测量误差的基本理论 .ppt

测量误差的基本理论测量误差的基本理论 现在学习的是第1页，共51页6-1 6-1 概述概述一、测量误差的概念一、测量误差的概念人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差。这人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差。这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测测量误差。量误差。二、观测与观测值的分类二、观测与观测值的分类1 1同精度观测和不同精度观测同精度观测和不同精度观测在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度同精度观测值观测值或或等精度观测值等精度观测值。反之，则称为不同精度观测，其观。反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。测值称为不同（不等）精度观测值。现在学习的是第2页，共51页6-1 6-1 概述概述二、观测与观测值的分类二、观测与观测值的分类2 2直接观测和间接观测直接观测和间接观测为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为知量本身，称为直接观测直接观测，观测值称为，观测值称为直接观测值直接观测值。通过被。通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观间接观测测，观测值称为，观测值称为间接观测值间接观测值。3 3独立观测和非独立观测独立观测和非独立观测各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独独立观测立观测，观测值称为，观测值称为独立观测值独立观测值。若各观测量之间存在一定。若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测非独立观测，观测值称为，观测值称为非独立观测值非独立观测值。现在学习的是第3页，共51页6-1 6-1 概述概述v三、测量误差及其来源三、测量误差及其来源1 1测量误差的定义测量误差的定义真值真值：客观存在的值“X”（通常不知道）真误差：真值与观测值之差，即：真误差真误差=真值真值-观测值观测值 2 2测量误差的反映测量误差的反映测量误差是通过“多余观测多余观测”产生的差异反映出来的。3 3测量误差的来源测量误差的来源（1）测量仪器：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）观测者：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界环境条件：温度变化、风、大气折光等。现在学习的是第4页，共51页6-1 6-1 概述概述四、测量误差的种类四、测量误差的种类按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差两类。两类。1 1系统误差系统误差在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。v 系统误差可以消除或减弱。系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校)例：误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)现在学习的是第5页，共51页6-1 6-1 概述概述四、测量误差的种类四、测量误差的种类2 2偶然误差偶然误差v 在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。，这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。v 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差产生误差 。现在学习的是第6页，共51页6-1 6-1 概述概述四、测量误差的种类四、测量误差的种类v 几个概念几个概念:准确度：准确度：(测量成果与真值的差异，取决于系统误差的大小）测量成果与真值的差异，取决于系统误差的大小）精（密）度：精（密）度：(观测值之间的离散程度，取决于偶然误差的大小）观测值之间的离散程度，取决于偶然误差的大小）最或是值：最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）；（最接近真值的估值，最可靠值）；测量平差测量平差：（求解最或是值并评定精度）。：（求解最或是值并评定精度）。现在学习的是第7页，共51页6-1 6-1 概述概述五、偶然误差的特性及其概率密度函数五、偶然误差的特性及其概率密度函数例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观测了测了358358次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个内角观测值之和一般不等于内角观测值之和一般不等于180180，按下式算得三角形各次，按下式算得三角形各次观测的真误差观测的真误差 i i，然后对三角形闭合差然后对三角形闭合差 i i进行分析进行分析。v 分析结果表明分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。而且，观测次数越多，规律性越明显。