福建省福州市2021-2022学年八年级下学期期末质量抽测数学试卷(pdf版含答案).pdf

福州市福州市 2021-20222021-2022 学年第二学期期末质量抽测学年第二学期期末质量抽测八年级数学试卷八年级数学试卷（考试时间：（考试时间：120120 分钟分钟满分：满分：150150 分）分）一选择题（共一选择题（共 1010 小题，满分小题，满分 4040 分，每小题分，每小题 4 4 分）分）1（4 分）要使根式有意义，x的取值应满足（）Ax0Bx2Cx2Dx22（4 分）以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（）A1，1，B1，C，2，D3（4 分）下列各式中，化简后能与合并的是（）ABCD4（4 分）以下各组数据为三边的三角形中，是直角三角形的是（）ABCD5（4 分）如图，在 RtABC中，BAC90，D、E、F分别是三边的中点，AF5，则DE的长为（）A2.5B4C5D106（4 分）在平面直角坐标系中，点P（4，3）到原点的距离是（）A3B4C5D7（4 分）一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶 则汽车行驶路程y（千米）与时间x（小时）的函数图象大致是（）ABCD8（4 分）一组数据：201、200、199、202、200，分别减去 200，得到另一组数据：1、0、1、2、0，其中判断错误的是（）A前一组数据的中位数是 200B前一组数据的众数是 200C后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去 200D后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去 2009（4 分）如图，在菱形ABCD中，A60，点E，F分别在边AB，BC上，AEBF2，DEF的周长为，则AD的长为（）ABCD10（4 分）已知直线 l1：ykx+b 与直线 l2：yx+m 都经过 C（，），直线 l1交 y 轴于点 B（0，4），交 x 轴于点 A，直线 l2交 y 轴于点 D，P 为 y 轴上任意一点，连接 PA、PC，有以下说法：方程组的解为；BCD 为直角三角形；SABD3；当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为（0，1）其中正确的说法个数有（）A1 个B2 个C3 个D4 个二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分）11（4 分）若代数式有意义，则 x 的取值范围为12（4 分）直角三角形的两直角边长分别为 6 和 8，则斜边中线的长是13（4 分）如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 C 的坐标是（3，2），则点 A 的坐标是14（4 分）甲乙两人六次参加射击训练的成绩（单位：环）分别如下：甲：7，7，8，8，9，9；乙：6，8，8，8，8，10 则甲乙两人中射击成绩更稳定的是15（4 分）如图，在ABCD 中，点 E，F 均在 AD 边上，BE 平分ABC，CF 平分BCD，如果 BE8，CF6，EF2，那么ABCD 的周长等于16（4 分）如图，平面直角坐标系中，已知直线 yx 上一点 P（1，1），C 为 y 轴上一点，连接 PC，以 PC 为边做等腰直角三角形 PCD，CPD90，PCPD，过点 D 作线段 ABx 轴，垂足为 B，直线 AB 与直线 yx 交于点 A，且BD2AD，连接 CD，直线 CD 与直线 yx 交于点 Q，则 Q 点的坐标是三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 86 分）分）17（6 分）计算：18（8 分）解方程：（1）x（x2）+x20；（2）x26x+8219（8 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，四个顶点都在格点上，图中每个小正方形的边长均为 1，现要在图中建立平面直角坐标系 xOy，使得点 A 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，4）（1）正方形 ABCD 的面积为（2）在图中画出符合题意的坐标系，并写出点 B，D 的坐标；（3）以 A 为圆心，AB 长为半径画弧，该弧与 x 轴的负半轴相交于点 E，画出点 E 的位置，并求出点 E 的坐标20（8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DEAC，CEBD 交于点 E求证：四边形 CEDO 是菱形21（8 分）关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根为 1，求 m 的值；22（12 分）如图，直线 y2x+m 与 x 轴交于点 A（3，0），直线 yx+n 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，并与直线 y2x+m 相交于点 D，点 A 在点 B 左边且 AB6（1）求点 D 的坐标；（2）求出四边形 AOCD 的面积；（3）若 E 为 x 轴上一点，且ACE 为等腰三角形，求出点 E 的坐标23（10 分）2022 年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品现有以下两款：已知购买 3 个冰墩墩和 2 个雪容融需要 560 元；购买 1 个冰墩墩和 3 个雪容融需要 420 元；（1）请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？