2019高考数学二轮复习限时集训九三角恒等变换与解三角形理.doc

限时集训（九）三角恒等变换与解三角形基础过关1.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c2=4absin2C.(1)求sin A·sin B的值;(2)若A=,a=3,求c的值.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b>c,a=6,b=5,且ABC的面积为9.(1)求cos C的值;(2)求c及sin B的值.3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2A=-,c=,sin A=sin C,且A为锐角.(1)求sin A与a的值;(2)求b的值及ABC的面积.4.已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=.(1)求B;(2)若b=,求ABC的面积S的最大值.能力提升5.已知锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=,=.(1)求角A的大小;(2)求b+c的取值范围.6.已知在ABC中,BC边上一点D满足ABAD,且AD=DC.(1)若BD=2DC=2,求AC的值;(2)若AB=AC,求sin B.限时集训(九) 基础过关1.解:(1)c2=4absin2C,由正弦定理得,sin2C=4sin A·sin B·sin2C,又ABC中,sin C0,sin A·sin B=.(2)当A=时,sin A=,又sin A·sin B=,sin B=.A+B<,B(0,),B=,a=b=3,C=-A-B=,c2=a2+b2-2abcos C=27,c=3.2.解:(1)因为ABC的面积S=absin C=×6×5sin C=9,所以sin C=.因为b>c,所以C,所以cos C=.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=62+52-2×6×5×=13,所以c=.又因为b=5,sin C=,所以由正弦定理得sin B=.3.解:(1)因为c=,sin A=sin C,所以由正弦定理得=,解得a=3.因为cos 2A=2cos2A-1=-,又因为A为锐角,所以cos A=,所以sin A=.(2)因为b2+c2-a2=2bcos A,所以b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍去),所以SABC=bcsin A=×5××=.4.解:(1)因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以=,由正弦定理得=,即a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cos B=,又因为B(0,),所以B=.(2)因为b2=a2+c2-2accos B2ac-ac=ac,当且仅当a=c时取等号,所以ac3,所以S=acsin B=ac,所以S的最大值为. 能力提升5.解:(1)由=及正弦定理得(b-a)(b+a)=(b-c)c,所以bc=b2+c2-a2,所以cos A=,因为A,所以A=.(2)因为a=,A=,所以=2,所以b+c=2(sin B+sin C)=2sin B+sin-B=2cos.因为ABC为锐角三角形,所以B,则B-,所以cos,所以b+c(3,2.6.解:(1)AD=DC,BD=2DC=2,AD=,DC=1,BC=BD+DC=3.ABAD,在RtABD中,sinABD=,又ABD(0°,90°),ABD=60°,AB=1.在ABC中,由余弦定理可得,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosABC=1+9-2×3×=7,AC=.(2)在ACD中,由正弦定理得=,AD=DC,=.AB=AC,B=C,BAC=180°-2B.BAD=90°,DAC=BAC-BAD=180°-2B-90°=90°-2B,=,=,化简得2sin2B+sin B-=0,即(sin B-1)(2sin B+)=0.B(0°,180°),sin B>0,sin B=.4