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1 Ch10 微分方程微分方程基础练习基础练习 1求下列微分方程的通解： （1） yx ey ；（2）0)1 (dyeydxe xx ； （3）xxyysinsin；（4） 3 xyyx. 2求下列微分方程的通解： （1） x eyy ；（2）0yy； （3） x exyyx 3 2；（4）02)6( 2 yyxy. 3求下列微分方程的特解： （1）3, 0 11 xdy x dx y 时4y； （2）1, 3xyyx时0y； （3）1, 0) 1( 2 xxydydxy时1y； （4）exxxyyx,ln时ey . 4求下列微分方程的通解： (1) 2 0yay；(2)034 yyy； (3)044 yyy；(4) x xeyyy 323. 5求下列微分方程的特解： （1） 11 , 0 ax xx yeyy ； （2）3 , 0 , 0134 00 xx yyyyy； （3） 00 4, 0, 1. x xx yyxeyy 6应用题： （1） 一条平面曲线过点)2, 0(， 且在曲线上任意一点),(yx处切线的斜率是该点纵坐 标的 2 倍，求此曲线的方程. (2)试求xy 的经过点 M(0,1)且在此点与直线1 2 x y相切的积分曲线. (3)方程094 yy的一条积分曲线经过点) 1,(且在该点和直线xy1相 2 切，求这条曲线方程. (4)设函数)(xyy 满足微分方程 x eyyy 32，它的图形在0 x处与直线 xy 相切，求该函数. 参考解答 1（1） 分离变量得dxedye xy ， 两边积分 dxedye xy ， 得通解Cee xy . （ 2 ） 分 离 变 量 得dy y dx e e x x 1 1 ， 两 边 积 分 dx y dx e e x x 1 1 ， 得 通 解 Cye x |ln)1ln(，即)1 ( 1 x eCy. （3）此为一阶线性微分方程， 其中( )sin ,( )sinP xx Q xx， 通解为 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC coscos sin xx exedxC xxx CeCee coscoscos 1 . （4）标准化得 2 1 yyx x ，其中 2 1 ( ),( )P xQ xx x ， 通解为 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC ln2ln xx ex edxC CxdxxCxxCxx 32 2 1 2 1 . 2. （1）此为一阶线性微分方程，其中( )1,( ) x P xQ xe， 通解为 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC ()() xxxx eee dxCexC . （2）可视为一阶线性微分方程，( )1,( )0P xQ x， 通解为 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC 0 xx edxCCe . （3）标准化得 x exy x y 2 2 ，其中 2 2 ( ),( ) x P xQ xx e x ， 通解为 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC 2ln22ln xxx ex e edxC 222 Cdxxexx x )( 2 Cex x . （4）若以y为因变量，则这个方程不是线性方程，但是若以x为因变量，则为线性方 程.注意到 xdydxdx dy y 1 / 1 ，原方程可以化作 2 (6 )20yx yx ， 标 准 化 得 3 yx y x 2 13 .此为一阶线性微分方程，其中 31 ( ),( ) 2 P yQ yy y ， 通解为 ( )( ) ( ) P y dyP y dy xeQ y edyC 2 1 ln3ln3 Cdyyee yy 1 2 1 3 3 Cdy y yy) 2 1 ( 3 C y y. 3.（1）分离变量ydyxdx，两端积分xdxydy ，得通解 22 xyC. 代 入初始条件3,4xy，得所求特解25 22 yx. （2）标准化得 13 yy xx ，其中 13 ( ),( )P xQ x xx ， 通解为 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC lnln 31 (3) xx eedxCxC xx .代入初始条 件0, 1yx，得所求特解为 x y 3 3. （3）分离变量dy y y dx x 2 1 1 ，两端积分 2 1 1 y dxdy xy ，得通解为 2 1 1 lnln(1) 2 xyC ，即 22 (1)xyC.代入初始条件1,1xy，得所求特解为 2)1 ( 22 yx. （4）标准化得 1 lnyyx x ，其中 1 ( )P x x ，( )lnQ xx， 通 解 为 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC lnln ln xx exedxC ln Cdx x x x lnlnCxx.代入初始条件,xe ye，得所求特解为)lnln1 (xxy. 4.（1）令, dp yp yp dy ，代入原方程，得 2 0 dp pap dy ，即 dp ady dy ，积分 得 1 ay pc e，即 1 ay dy c e dx ，解得通解为 21 1 ln()ycac x a . （2）所给方程的特征方程为 2 430rr，特征根为 1 1r 、 2 3r ，故方程的通解 为 3 12 xx yc ec e. （3）所给方程的特征方程为 2 4410rr ，特征根为 12 1 2 rr ，故方程的通解 为 1 2 12 () x ycc x e . 4 （4）所给方程的齐次方程的特征方程为 2 320rr，特征根为 1 1r 、 2 2r ， 故 齐次 方 程的 通 解为 2 12 xx yc ec e . 由 于1 是 特征 方 程的 单 根， 设 特 解 () x yx axb e ， 代 入 原 方 程 得 3 2 a 、3b . 故 所 求 方 程 的 通 解 为 2 12 3 (3) 2 xxx yc ec exxe . 5.（1）由 ax ye ，得 1 1 axax ye dxeC a ， 112 2 11 () axax yeC dxeC xC aa . 代入初始条件将 11 0 xx yy ，得所求特解为y 22 1111 () axaa ee xe aaaa . （2）所给方程的特征方程为 2 4130rr，特征根为 1,2 23ri，故方程的通解为 2 12 (cos3sin3 ) x yecxcx. 代 入 初 始 条 件 0 0 x y 、 0 3 x y ， 得 所 求 特 解 为 2 sin3 x yex. （3）所给方程的齐次方程特征方程为 2 10r ，特征根为 1,2 1r ，故齐次方程的通 解为 12 xx yc ec e.设() x yx axb e ，代入方程得1,1ab .故方程的通解为 12 )(1) xxx yc ec ex xe . 代 入 初 始 条 件 0 0 x y 、 0 1 x y ， 得 所 求 特 解 为 (1) xxx yeex xe . 6.（1）设所求曲线为)(xyy ，则从题给条件可建立方程：2)0(,2yyy.这 是一阶线性微分方程，可以求得通解为 x Cey 2 .代入2)0(y，得2C，故所求曲线的 方程 x ey 2 2. （2）由题意知yx ，其中 0 1 x y ， 0 1 2 x y .对yx 可得 2 1 1 2 yxC .代入 0 1 2 x y ，得 1 1 2 C ， 2 11 22 yx .再积分得 3 2 11 62 yxxC，代入 0 1 x y ， 得 2 1c ，故 3 11 1 62 yxx. （3）所给方程的齐次方程的特征方程为 2 490r ，特征根为 1,2 3 2 ri ，故齐次方 程 的 通 解 为 12 33 cossin 22 ycxcx. 代 入 初 始 条 件1 x y 、1 x y ， 得 5 12 2 ,1 3 cc，故所求曲线方程为 323 sincos 232 yxx. （4）所给方程的齐次方程的特征方程为 2 20rr ，特征根为 1 2r 、 2 1r ， 故齐次方程的通解为 2 12 xx yc ec e.设 x yxae ，代入方程得1a ，故方程的通解 2 12 xxx yc ec exe .代入初始条件 0 0 x y 、 0 1 x y ，得 12 22 , 33 cc ，则所求 函数为 2 22 33 xxx yeexe .