（2）北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天 4 个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配 24000 个商品，拟租用甲、乙两种车共 6 辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为 400 元可装载 4500 个商品，每辆乙种车的租金为 280 元可装载 3000 个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用24（12 分）（1）正方形 ABCD，E、F 分别在边 BC、CD 上（不与端点重合），EAF45，EF 与 AC 交于点 G如图（i），若 AC 平分EAF，直接写出线段 EF，BE，DF 之间等量关系；如图（），若 AC 不平分EAF，中线段 EF，BE，DF 之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由（2）如图（），矩形 ABCD，AB4，AD8点 M、N 分别在边 CD、BC 上，AN2，MAN45，求 AM的长度25（14 分）（1）如图 1，等腰 RtABC 中，ACB90，CBCA，直线 ED 经过点 C，过点 A 作 ADED 于点 D，过点 B 作 BEED 于点 E，求证：BECCDA应用图 1 的数学模型解决下列问题：（2）如图 2，已知直线 l1：yx+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将直线 l1绕点 A 逆时针旋转 45至直线 l2；求直线 l2的函数表达式；（3）如图 3，平面直角坐标系内有一点 B（3，4），过点 B 作 BAx 轴于点 A、BC轴于点 C，点 P 是线段 AB 上的动点，点 D 是直线 y2x+1 上的动点且在第四象限内若CPD 为等腰直角三角形，请直接写出点 D 的坐标福州市福州市 2021-2022 学年第二学期期末质量抽测学年第二学期期末质量抽测参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分）1（4 分）要使根式有意义，x 的取值应满足（）Ax0Bx2Cx2Dx2【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解【解答】解：根据题意得，x+20，解得 x2故选：C【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数2（4 分）以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（）A1，1，B1，C，2，D【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可【解答】解：A、12+12（）2，能构成直角三角形，故不符合题意；B、12+（）2（）2，能构成直角三角形，故不符合题意；C、（）2+22（）2，不能构成直角三角形，故符合题意；D、（）2+22（）2，能构成直角三角形，故不符合题意故选：C【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形3（4 分）下列各式中，化简后能与合并的是（）ABCD【分析】根据（a0，b0），（a0，b0）化简二次根式，看被开方数是否是 2 即可得出答案【解答】解：A 选项，原式2，与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；B 选项，原式2，与是同类二次根式，可以合并，故该选项符合题意；C 选项，原式，与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；D 选项，原式3，与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；故选：B【点评】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握（a0，b0），（a0，b0）是解题的关键4（4 分）以下各组数据为三边的三角形中，是直角三角形的是（）ABCD【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可【解答】解：A、（）2+（）2（）2，故不是直角三角形，故选项错误，不符合题意；B、（）2+（）2（）2，故是直角三角形，故选项正确，符合题意；C、（）2+5262，故不是直角三角形，故选项错误，不符合题意；D、（）2+（）2（）2，故不是直角三角形，故选项错误，不符合题意故选：B【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断5（4 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，D、E、F 分别是三边的中点，AF5，则DE 的长为（）A2.5B4C5D10【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出 