2022年空间向量知识点归纳总结4 .docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 空间向量与立体几何学问点归纳总结一学问要点；1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量；注：（1）向量一般用有向线段表示（2）向量具有平移不变性同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；2. 空间向量的运算；R；定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）uuur OBuuur OAuuur ABa rv buuur ; BAuuur OAuuur OBa rr b;uuur OPa r运算律：加法交换律：abba加法结合律：abca bc数乘安排律：abab运算法就：三角形法就、平行四边形法就、平行六面体法就3. 共线向量；（1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于 b ,记作 a / b；（2）共线向量定理： 空间任意两个向量 a、b（ b 0 ）,a/ b 存在实数 ,使 a b ；（3）三点共线： A、B、C 三点共线 <=> AB AC<=> OC x OA y OB 其中 x y 1a（4）与 a 共线的单位向量为 a4. 共面对量（1）定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量；说明：空间任意的两向量都是共面的；（2）共面对量定理：假如两个向量 a b r rr r r,x y 使 p xa yb；不共线, pr与向量a b r r共面的条件是存在实数（3）四点共面：如A、B、C、P 四点共面 <=>APxAByAC<=>OPxOAyOBz OC其中xyz1 1 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 5. 空间向量基本定理：假如三个向量 a b c r r r不共面,那么对空间任一向量 pr,存在一个唯独的有序实数组 x y z ,使 p r xa r yb rzc r；如三向量 , , ab c r r r不共面,我们把 , a b c r r, r叫做空间的一个基底,a b cr r r叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底；推论：设 O A B C 是不共面的四点,就对空间任一点uuur uuur uuur uuurx y z ,使 OP xOA yOB zOC；6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：P ,都存在唯独的三个有序实数在空间直角坐标系 O xyz 中,对空间任一点 A,存在唯独的有序实数组 , , x y z ,使 OA xi yi zk,有序实数组 , x y z 叫作向量 A在空间直角坐标系 O xyz中的坐标,记作 A x y z , x叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标；注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为 x,-y,-z,关于 xoy 平面的对称点为 x,y,-z.即点关于什么轴 /平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反；在 y 轴上的点设为0,y,0, 在平面 yOz中的点设为 0,y,z（2）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为 1,这个基底叫单位正交基底,r r r用 , , 表示；空间中任一向量 a ix y j z k =（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：r r r r如 a a a a 3 ,b , b b b 1 2 3 ,就 a b a 1 b a 1 2 b a 2 3 b 3 ,r r ra b a 1 b a 2 b a 3 b 3 ,a a 1 , a 2 , a 3 R ,r ra b a b 1 1 a b 2 2 a b 3 3,r ra / b a 1 b a 2 b a 3 b 3 R ,r ra b a b 1 1 a b 2 a b 3 0；uuur如 A x 1 , y z 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 ,就 AB x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1 ；一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标； 定 比 分 点 公 式 ： 如A x y z 1 1 1,B x 2,y 2,z 2,APPB, 就 点 P 坐 标 为2 _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - x 1x 2,y 1zy2,z 1z 2；推导：设P（x,y,z）就111xx ,1yy 1,z 1x 2x ,y 2y ,z 2z ,明显,当 P 为 AB 中点时,P x 12 x 2 , y 12 y 2 , z 12 z 2 ABC中, A（x 1 , y 1 , z 1）B x 2 , y 2 , z 2 , C x 3 , y 3 , z 3 ,三角形重心 P 坐标为 P x 1 x3 2 x 3 , y 1 y2 2 y 3 , z 1 z2 2 z 3 ABC的五心：AB AC内心 P：内切圆的圆心,角平分线的交点；AP （单位向量）AB AC外心 P：外接圆的圆心,中垂线的交点；PA PB PC垂心 P：高的交点：PA PB PA PC PB PC（移项,内积为 0,就垂直）重心 P：中线的交点,三等分点（中位线比）AP 1 AB AC 3中心：正三角形的全部心的合一；r r（4）模长公式：如 a a a a 3 ,b b b b 3 ,r r r 2 2 2 r r r 2 2 2就 | a | a a a 1 a 2 a 3,| b | b b b 1 b 2 b 3（5）夹角公式：cos a b r r| a r a b r r| | b r| a 1 2a a b 1 12 2a a b3 2 2b 1 2 a bb 32 2b 3 2； ABC中 AB . AC 0 <=>A为锐角 AB . AC 0 <=>A为钝角,钝角（6）两点间的距离公式：如 A x 1 , y z ,B x 2 , y 2 , z ,就 | uuurAB | uuurAB 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2,或 d A B x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 27. 