆矩阵为A1.2二阶行列式与方程组的解对于关于x，y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)adbc.若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D0时，方程组的解为3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A，那么称为A的一个特征值，称为A的一个属于特征值的一个特征向量(2)特征多项式设是二阶矩阵A的一个特征值，它的一个特征向量为，则A，即也即(*)定义：设A是一个二阶矩阵，R，我们把行列式f()2(ad)adbc称为A的特征多项式(3)矩阵的特征值与特征向量的求法如果是二阶矩阵A的特征值，则一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f()0，此时，将代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解，于是非零向量即为A的属于的一个特征向量所有变换矩阵单位矩阵：，点的变换为伸压变换矩阵：，将原来图形横坐标扩大为原来倍，纵坐标不变，将原来图形横坐标缩小为原来倍，纵坐标不变点的变换为： ，将原来图形纵坐标扩大为原来倍，横坐标不变，将原来图形纵坐标缩小为原来倍，横坐标不变点的变换为反射变换： ：点的变换为 变换前后关于轴对称：点的变换为 变换前后关于轴对称：点的变换为 变换前后关于原点对称：点的变换为 变换前后关于直线对称旋转变换：逆时针：；顺时针： 旋转变化矩阵还可以设为：投影变换：将坐标平面上的点垂直投影到轴上点的变换为：将坐标平面上的点垂直投影到轴上点的变换为：将坐标平面上的点垂直于轴方向投影到上点的变换为：将坐标平面上的点平行于轴方向投影到上点的变换为：将坐标平面上的点垂直于方向投影到上点的变换为切变变换：把平面上的点沿轴方向平移个单位 点的变换为：把平面上的点沿轴方向平移个单位点的变换为