BC，再根据三角形中位线定理解答即可【解答】解：在 RtABC 中，BAC90，点 F 是斜边 BC 的中点，则 BC2AF，AF5，BC10，D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC5，故选：C【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键6（4 分）在平面直角坐标系中，点 P（4，3）到原点的距离是（）A3B4C5D【分析】根据勾股定理可求点 P（4，3）到原点的距离【解答】解：点 P（4，3）到原点的距离为，故选：C【点评】考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键7（4 分）一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶则汽车行驶路程 y（千米）与时间 x（小时）的函数图象大致是（）ABCD【分析】根据匀速直线运动的路程、时间图象是一条过原点的斜线，修车时没有运动，所以修车时的路程保持不变是一条平行于横轴的线段，修车后为了赶时间，加大速度后再做匀速直线运动，其速度比原来变大，斜线的倾角变大，即可得出答案【解答】解：开始以正常速度匀速行驶，正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点O 的斜线，修车时没有运动，所以修车时的路程保持不变是一条平行于横轴的线段，修车后为了赶时间，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，此时的路程、时间图象仍是一条斜线，只是斜线的倾角变大因此选项 A、B、D 都不符合要求故选：C【点评】此题考查了函数的图象，本题的解题关键是知道匀速直线运动的路程、时间与图象的特点，要能把实际问题转化成数学问题8（4 分）一组数据：201、200、199、202、200，分别减去 200，得到另一组数据：1、0、1、2、0，其中判断错误的是（）A前一组数据的中位数是 200B前一组数据的众数是 200C后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去 200D后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去 200【分析】由中位数、众数、平均数及方差的意义逐一判断可得【解答】解：A前一组数据的中位数是 200，正确，此选项不符合题意；B前一组数据的众数是 200，正确，此选项不符合题意；C后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去 200，正确，此选项不符合题意；D后一组数据的方差等于前一组数据的方差，此选项符合题意；故选：D【点评】本题主要考查方差、中位数、众数、平均数，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的意义9（4 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，AEBF2，DEF 的周长为，则 AD 的长为（）ABCD【分析】连接 BD，证DBEDCF（SAS），得 DEDF，EDBFDC，再证DEF是等边三角形，得 DEDFEF，过点 D 作 DMAB 于 M，设 ADx（x0），则 AMx，DMx，MEAEAM2x，然后在 RtDME 中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：如图，连接 BD，四边形 ABCD 是菱形，ABBCCD，CA60，ADBC，BCD 是等边三角形，ABC180A120，BDCDBC60，BDCD，DBEABCDBC60，DBEC，AEBF2，ABAEBCBF，即 BECF，在DBE 和DCF 中，DBEDCF（SAS），DEDF，EDBFDC，EDB+BDFFDC+BDFBDC60，DEF 是等边三角形，DEDFEF，DEF 的周长为 3，DE，过点 D 作 DMAB 于 M，设 ADx（x0），则 AMx，DMADsin60 x，MEAEAM2x，在 RtDME 中，由勾股定理得：（x）2+（2x）2（）2，整理得：x22x20，解得：x1+或 x1（舍去），AD+1，故选：C【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键10（4 分）已知直线 l1：ykx+b 与直线 l2：yx+m 都经过 C（，），直线 l1交y 轴于点 B（0，4），交 x 轴于点 A，直线 l2交 y 轴于点 D，P 为 y 轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：方程组的解为；BCD 为直角三角形；SABD3；当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为（0，1）其中正确的说法个数有（）A1 个B2 个C3 个D4 个【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为1，可知两直线互相垂直；求得 BD 和 AO 的长，根据三角形面积计算公式，即可得到ABD 的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为（0，1）【解答】解：直线 l1：ykx+b 与直线 