极限如何转化为定积分 [积分与极限].doc

极限如何转化为定积分 积分与极限 积分与极限。 说明：我们常常需要考虑闭区间a，b上函数列fn（x）积分后的极限问题，即求 当极限limfn（x）=f（x）对每个xa，b都存在，且函数f（x）在a，blimfn（x）dx。n+bn+a 上可积，我们自然期待limn+abfn（x）dx=limfn（x）dx。an+b 实事上这个等式在许多情形下是正确的。等式成立的一个充分条件涉及函数的一致收敛性。但的确存在等式不成立的情形。也就是说，存在闭区间a，b上连续函数列fn（x），使得limn+abfn（x）dxlimfn（x）dx。这表明对于函数列fn（x）作积分运算和极限运算an+b 的先后次序不同，所得的结果可能不同。 以下我们考虑极限lim 题1.设函数f（x）在区间0，1上连续。证明lim（n+1）xf（x）dx=f（1）.n+0n+abfn（x）dx的两个例子。1n 证明。注意我们可以将f（1）表示为f（1）=（n+1）xf（1）dx。于是我们要证01n n+lim（n+1）xnf（x）-f（1）dx=0。01 根据函数f（x）的连续性可知，f（x）有界，及存在正数m>0，使得|f（x）|m，x0，1。再根据函数f（x）在点x=1处的左连续性可知，对于>0，>0，使得|f（x）-f（1）| （n+1）xf（x）-f（1）dx（n+1）xnf（x）-f（1）dxn 0011 （n+1）1- 0xnf（x）-f（1）dx+（n+1） 1-1 01-11-xnf（x）-f（1）dx2m（n+1）xndx+（n+1）xnf（x）-f（1）dx 2m（1-）n+1+1-（1-）n+12m（1-）n+1+ 由lim（1-）n+n+1=0可知，对于上述>0，存在n>0，使得当nn时， 2m（1-）n+10，存在n>0，使得当nn时，（n+1）xf（x）-f（1）dx 0n+011 注。类似可证，若f连续，则limhf（0）f（x）dx=。h00h2+x221 题2.（课本习题5.2第7题，p.141）证明xndx=0.（i）.limn+01+x1 （ii）.limdx=1.n+01+xn1 （iii）.limn+0sin1nxdx=0. 1xndx证明：（i）对积分，利用积分中值定理得01+x xndx11n1=xdx0，这里n0，1。01+x1+n0n+11 由此立刻可知极限（i）成立。 注意：由于函数xn和 11于区间0，1都是非负的。因此还有另一种可能性，关于积分1+xn1xdx1dxxndxnn=利用积分中值定理。这就是nn01+x01+x01+xln2，这里n0，1。由于n0，1的位置不确定，因此极限limn的存在性和极限值的确定有困难。n+ n1xdxdx=1，当且仅当lim（ii）极限lim=0。n+01+xnn+01+xnn1 1xndx1n由于 （iii）.要证极限（iii），即要证对于>0，存在n>0，使得 （0 n>0，存在n>0，使得由于sin（-）0，当n+时。因此对 sinn（-） sin01nxdx= n 2-0sinxdx+sinnxdx -0sin（-）dx+1dx 第 3 页 共 3 页免责声明：图文来源于网络搜集，版权归原作者所以若侵犯了您的合法权益，请作者与本上传人联系，我们将及时更正删除。