教辅：高考数学二轮复习考点-三角恒等变换与解三角形.doc

考点十三角恒等变换与解三角形一、选择题1(2020全国卷)若为第四象限角，则()Acos2>0 Bcos2<0Csin2>0 Dsin2<0答案D解析当时，cos2cos0，A错误；当时，cos2cos0，B错误；由在第四象限可得sin0，cos0，则sin22sincos0，C错误，D正确故选D.2(2020山东聊城一模)已知cos，则sin()A. B C D答案A解析因为cos，由三角函数诱导公式可得，cos，因为sinsincos，所以sincos.故选A.3(2020全国卷)已知2tantan7，则tan()A2 B1 C1 D2答案D解析2tantan7，2tan7.令ttan，t1，则2t7，整理得t24t40，解得t2，即tan2.故选D.4已知ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若2cosB，则该三角形一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案A解析由2cosB得2，即c2b2，bc，ABC为等腰三角形，故选A.5(2020海南二模)已知为第二象限角，且sin2cos2，则()A B C D答案D解析由sin2cos2cos2sin2，得tan2，为第二象限角，tan，2tan.6(2020吉林第四次调研测试)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A，B，c3，则a()A. B2 C3 D4答案C解析因为A，B，所以CAB，所以a3.故选C.7(2020全国卷)已知(0，)，且3cos28cos5，则sin()A. B C D答案A解析由3cos28cos5，得6cos28cos80，解得cos或cos2(舍去)(0，)，sin.故选A.8(多选)在ABC中，给出下列四个命题，其中正确的命题是()A若A<B，则sinA<sinBB若sinA<sinB，则A<BC若A>B，则>D若A<B，则cos2A>cos2B答案ABD解析由大角对大边知，若A<B，则a<b，由正弦定理得2RsinA<2RsinB，所以sinA<sinB，故A正确；同理B正确；当A120，B30时，<0，>0，故C错误；若A<B，则sinA<sinB，sin2A<sin2B，即1cos2A<1cos2B，所以cos2A>cos2B，故D正确故选ABD.二、填空题9(2020全国卷)若sinx，则cos2x_.答案解析cos2x12sin2x1221.10(2020福建厦门高三毕业班5月质量检查)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a22bc且sinA2sinC，则cosC_.答案解析sinA2sinC，a2c，又a22bc，b2c，cosC.11(2020山东潍坊二模)已知，sin，则tan_.答案3解析sin，且，cos，sinsin，cos，tan3.12(2020山东潍坊高密一模)在ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记ABC的面积为S，且4a2b22c2，则的最大值为_答案解析由题知4a2b22c2b24a22c2a2c22accosB，整理得2accosB3a23c2cosB，因为222，代入cosB，整理得2，令t，有2(9t222t9)2，所以2，当且仅当t时等号成立，所以的最大值为.三、解答题13(2020全国卷)ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值解(1)sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，由正弦定理可得BC2AC2AB2ACAB，AC2AB2BC2ACAB，cosA.A(0，)，A.(2)解法一：由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosAAC2AB2ACAB9，即(ACAB)2ACAB9.ACAB2(当且仅当ACAB时取等号)，9(ACAB)2ACAB(ACAB)22(ACAB)2，ACAB2(当且仅当ACAB时取等号)，ABC的周长LACABBC32，ABC周长的最大值为32.解法二：由正弦定理得2，AB2sinC，AC2sinB.A，CB.ABAC2sin2sinB22sinB3cosBsinB2sin.当B时，ABAC取得最大值2，ABC周长的最大值为32.14.(2020山东滨州三模)如图，半圆O的直径AB2，点C在AB的延长线上，BC1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角三角形PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设PAC.(1)把线段PC的长表示为的函数；(2)求四边形ACDP面积的最大值解(1)依题设易知APB是以APB为直角的直角三角形，又AB2，PAB，所以PA2cos.在PAC中，AC3，PAC，由余弦定理得，PC2PA2AC22PAACcos4cos2912cos298cos2.所以PC，定义域为.(2)设四边形ACDP的面积为S，则SSAPCSPCDAPACsinPC22cos3sin(98cos2)sin2(54cos2)sin22cos2sin(2)sin(2)，其中cos，sin，为锐角因为sin<，所以0<<.又因为0<<，所以<2<，所以当2时，S取得最大值为5.所以四边形ACDP面积的最大值为5.