2019高考数学二轮复习第9讲三角恒等变换与解三角形专题突破练理.doc

第9讲三角恒等变换与解三角形1.2018·全国卷 在平面四边形ABCD中,ADC=90°,A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2,求BC. 试做   2.2017·全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.试做   3.2013·全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.试做   命题角度利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形的步骤:第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.利用公式SABC=acsin B=bcsin A=absin C解决三角形面积问题的方法:若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式求得面积.求三角形面积的最值时,一般将面积表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.解答1三角形基本量的求解1 在ABC中,已知AB=2,C=,点D在AC边上,且ADB=.(1)若BD=4,求tanABC;(2)若AD=BC,求ABC的周长.听课笔记    【考场点拨】求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图中标出来,然后确定转化的方向;第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化;第三步:求结果.【自我检测】已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+csin C=asin C+bsin B.(1)求B;(2)若A=,b=2,求a和c.  解答2与三角形面积有关的问题2 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且2bcos B=acos C+ccos A.(1)求B;(2)求ABC面积的最大值.听课笔记    【考场点拨】三角形面积的最值问题主要有两种解决方法:一是将面积表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示,结合角的范围确定三角形面积的最值.【自我检测】已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C.(1)求B;(2)若ABC的面积为,且b=,求a+c的值.  解答3以平面几何为载体的解三角形问题3 如图M2-9-1所示,已知在ABC中,B=,BC=2.图M2-9-1(1)若AC=3,求AB的长; (2)若点D在边AB上,AD=DC,DEAC于点E,ED=,求A.听课笔记    【考场点拨】解决以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分利用平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时,从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化到三角形中去求解;四是通过三角形中的不等关系如大边对大角,最大角一定大于等于确定角或边的范围.【自我检测】已知ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,且2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,c=3.(1)求A;(2)若AD是BC边上的中线,AD=,求ABC的面积. 第9讲三角恒等变换与解三角形 典型真题研析1.解:(1)在ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sinADB=.由题设知,ADB<90°,所以cosADB=.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cosBDC=25+8-2×5×2×=25,所以BC=5.2.解:(1)由题设得acsin B=,即csin B=,由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-,所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周长为3+.3.解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由和C(0,)得sin B=cos B.又B(0,),所以B=.(2)ABC的面积S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos .又a2+c22ac,故ac,当且仅当a=c时,等号成立.因此ABC面积的最大值为+1.考点考法探究解答1例1解:(1)如图所示,因为ADB=,C=,所以DBC=,则BD=CD.在BCD中,由余弦定理得,BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cosBDC,所以BC=CD.因为在ADB中,AB=2,BD=4,ADB=,所以由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cosADB,即28=AD2+16-4AD,所以AD=6,所以AC=10.在ABC中,由正弦定理=,得=,解得sinABC=.因为AB=2,AD=6,所以在ADB中,由AD>AB,得ABD>ADB=,故ABC=ABD+DBC>+=,所以cosABC=-=-,所以tanABC=-.(2)设CD=x,x>0,则BC=x,从而AD=BC=3x,故AC=AD+DC=4x.在ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos,因为AB=2,所以28=(x)2+(4x)2-2x·4x·,解得x=2,所以AC=8,BC=2,故ABC的周长为AC+BC+AB=8+2+2.【自我检测】解:(1)由已知,根据正弦定理得a2+c2=ac+b2.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,所以cos B=.因为B(0,),所以B=.(2)由A=,得sin A=sin=sincos+cossin=.由B=,得C=-(A+B)=,所以a=2×=1+,c=2×=.解答2例2解:(1)由2bcos B=acos C+ccos A得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,因为B(0,),所以sin B0,故cos B=,所以B=.(2)方法一:由b=2,B=,根据余弦定理可得ac=a2+c2-4,所以ac=a2+c2-42ac-4,所以ac4,当且仅当a=c时,等号成立,从而SABC=acsin B×4×=,故ABC面积的最大值为.方法二:因为=,所以a=sin A,c=sin C,所以SABC=acsin B=×sin A·sin C·sin B=sin Asin=sin+,因为A,所以当2A-=,即A=时,SABC取得最大值,最大值为,故ABC面积的最大值为.【自我检测】解:(1)A+B+C=,即C+B=-A,sin(C+B)=sin(-A)=sin A.(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(C+B)=sin A.在ABC中,0<A<,sin A>0,cos B=.又0<B<,B=.(2)ABC的面积为,sin B=sin=,acsin B=ac=,ac=3.b=,cos B=cos=,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-9=3,(a+c)2=12,则a+c=2.解答3例3解:(1)设AB=x(x>0),则在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即32=22+x2-2x·2cos,所以x=+1,即AB=+1.(2)因为ED=,DEAC,所以AD=DC=.在BCD中,由正弦定理可得=,因为BDC=2A,所以=.因为A(0,),所以sin A>0,所以cos A=,所以A=.【自我检测】解:(1)由正弦定理及2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,得bsin B-asin A=bsin C-csin C,即b2-a2=bc-c2,cos A=,A(0,),A=.(2)以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC,则在ABE中,ABE=,AE=.在ABE中,由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB·BE·cos,即19-9=AC2-2×3·AC·,AC=2,即b=2,故SABC=bcsin A=×2×3×=.备选理由 三道备用例题都是利用正、余弦定理解三角形问题,涉及三角形中的边、角、面积以及使用基本不等式求最值.例1配例1使用 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=.(1)求B;(2)若ABC的面积为,B是钝角,求b的最小值.解:(1)由题意得bcos A+acos B=bsin C,由正弦定理得sin Bcos A+cos Bsin A=sin Bsin C,sin(A+B)=sin Bsin C,又在ABC中,sin(A+B)=sin C0,sin B=,B(0,),B=或.(2)由SABC=acsin B=,sin B=,得ac=2,又易知B=,b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+22ac+2=6,当且仅当a=c时取等号,b的最小值为.例2配例2使用 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin B=2cos2,sin(A-C)=2cos Asin C.(1)求B;(2)若c=2,求ABC的面积.解:(1)方法一:由sin B=2cos2,得2sincos=2cos2,因为cos0,所以sin=cos,即tan=.又因为B(0,),所以=,所以B=.方法二:由sin B=2cos2,得sin B=1+cos B,即sin B-cos B=1,即2sin=1,即sin=.又因为B(0,),所以B-,所以B-=,即B=.(2)由sin(A-C)=2cos Asin C,得sin Acos C=3cos Asin C,根据正弦定理和余弦定理得,a·=3··c,即b2=2a2-2c2.由(1)知B=,所以b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac.又因为c=2,所以a=-1,所以SABC=acsin B=.例3配例3使用 如图所示,已知在平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,ADC=CAB=90°,设DAC=.(1)若=60°,求BD的长度;(2)若ADB=30°,求tan .解:(1)由题意可知,AD=1.在ABD中,DAB=+90°=150°,AB=2,AD=1,由余弦定理可知,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosDAB=(2)2+12-2×2×1×=19,BD=.(2)由题意可知,AD=2cos ,ABD=60°-,在ABD中,由正弦定理可知,=,=4,又cos 0,=4,tan =.15