空间向量的数量积；（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 a b r r,在空间任取一点 O ,作OA uuura OB r uuurb r, 就 AOB 叫 做 向 量 ar与b r的 夹 角 , 记 作 a b r r； 且 规 定0 a b r r,明显有 a b r rb a r r；如 a b r r,就称 ar与 b r 相互垂直,记作：a b r；23 _精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （2）向量的模： 设 OA uuura r ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 ar的长度或模, 记作： | ar；（3）向量的数量积：已知向量 a b r r,就 | a r | | b r| cos a b r r叫做 a b r r的数量积,记作 a b r r,即 a b r r| | | r b r| cos a b r r；（4）空间向量数量积的性质：r ar br ra b0；|a r2 |a a r r；a e r r|a r|cosa e r r；（5）空间向量数量积运算律： a r b r a b r r a r b r；a b r r a r b rc r a b r ra c r r（安排律）；b a r r（交换律）；不满意乘法结合率：ab cabc 二空间向量与立体几何1线线平行 两线的方向向量平行1-1 线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行 两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直 线与面的法向量平行2-2 面面垂直 两面的法向量垂直3 线线夹角（共面与异面） 0O, 90O 两线的方向向量 n 1n 2 的夹角或夹角的补角,cos cos n ,1 n 23-1 线面夹角 0O, 90O：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP 与面的法向量 n 的夹角,如为锐角角即可,如为钝角,就取其补角；再求其余角,即是线面的夹角. sin cos AP, nO O3-2 面面夹角（二面角） 0 , 180 ：如两面的法向量一进一出,就二面角等于两法向量 n 1n 2 的 夹 角 ； 法 向 量 同 进 同 出 , 就 二 面 角 等 于 法 向 量 的 夹 角 的 补 角 . cos cos n 1, n 2uuur4点面距离 h ：求点 P x 0 , y 0 到平面 的距离： 在平面 上去一点 Q x y ,得向量 PQ ;；4 _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 运算平面的法向量 n ;.hPQn.n4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离【典型例题】1基本运算与基本学问（）BCD,化简以下向量表达式, 标出化简结果的向量；例 1. 已知平行六面体 uuur uuur uuur ABCD uuur uuur A AB BC； AB AD AA uuurAB uuurAD 1CC uuuur； 1 uuurAB uuurAD2 3；uuur AA；MG例 2. 对空间任一点 O和不共线的三点uuur uuur uuur uuurOP xOA yOB zOC（其中 x y zA B C ,问满意向量式：1）的四点P A B C 是否共面？；例 3 已知空间三点 A（0,2,3）,B（ 2,1,6）,C（1,1,5）；uuur uuur求以向量 AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S；如向量 ar分别与向量 uuur uuurAB AC 垂直,且 |ar|3 ,求向量 ar的坐标；2基底法（如何找,转化为基底运算）3坐标法（如何建立空间直角坐标系,找坐标）4几何法5 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 编号 03 晚自习测试； 17,18 题例 4. 如图,在空间四边形OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45o,OAB60o,求 OA与 BC的夹角的余弦值；OA CB说明：由图形知向量的夹角易出错,如uuur uuur OA AC135o易错写成uuur uuur OA AC45o,切记；例 5. 长方体ABCDA B C D 中,ABBC4, E 为A C 与B D 的交点, F 为BC 与B C 的交点,又 AFBE ,求长方体的高BB ；【模拟试题】1. 已知空间四边形 ABCD ,连结 uuur AC BD ,设 uuur uuur M G 分别是式,并标出化简结果向量： （1） AB BC CD；6 BC CD 的中点, 化简以下各表达_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （2）uuur AB1 2uuur BDuuur BC；（3）uuur AG1 2uuur ABuuur AC；2. 已知平行四边形OE uuurkOA OF uuur uuurkOB OG uuur uuur ABCD,从平面 AC 外一点 O引向量；kOC OH uuur uuurkOD uuur ；（1）求证：四点 E F G H 共面；（2）平面 AC / 平面 EG ；3. 如图正方体ABCDA B C D 中,B E 1D F 11A B ,求BE 与DF 所成角的余弦；45. 已知平行六面体 ABCD A B C D 中,AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90 o ,BAA DAA 60 o ,求 AC 的长；7 _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 参考答案 1. 解：如图,uuur（1） ABuuur（2）ABuuur BCuuur CDuuur ACuuur CDuuur AD；uuur BD；uuur ACuuur ABuuur AD,1 uuur BD 2 uuuur MG1 uuur AB 2uuur BCuuur AB1 2uuur BC12uuur AB（3）uuuur BMuuur AGuuur AG；uuur AC uuur AGuuuur AMuuuur ；2. 解：（1）证明：四边形 uuur uuur uuurEG OG OE,uuur uuur uuur uuurk OC k OA k OC OA uuur uuur uuur uuur uuurk OB OA OD OA OFuuur uuurEF EHABCD是平行四边形,uuur k AC,uuur k AC uuur OEuuurk ABuuuur uuurOH OEuuur ADE F G H 共面；uuur uuur（2）解：EF OFuuur OEuuur k OBuuur OAuuur k ABuuur,又EGEF/AB EG/AC ；Oxyz,所以,平面AC/平面 EG ；3. 解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系就 B 1,1,0,E 1 1, 3 ,1,4uuuurBE 1 0, 1,1,uuuurDF 14uuuurBE 1 uuuurDF 1 17,4uuuur uuuur 1 1BE 1 DF 1 0 0 4 4D0,0,0,F 10,1,1,40,1,1,41 115；168 _精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - cosuuuur uuuur BE DF 1151715；1617174. 分析： Q uuurAB 4 2, 1,3, 4uuurAC 1, 3,2, cos BAC uuur uuur uuurAB AC uuur 1| AB | AC | 2BAC 60° ,S | uuurAB | uuurAC | sin 60 o 7 3设 ar（x,y,z）,就 a r uuurAB 2 x y 3 z 0,r uuur r 2 2 2a AC x 3 y 2 z 0,| a | 3 x y z 3解得 xyz1 或 xyz1, ar（1,1,1）或 ar（ 1, 1,1）；5. 解：| uuuurAC | 2 uuurAB uuurAD uuurAA 2uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur| AB | | AD | | AA | 2 AB AD 2 AB AA 2 AD AA4 23 25 2uuuur 2 4 3 cos90 o2 4 5 cos60 o2 3 5 cos60 o 16 9 25 0 20 15 85所以, | AC | 85；9 _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 9 页