l2：yx+m 都经过 C（，），方程组的解为，故正确；把 B（0，4），C（，）代入直线 l1：ykx+b，可得，解得，直线 l1：y2x+4，又直线 l2：yx+m，直线 l1与直线 l2互相垂直，即BCD90，BCD 为直角三角形，故正确；把 C（，）代入直线 l2：yx+m，可得 m1，yx+1 中，令 x0，则 y1，D（0，1），BD413，在直线 l1：y2x+4 中，令 y0，则 x2，A（2，0），AO2，SABD323，故正确；点 A 关于 y 轴对称的点为 A（2，0），设过点 C，A的直线为 yax+n，则，解得，yx+1，令 x0，则 y1，当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为（0，1），故正确故选：D【点评】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分）11（4 分）若代数式有意义，则 x 的取值范围为x2 且 x3【分析】根据分式的分母不为零（x30）、二次根式的被开方数是非负数（x20）来解答【解答】解：根据题意，得x20，且 x30，解得，x2 且 x3；故答案是：x2 且 x3【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为 012（4 分）直角三角形的两直角边长分别为 6 和 8，则斜边中线的长是5【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题【解答】解：已知直角三角形的两直角边为 6、8，则斜边长为10，故斜边的中线长为105，故答案为 5【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键13（4 分）如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 C 的坐标是（3，2），则点 A 的坐标是（2，3）【分析】作 ADy 轴于点 D，CEx 轴于点 E，先证明AODCOE，因为 C（3，2），所以 ODOE3，ADCE2，再根据点 A 在第二象限求出点 A 的坐标【解答】解：如图，作 ADy 轴于点 D，CEx 轴于点 E，则ADOCEO90，四边形 OABC 是正方形，AOCDOE90，OAOC，AODCOE90COD，在AOD 和COE 中，AODCOE（AAS），C（3，2），ODOE3，ADCE2，点 A 在第二象限，A（2，3），故答案为：（2，3）【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定、图形与坐标等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键14（4 分）甲乙两人六次参加射击训练的成绩（单位：环）分别如下：甲：7，7，8，8，9，9；乙：6，8，8，8，8，10则甲乙两人中射击成绩更稳定的是甲【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的即可【解答】解：（7+7+8+8+9+9）8（环），（6+8+8+8+8+10）8（环），s2甲2（78）2+2（88）2+2（98）2，s2乙（68）2+4（88）2+（108）2，s2甲s2乙，甲乙两人中射击成绩更稳定的是甲故答案为：甲【点评】本题考查方差的定义：一般地设 n 个数据，x1，x2，xn的平均数为，则方差S2（x1）2+（x2）2+（xn）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立15（4 分）如图，在ABCD 中，点 E，F 均在 AD 边上，BE 平分ABC，CF 平分BCD，如果 BE8，CF6，EF2，那么ABCD 的周长等于26【分析】将 CF 平移至 PE 的位置，可求出 BC 的长度，进而通过推导可知 ABAE 且 DCDF，即 AEDF，进而可求出 AB 的长度【解答】解：如图，延长 BC 至点 P，使得 CPEF2，EFCP，四边形 EFCP 为平行四边形，EPCF6，EPCF，BE 平分ABC，CF 平分BCD，EBC+FCBABC+DCB90，CFBE，PEBE，BP10，BC8，ABEEBC，EBCAEB，ABEAEB，ABAE，同理可得：CDDF，AEDF，AD+EFAE+DF，AEDF5，ABCD5，ABCD 的周长等于 2（5+8）26【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是将 CF 平移至 PE 的辅助线做法16（4 分）如图，平面直角坐标系中，已知直线 yx 上一点 P（1，1），C 为 y 轴上一点，连接 PC，以 PC 为边做等腰直角三角形 PCD，CPD90，PCPD，过点 D 作线段ABx 轴，垂足为 B，直线 AB 与直线 yx 交于点 A，且 BD2AD，连接 CD，直线 CD与直线 yx 交于点 Q，则 Q 点的坐标是（，）【分析】过 P 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，交 AB 于 N，过 D 作 DHy 轴，交 y 轴于 H，CMPDNPCPD90，求出MCPDPN，证MCPNPD，推出 DNPM，PNCM，设 ADa，求出 DN2a1，得出 2a11，求出 a1，得出 D 的坐标，由两点坐标公式求出 PCPD，在 RtMCP 中，由勾股定理求出 CM2，得出 C 