现在学习的是第8页，共51页6-1 6-1 概述概述d误差区间负误差正误差个数相对个数个数相对个数0.00.2450.126460.1280.20.4400.112410.1150.40.6330.092330.0920.60.8230.064210.0590.81.0170.047160.0451.01.2130.036130.0361.21.460.01750.0141.41.640.01120.0061.6以上00.00000.000总和1810.5051770.495现在学习的是第9页，共51页6-1 6-1 概述概述五、偶然误差的特性及其概率密度函数五、偶然误差的特性及其概率密度函数 偶然误差的四个特性：偶然误差的四个特性：（1 1）有界性：有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是有界的；的限度，即偶然误差是有界的；（2 2）单峰性：单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；（3 3）对称性：对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（4 4）补偿性：补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即 0limlim21nnnnn现在学习的是第10页，共51页6-1 6-1 概述概述v五、偶然误差的特性及其概率密度函数五、偶然误差的特性及其概率密度函数v 用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：v 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率间的频率k/nk/n，而所有条形的总面积等于，而所有条形的总面积等于1 1。v 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y y轴轴。v 各条形顶边中点连线经光滑后各条形顶边中点连线经光滑后 的曲线形状，表现出偶然误差的曲线形状，表现出偶然误差 的普遍规律。的普遍规律。现在学习的是第11页，共51页6-1 6-1 概述概述v五、偶然误差的特性及其概率密度函数五、偶然误差的特性及其概率密度函数v 用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：v 当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多(n(n)、误差区间误差区间d d 无限缩小无限缩小(d d 0)0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,这条曲线称为这条曲线称为“正正态分布曲线态分布曲线”，又称为，又称为“高斯误差分布曲线高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。所以偶然误差具有正态分布的特性。现在学习的是第12页，共51页6-1 6-1 概述概述v五、偶然误差的特性及其概率密度函数五、偶然误差的特性及其概率密度函数 偶然误差处理方式偶然误差处理方式 值）靠值，似真值，最或是）求算术平均值（最可（）多余观测（提高仪器等级32)1(现在学习的是第13页，共51页6-2 6-2 衡量精度的指标衡量精度的指标 一、精度一、精度 精确度精确度是准确度与精密度的总称。是准确度与精密度的总称。对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值，用精密对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值，用精密度来评价该组观测值质量的优劣。精密度简称精度。度来评价该组观测值质量的优劣。精密度简称精度。二、中误差二、中误差某观测值真值某观测值真值X X已知；（设在相同观测条件下，对任一个未已知；（设在相同观测条件下，对任一个未知量进行了知量进行了n n次观测，其观测值分别为次观测，其观测值分别为 、，n n个观测值个观测值的真误差的真误差 、。为了避免正负误差相抵消和明显地反。为了避免正负误差相抵消和明显地反映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即1l2lnl12n现在学习的是第14页，共51页6-2 6-2 衡量精度的指标衡量精度的指标 二、中误差二、中误差某观测值真值某观测值真值X X已知；（设在相同观测条件下，对任一个未已知；（设在相同观测条件下，对任一个未知量进行了知量进行了n n次观测，其观测值分别为次观测，其观测值分别为 、，n n个观测值个观测值的真误差的真误差 、。为了避免正负误差相抵消和明显地反。为了避免正负误差相抵消和明显地反映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即m m称为中误差，称为中误差，m m小精度高；小精度高；m m大精度低。大精度低。n n观测值个数观测值个数 真误差真误差nnmn222211l2lnl12n22221.n),.2,1(niLXii现在学习的是第15页，共51页6-2 6-2 衡量精度的指标衡量精度的指标二、中误差二、中误差例例:设有甲、乙两个小组，对三角形的内角和进行了设有甲、乙两个小组，对三角形的内角和进行了9 9次观次观测，分别求得其真误差为：测，分别求得其真误差为：甲组：甲组：乙组：乙组：试比较这两组观测值的中误差。试比较这两组观测值的中误差。解：解：说明乙组的观测精度比甲组高。说明乙组的观测精度比甲组高。783476865 ,357474456 ,2.69)7()8()3()4()7()6()8()6()5(222222222甲m2.59)3()5()7()4()7()4()4()5()6(222222222乙m乙甲mm现在学习的是第16页，共51页6-2 6-2 衡量精度的指标衡量精度的指标三、容许误差三、容许误差 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d d 内的概率为：内的概率为：误差出现在误差出现在K K倍中误差区间内的倍中误差区间内的概率为：概率为：将将K=1K=1、2 2、3 3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|P(|m)=0.683=68.3 m)=0.683=68.3；P(|P(|2m)=0.954=95.4 2m)=0.954=95.4 P(|P(|3m)=0.997=99.7 3m)=0.997=99.7 demdfPm22221)()(kmkmmdemkmP22221)(现在学习的是第17页，共51页6-2 6-2 衡量精度的指标衡量精度的指标三、容许误差三、容许误差 将将K=1K=1、2 2、3 3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|P(|m)=0.683=68.3 m)=0.683=68.3；P(|P(|2m)=0.954=95.4 2m)=0.954=95.4 P(|P(|3m)=0.997=99.7 3m)=0.997=99.7 测量中，一般取测量中，一般取两倍中误差两倍中误差(2m)(2m)作为容许误差，也称为作为容许误差，也称为限差限差：|容容|=3|m|=3|m|或或|容容|=2|m|=2|m现在学习的是第18页，共51页6-2 6-2 衡量精度的指标衡量精度的指标v 四、相对误差四、相对误差(相对中误差相对中误差)v 中误差绝对值与观测量之比。