一、选择题1在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A60，a4，b4，则B()A60 B45 C30 D60或120答案C解析A60，a4，b4，sinB，a>b，B<60，B30，故选C.2(2020山西大同高三模拟)由射线yx(x0)逆时针旋转到射线yx(x0)的位置所成角为，则cos()A B C D答案A解析设射线yx(x0)的倾斜角为，射线yx(x0)的倾斜角为，则sin，cos，sin，cos，coscos()coscossinsin，故选A.3(2020山东青岛自主模拟)已知直线l1：xsiny10，直线l2：x3ycos10，若l1l2，则sin2()A. B C D答案D解析因为l1l2，所以sin3cos0，所以tan3，所以sin22sincos.故选D.4(2020全国卷)在ABC中，cosC，AC4，BC3，则cosB()A. B C D答案A解析在ABC中，cosC，AC4，BC3，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosC42322439，AB3，cosB.故选A.5(2020山东淄博摸底)已知cos，则cos()A. B C D答案A解析22，coscoscos212cos2122.故选A.6若sin2，sin()，且，则的值是()A. B C或 D或答案A解析因为，所以2，又sin2，所以2，所以cos2.又，所以，故cos()，所以cos()cos2()cos2cos()sin2sin()，又，故，选A.7(2020石家庄二中高三质量检测一)蒙娜丽莎是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆该油画规格为：纵77 cm，横53 cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237 cm(如图所示)有一身高为175 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm)，设该游客离墙距离为x cm，视角为.为使观赏视角最大，x应为()A77 B80 C100 D77答案D解析过C作CDAB交AB延长线于D，设ACD，BCD，则，则BD237(17515)77(cm)，AD7777154(cm)，tan，tan，tantan()，当且仅当x，即x77时，tan有最大值，此时也最大故选D.8(多选)(2020山东临沂一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2，c3，A3C，则下列结论正确的是()AcosC BsinBCa3 DSABC答案AD解析因为A3C，故B2C，根据正弦定理，得2sinC32sinCcosC，又sinC0，故cosC，sinC，sinBsin2C2sinCcosC，A正确，B错误；由c2a2b22abcosC化简，得a24a30，解得a3或a1.若a3，则AC，故B，不满足cosC，而a1满足题意，故a1，C错误；SABCabsinC12，D正确故选AD.二、填空题9(2020浙江高考)已知tan2，则cos2_；tan_.答案 解析cos2cos2sin2，tan.10(2020山东烟台适应性练习一)已知向量a(cos，)，b，且ab，则cos2_.答案解析向量a(cos，)，b，且ab，可得tancos，sin，cos212sin2122.11(2020山东潍坊6月高考模拟)在ABC中，A，点D在线段AC上，且满足AD2CD，cosC，则sinCBD_.答案解析如图所示，cosC，设AC3k，BC5k，k>0.因为A，所以AB4k.又因为AD2CD，所以AD2k，CDk，BD2k.因为cosC，0<C<，所以sinC.在BCD中，所以sinCBD.12(2020全国卷)如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，ABAD，ABAC，ABAD，CAE30，则cosFCB_.答案解析ABAC，AB，AC1，由勾股定理，得BC2，同理，得BD，BFBD.在ACE中，AC1，AEAD，CAE30，由余弦定理，得CE2AC2AE22ACAEcos3013211，CFCE1.在BCF中，BC2，BF，CF1，由余弦定理，得cosFCB.三、解答题13(2020新高考卷)在ac，csinA3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAsinB，C，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解解法一：由sinAsinB可得，不妨设am，bm(m>0)，则c2a2b22abcosC3m2m22mmm2，即cm.选择条件：据此可得acmmm2，m1，此时cm1.选择条件：cosA，则sinA ，此时csinAm3，则cm2.选择条件：可得1，cb，与条件cb矛盾，则问题中的三角形不存在解法二：sinAsinB，C，B(AC)，sinAsin(AC)sin，即sinAsinAcosA，sinAcosA，tanA，A，BC.若选，ac，abc，c2，c1.若选，csinA3，则3，c2.若选，bc与条件cb矛盾，则问题中的三角形不存在14(2020吉林长春质量监测三)在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a4ccosB.(1)求证：sinBcosC3sinCcosB; (2)求BC的最大值解(1)证明：在ABC中，由a4ccosB及正弦定理，得sinA4sinCcosBsin(BC)4sinCcosB，则sinBcosCcosBsinC4sinCcosBsinBcosC3sinCcosB.(2)由(1)知sinBcosC3sinCcosBtanB3tanC，tan(BC).又因为tanB3tanC，故可得tanC>0，由基本不等式可得，当且仅当tanC时等号成立因此tan(BC)，即BC的最大值为.