的坐标，设直线 CD 的解析式是 ykx+3，把 D（3，2）代入求出直线 CD 的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可【解答】解：过 P 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，交 AB 于 N，过 D 作 DHy 轴，交 y 轴于 H，CMPDNPCPD90，MCP+CPM90，MPC+DPN90，MCPDPN，P（1，1），OMBN1，PM1，在MCP 和NPD 中，MCPNPD（AAS），DNPM，PNCM，BD2AD，设 ADa，BD2a，P（1，1），DN2a1，则 2a11，a1，即 BD2直线 yx，ABOB3，点 D（3，2）PCPD，在 RtMCP 中，由勾股定理得：CM2，则 C 的坐标是（0，3），设直线 CD 的解析式是 ykx+3，把 D（3，2）代入得：k，即直线 CD 的解析式是 yx+3，组成方程组解得：点 Q（，），故答案为：（，）【点评】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 86 分）分）17（6 分）计算：【分析】先算乘法和负整数指数幂，去绝对值，再合并即可【解答】解：原式2（2）222+234【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则18（8 分）解方程：（1）x（x2）+x20；（2）x26x+82【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程【解答】解：（1）x（x2）+x20；（x2）（x+1）0，x20 或 x+10，所以 x12，x21；（2）x26x6x26x+93，（x3）23，x3，所以 x13+，x23【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了配方法19（8 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，四个顶点都在格点上，图中每个小正方形的边长均为 1，现要在图中建立平面直角坐标系 xOy，使得点 A 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，4）（1）正方形 ABCD 的面积为10（2）在图中画出符合题意的坐标系，并写出点 B，D 的坐标；（3）以 A 为圆心，AB 长为半径画弧，该弧与 x 轴的负半轴相交于点 E，画出点 E 的位置，并求出点 E 的坐标【分析】（1）利用勾股定理求出 AD 的长，可得正方形的面积；（2）根据点 A 的坐标，可建立直角坐标系，从而得出点 B、D 的坐标；（3）根据 ABAE，可得点 E 的坐标【解答】解：（1）由图形知，AD，正方形 ABCD 的面积为 10，故答案为：10；（2）如图，B（1，1），D（3，3）；（3）如图，E（2，0）【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，平面直角坐标系中点的坐标的特征等知识，求出正方形的边长是解题的关键20（8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DEAC，CEBD 交于点 E求证：四边形 CEDO 是菱形【分析】先证明四边形 OCED 是平行四边形，再由矩形的性质得出 OCOD，即可证出四边形 OCED 是菱形【解答】证明：DEAC，CEBD，四边形 OCED 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形，OCAC，ODBD，ACBD，OCOD，四边形 OCED 是菱形【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解决问题的关键21（8 分）关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根为 1，求 m 的值；（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长【分析】（1）根据关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0 的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义，将 x1 代入方程 x2（m+2）x+（2m1）0，即可求得 m 的值；（3）先由根与系数的关系求得方程的另一根为 3，再由勾股定理得斜边的长度为，再根据三角形的周长公式进行计算【解答】（1）证明：（m+2）24（2m1）（m2）2+4，在实数范围内，m 无论取何值，（m2）2+40，即0，关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0 恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得121（m+2）+（2m1）0，解得 m2；（3）解：方程的另一根为：m+212+13；由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为 1+3+4+【点评】本题综合考查了勾股定理、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程解的定义解答（3）时采用了勾股定理22（12 