中误差绝对值与观测量之比。v 用分子为用分子为1 1的分数表示。的分数表示。v 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。例例：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S S1 1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m；S S2 2=200=200米米,m,m2 2=0.03m=0.03m。计算。计算S S1 1、S S2 2的相对误差。的相对误差。解：解：K K2 2KK1 1，所以距离，所以距离S S2 2精度较高。精度较高。500011000201mmK.660012000302mmK.现在学习的是第19页，共51页6-3 6-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差一、算术平均值一、算术平均值设在相同的观测条件下，对某未知量未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为x：nlnlllxn21现在学习的是第20页，共51页6-3 6-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v一、算术平均值一、算术平均值v证明算术平均值为该量的最或是值：设该量的真值为X，则各观测值的真误差为：v 当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真 值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。nnlXlXlX2211 nlXn 0nnlim nlXn limXxnlim0v现在学习的是第21页，共51页6-3 6-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v二、观测值改正数二、观测值改正数未知量的最或是值未知量的最或是值x x与观测值与观测值l li i之差称为观测值改正之差称为观测值改正数数v vi i，即，即nnlxvlxvlxv2211lnxvnlxnv0v现在学习的是第22页，共51页6-3 6-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v三、由观测值改正数计算观测值中误差三、由观测值改正数计算观测值中误差nnlXlXlX2211)()()(xXvxXvxXvnn2211nnlxvlxvlxv2211)()(vxXxXnvv222)(xXnvv2)(xXnvvn现在学习的是第23页，共51页6-3 6-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v三、由观测值改正数计算观测值中误差三、由观测值改正数计算观测值中误差2)(xXnvvn222221)()(lnXnnlXxXnnnn131212222122221()(nnnn131212222nnvvnnmnvvm221nvvm现在学习的是第24页，共51页6-3 6-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v四、算术平均值中误差四、算术平均值中误差算术平均值的中误差算术平均值的中误差MxMx，可由下式计算，可由下式计算:nmMx)1(nnvvMx现在学习的是第25页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v一、误差传播定律一、误差传播定律v定义：表述观测值函数的中误差与观测值中误差表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。之间关系的定律称为误差传播定律。?如何由观测值精度评定观测值函数精度现在学习的是第26页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v一、误差传播定律一、误差传播定律v一般函数的中误差一般函数的中误差设有函数：),(21nxxxFZ(a)为独立观测值ix设 有真误差 ，函数 也产生真误差ixixZ对(a)全微分：由于 和 是一个很小的量，可代替上式中的 和 ：ixidxdznndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)nnxxFxxFxxF2211(c)现在学习的是第27页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v一、误差传播定律一、误差传播定律v一般函数的中误差一般函数的中误差令 的系数为 ，(c)式为：ixiixFf)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对Z观测了k次，有k个式(d)现在学习的是第28页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v一、误差传播定律一、误差传播定律v一般函数的中误差一般函数的中误差jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)对K个(e)式取总和：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122现在学习的是第29页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v一、误差传播定律一、误差传播定律u一般函数的中误差一般函数的中误差0limnxxjin由偶然误差的抵偿性知：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122KxfKxfKxfKnn2222222121222222221212xnnxxzmfmfmfm(h)现在学习的是第30页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v一、误差传播定律一、误差传播定律v一般函数的中误差一般函数的中误差22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-10)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。现在学习的是第31页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v一、误差传播定律一、误差传播定律v一般函数的中误差一般函数的中误差求观测值函数中误差的步骤求观测值函数中误差的步骤：v1.1.列出函数式；列出函数式；v2.2.对函数式求全微分；对函数式求全微分；v3.3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。现在学习的是第32页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v一、误差传播定律一、误差传播定律v一般函数的中误差一般函数的中误差 中误差传播公式中误差传播公式 AxZ Ammz21xxZnxxxZ212221mmmz22221nzmmmmnnxAxAxAZ22112222222121nnzmAmAmAm函数名称函数式中误差传播公式倍数函数和差函数线性函数现在学习的是第33页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v二、误差传播定律的应用二、误差传播定律的应用例例1 1：在：在1 1：500500地形图上量得某两点间的距离，其地形图上量得某两点间的距离，其中误差，中误差，求该两点间的地面水平距离求该两点间的地面水平距离D D的值及其中误差。的值及其中误差。解解:mmmd20.mdD2511723450500500.mmmdD10000020500500.现在学习的是第34页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v二、误差传播定律的应用二、误差传播定律的应用例例2 2：设对某一个三角形观测了其中设对某一个三角形观测了其中，两个角，两个角，测角中误差分别为，测角中误差分别为，试求角，试求角的中误差。的中误差。解：解：53.am26.m1801726532222.).().(mmm现在学习的是第35页，共51页6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律v二、误差传播定律的应用二、误差传播定律的应用例例3 3：试推导出算术平均值中误差的公式试推导出算术平均值中误差的公式：解：解：nlnlnlnnlx11121kn1nklklklx21nmmm21 1 2222222222212nmmmmnmkmkmkMn(nmM现在学习的是第36页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v一、权一、权v定义：定义：在计算不同精度观测值的最或然值时，精在计算不同精度观测值的最或然值时，精度高的观测值在其中占的度高的观测值在其中占的“比重比重”大一些，而精度大一些，而精度低低的观测值在其中占的的观测值在其中占的“比重比重”小一些。这里，这个小一些。这里，这个“比比重重”就反映了观测的精度。就反映了观测的精度。“比重比重”可以用数值表可以用数值表示，示，在测量工作中，称这个数值为观测值的在测量工作中，称这个数值为观测值的“权权”。v定义公式：定义公式：设以设以P Pi i表示观测值表示观测值l li i的权，则权的定的权，则权的定义公式为：义公式为：),(nimPii2122现在学习的是第37页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v一、权一、权是是权等于权等于1 1的观测值的中误差，通常称等于的观测值的中误差，通常称等于1 1的的权为权为单位权单位权，权为，权为1 1的观测值为的观测值为单位权观测值单位权观测值。为单位权观测值的中误差，简称为为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差单位权中误差。权与中误差的平方成反比，即精度愈高，权愈大权与中误差的平方成反比，即精度愈高，权愈大 。),(nimPii2122),(nimPii21221222iPm现在学习的是第38页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v二、权的性质二、权的性质（1 1）权是相对性数值，表示观测值的相对精度。）权是相对性数值，表示观测值的相对精度。（2 2）权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大）权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值越可靠，精度越高。，表示观测值越可靠，精度越高。（3 3）权始终取正号。）权始终取正号。（4 4）对于单一观测值而言，权无意义。）对于单一观测值而言，权无意义。（5 5）权的大小随的不同而不同，但权之间的比例关）权的大小随的不同而不同，但权之间的比例关系不变。系不变。