分）如图，直线 y2x+m 与 x 轴交于点 A（3，0），直线 yx+n 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，并与直线 y2x+m 相交于点 D，点 A 在点 B 左边且 AB6（1）求点 D 的坐标；（2）求出四边形 AOCD 的面积；（3）若 E 为 x 轴上一点，且ACE 为等腰三角形，求出点 E 的坐标【分析】（1）分别求出两条直线的解析式，再联立方程组即可求 D 点坐标；（2）由 S四边形AOCDSABDSBCO，求解即可；（3）设 E（t，0），分三种情况讨论：当 ACAE 时，E（33，0）或（33，0）；当 CACE 时，E（3，0）；当 EAEC 时，E（0，0）【解答】解：（1）将点 A（3，0）代入 y2x+m，m6，y2x+6，BA6，B（3，0），将 B 点代入 yx+n，n3，yx+3，联立方程组，解得，D（1，4）；（2）由（1）知 C（0，3），S四边形AOCDSABDSBCO6433；（3）设 E（t，0），A（3，0），C（0，3），AC3，当 ACAE 时，3|t+3|，解得 t33 或 t33，E（33，0）或（33，0）；当 CACE 时，3，解得 t3 或 t3（舍），E（3，0）；当 EAEC 时，|t+3|，此时 t0，E（0，0）；综上所述，E 点坐标为（33，0）或（33，0）或（3，0）或（0，0）【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键23（10 分）2022 年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品现有以下两款：已知购买 3 个冰墩墩和 2 个雪容融需要 560 元；购买 1 个冰墩墩和 3 个雪容融需要 420元；（1）请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？（2）北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天 4 个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配 24000 个商品，拟租用甲、乙两种车共 6 辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为 400 元可装载 4500 个商品，每辆乙种车的租金为 280 元可装载 3000 个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用【分析】（1）设 1 个冰墩墩的售价为 x 元，1 个雪容融的售价为 y 元，根据“购买 3 个冰墩墩和 2 个雪容融需要 560 元；购买 1 个冰墩墩和 3 个雪容融需要 420 元”，列出方程组求解即可；（2）设租用甲种车 x 辆，则租用乙种车（6a）辆，总租金为 w 元，根据题意求出 w与 a 的关系式，并根据题意求出 a 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可【解答】解：（1）设 1 个冰墩墩的售价为 x 元，1 个雪容融的售价为 y 元，根据题意，得：，解得，答：1 个冰墩墩的售价为 120 元，1 个雪容融的售价为 100 元；（2）设租用甲种车 a 辆，则租用乙种车（6a）辆，总租金为 w 元，根据题意，得：w400a+280（6a）120a+1680，由题意，得 4500a+3000（6a）24000，解得 a4，1200，w 随 a 的增大而增大，当 a4 时，w 有最小值为 2160，此时 6a2，即当租用甲种车 4 辆，租用乙种车 2 辆，总租金最低，最低费用为 2160 元【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系24（12 分）（1）正方形 ABCD，E、F 分别在边 BC、CD 上（不与端点重合），EAF45，EF 与 AC 交于点 G如图（i），若 AC 平分EAF，直接写出线段 EF，BE，DF 之间等量关系；如图（），若 AC 不平分EAF，中线段 EF，BE，DF 之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由（2）如图（），矩形 ABCD，AB4，AD8点 M、N 分别在边 CD、BC 上，AN2，MAN45，求 AM 的长度【分析】（1）证明ABEADF（ASA）得 BEDF，AEAF，根据角平分线的性质得：BEEG，DFGF，相加可得结论；延长 CD 到点 H，截取 DHBE，连接 AH，根据 SAS 定理可得出AEBAHD，故可得出 AEAH，再由EAF45，ABC90可得出EAFHAF，由 SAS 定理可得EAFHAF，故 EFHF，可得结论；（2）解法一：作辅助线，构建正方形 ABQP，设 PHx，根据勾股定理列方程可得 PH的长，从而得 DM 的长，最后由勾股定理可得结论；解法二：作辅助线，构建直角三角形，设 APx，表示 PM 和 PG 的长，根据 AG83x，可得 x 的值，根据等腰直角三角形的性质可得斜边 AM 的长解法三：作辅助线，构建 k 字形全等，最后面积法列方程可得结论【解答】解：（1）如图（i），四边形 ABCD 是正方形，BACCAD45，EAF45，AC 平分EAF，BAEEAGDAFFAG22.5，ABAD，BD90，ABEADF（ASA），BEDF，AEAF，AEFAFE，ACEF，AGEAGF90，AE 平分BAC，BEEG，DFGF，EFBE+DF；，中线段 EF，BE，DF 之间等量关系还成立：EFBE+DF；如图（），延长 CD 到点 H，截取 DHBE，连接 AH，在AEB 与AHD 中，AEBAHD（SAS），AEAH，BAEHAD，EAF45，BAD90，BAE+DAF45，DAF+DAH45即EAFHAF，在EAF 与HAF 中，EAFHAF（SAS），EFHFDF+DHBE+DF，（2）解法一：如图，取 AD，BC 的中点 P，Q，连接 QP，PQ 交 AM 于 H，连接 NH，AD8，AB4，APABBQPQ4，B90，四边形 ABQP 是正方形，RtABN 中，AB4，AN2，BN2，NQ422，NAH45，由（1）同理得：NHBN+PH，设 PHx，则 NHx+2，QH4x，RtNHQ 中，NH2QH2+NQ2，（2+x）222+（4x）2，x，P 是 AD 的中点，PHDM，AHHM，DM2PH，由勾股定理得：AM；解法二：如图（iii），延长 AN，DC 交于点 G，过 M 作 MPAG 于点 P，四边形 ABCD 是矩形，B90，RtABN 中，AB4，AN2，BN2，CN826，ABCG，ABNGCN，NG6，MAN45，APM90，APPM，设 APx，则 PMx，PG2x，AG2+6x+2x，x，AMx解法三：如图，过点 N 作 NKAN，交 AM 于 K，过 K 作 KLBC 于 L，ANKBKLN90，ANBKNL，MAN45，ANK 是等腰直角三角形，ANNK，ABNNLK（AAS），NLAB4，KLBN2，设 CMx，则 DM4x，S梯形ABCM2SABN+SANK+S梯形KLCM，8（x+4）2+（2）2+（x+2）（824），x，DM，由勾股定理得：AM【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键25（14 分）（1）如图 1，等腰 RtABC 中，ACB90，CBCA，直线 ED 经过点 C，过点 A 作 ADED 于点 D，过点 B 作 BEED 于点 E，求证：BECCDA应用图 1 的数学模型解决下列问题：（2）如图 2，已知直线 l1：yx+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将直线 l1绕点 A逆时针旋转 45至直线 l2；求直线 l2的函数表达式；（3）如图 3，平面直角坐标系内有一点 B（3，4），过点 B 作 BAx 轴于点 A、BC轴于点 C，点 P 是线段 AB 上的动点，点 D 是直线 y2x+1 上的动点且在第四象限内 若CPD 为等腰直角三角形，请直接写出点 D 的坐标【分析】（1）由BCA90，得ACD90BCE，又BEC90CDA，CBE90BCEACD，即可得BCECAD（AAS）；（2）过 B 作 BEAB 交直线 l2于 E，过 E 作 EFy 轴于 F，在 yx+3 中得 A（2，0），B（0，3），OA2，OB3，证明AOBBFE（AAS）即得 OABF2，OBEF3，从而 E（3，5），用待定系数法即得直线 l2的函数表达式为 y5x10；（3）设 D（m，2m+1），P（3，n），以 D 为直角顶点，过 D 作 DWx 轴于 W，交AB 延 长 线 于 T，证 明 CDW DPT（AAS），有 DT CW，DW PT，可得 D（，），以 C 为直角顶点，过 P 作 PKy 轴于K，过 D 作 DRy 轴于 R，PKCCRD（AAS），有 PKCR，CKDR，可得 D（4，7）以 P 为直角顶点，同理可得（，）【解答】（1）证明：BCA90，ACD90BCE，ADED，BEED，BEC90CDA，CBE90BCEACD，在BCE 和CAD 中，BCECAD（AAS）；（2）解：过 B 作 BEAB 交直线 l2于 E，过 E 作 EFy 轴于 F，如图：在 yx+3 中，令 x0 得 y3，令 y0 得 x2，A（2，0），B（0，3），OA2，OB3，将直线 l1绕点 A 逆时针旋转 45至直线 l2，BAE45，BEAB，ABE 是等腰直角三角形，ABEB，AOB90EFB，EBF90ABOBAO，AOBBFE（AAS），OABF2，OBEF3，OFOB+BF5，E（3，5），设直线 l2的函数表达式为 ykx+b，将 A（2，0），E（3，5）代入得：，解得，直线 l2的函数表达式为 y5x10；（3）解：点 P 是线段 AB 上的动点，点 D 是直线 y2x+1 上的动点且在第四象限内，CPD 为等腰直角三角形分三种情况：设 D（m，2m+1），P（3，n），以 D 为直角顶点，过 D 作 DWx 轴于 W，交 AB 延长线于 T，如图：CDP90，CDW90PDTDPT，CWD90PTD，CDPD，CDWDPT（AAS），DTCW，DWPT，解得，D（，），以 C 为直角顶点，过 P 作 PKy 轴于 K，过 D 作 DRy 轴于 R，如图：同理可得PKCCRD（AAS），PKCR，CKDR，解得，D（4，7），以 P 为直角顶点，如图：同理可得PHCDGP（AAS），HCPGm3，HPDG3，4+（m3）32m+1，解得 m，D（，）；综上所述，D 的坐标为：（，）或（4，7）或（，）【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，旋转变换等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形