（6 6）在同一个问题中只能选定一个）在同一个问题中只能选定一个l li i值，不能同时值，不能同时选用几个不同的选用几个不同的值，否则就破坏了权之间的比值，否则就破坏了权之间的比例关系。例关系。现在学习的是第39页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v三、测量中常用的确权方法三、测量中常用的确权方法1 1同精度观测值的算术平均值的权同精度观测值的算术平均值的权v设一次观测的中误差为设一次观测的中误差为m m，n n次同精度观测值的算次同精度观测值的算术平均值的中误差术平均值的中误差 。则一次观测值的权。则一次观测值的权为：为：nmM/1222mmmP算术平均值的权为：nnmmnmPL222现在学习的是第40页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v三、测量中常用的确权方法三、测量中常用的确权方法1 1同精度观测值的算术平均值的权同精度观测值的算术平均值的权v对于中误差为对于中误差为m mi i的观测值（或观测值的函数），的观测值（或观测值的函数），其权其权P Pi i为为:则相应的中误差的另一表示式可写为则相应的中误差的另一表示式可写为:22iimPiiPm1现在学习的是第41页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v三、测量中常用的确权方法三、测量中常用的确权方法2 2权在水准测量中的应用权在水准测量中的应用设每一测站观测高差的精度相同，其中误差为设每一测站观测高差的精度相同，其中误差为m m站站，则不同测站数的水准路线观测高差的中误差为：则不同测站数的水准路线观测高差的中误差为：取取c c个测站的高差中误差为单位权中误差，即个测站的高差中误差为单位权中误差，即则各水准路线的权为则各水准路线的权为),(niNmmii21站站mciiiNcmP22iiLcP 现在学习的是第42页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v三、测量中常用的确权方法三、测量中常用的确权方法3 3权在距离丈量工作中的应用权在距离丈量工作中的应用设单位长度（一公里）的丈量中误差为设单位长度（一公里）的丈量中误差为m m，则长度为，则长度为s s公里的丈量中误差为公里的丈量中误差为 。取长度为取长度为c c公里的丈量中误差为单位权中误差，即，公里的丈量中误差为单位权中误差，即，则得距离丈量的权为：则得距离丈量的权为：smmscmscmPsi22现在学习的是第43页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v四、加权平均值及中误差四、加权平均值及中误差1 1加权平均值加权平均值设对某未知量进行了设对某未知量进行了n n次不同精度观测，观测值次不同精度观测，观测值为为L L1 1、L L2 2、L Ln n，其相应权为，其相应权为P P1 1、P P2 2、P Pn n。iipm22nmmxnnpnnnppplllLplllLplllLn)()(2)(12)2()2(2)2(121)1()1(2)1(1121现在学习的是第44页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v四、加权平均值及中误差四、加权平均值及中误差1 1加权平均值加权平均值看看p129p129页例页例6-8 6-8 nnpnnppppplllllllllxn21)()(2)(1)2()2(2)2(1)2()1(2)1(121ppLpppLpLpLpxnnn212211现在学习的是第45页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v四、加权平均值及中误差四、加权平均值及中误差2.2.加权平均值中误差加权平均值中误差nnlpplpplpppplx221122222222212212nnxmppmppmppmiipm22现在学习的是第46页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v四、加权平均值及中误差四、加权平均值及中误差2.2.加权平均值中误差加权平均值中误差ppppppppppppppppmnnnx1 22222122222222212221pmx22iimpppx现在学习的是第47页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v四、加权平均值及中误差四、加权平均值及中误差3.3.单位权观测值中误差单位权观测值中误差nnnmPmPmP222222112PmmmPmPmPnnn22222112nPmmnP1nPvv 1nPPvvmx现在学习的是第48页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v五、权倒数传播定律五、权倒数传播定律v观测量的权与观测量函数的权之间的函数关系观测量的权与观测量函数的权之间的函数关系设有一般函数设有一般函数 ，其中，其中为独立观测量。设各观测值的中误差及权分别为为独立观测量。设各观测值的中误差及权分别为m m1 1、m m2 2、m mn n和和p p1 1、p p2 2、p pn n。由一般函数的中误差。由一般函数的中误差传传播定律表达式可知，有：播定律表达式可知，有：),(nxxxfY21nxxx,2122222221212nnymxfmxfmxfm现在学习的是第49页，共51页6-5 6-5 权及加权平均值权及加权平均值v五、权倒数传播定律五、权倒数传播定律v观测量的权与观测量函数的权之间的函数关系观测量的权与观测量函数的权之间的函数关系nnypxfpxfpxfp22222212212nnypxfpxfpxfp11112222121现在学习的是第50页，共51页第六章第六章 教学内容回顾教学内容回顾v1.1.概述概述v2.2.衡量精度的指标衡量精度的指标v3.3.算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差v4.4.误差传播定律误差传播定律v5.5.权及加权平均值权及加权平均值现在学习的是第51页，共51页