线性代数行列式按行或列展开课件.ppt

线性代数行列式按行或列展开第1页，此课件共30页哦行列式的性质行列式的性质共共8 8条条(行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立对行成立的对列也同样成立).).目前我们学习的目前我们学习的计算行列式常用方法计算行列式常用方法：(1)(1)利用利用行列式的定义行列式的定义;(2)(2)利用利用性质性质、利用运算利用运算ri krj(或者或者ci kcj)把行列式把行列式等价等价地转化为三角形行列式地转化为三角形行列式，从而得行列式的值，从而得行列式的值知识点复习知识点复习第2页，此课件共30页哦&数数k乘乘 行列式行列式 等于等于数数k乘乘此行列式的此行列式的某一行某一行(列列)&行列式行列式D与它的与它的转置行列式转置行列式DT相等相等&某一行某一行(列列)的的公因子公因子可提可提到行列式符号的外面到行列式符号的外面 互换互换行列式的行列式的两行两行(列列)行列式行列式变号变号 l 行列式有行列式有两行两行(列列)完全相同完全相同 则此行列式则此行列式等于等于零零 l 行列式中有行列式中有两行两行(列列)元素成比例元素成比例 则行列式等于则行列式等于零零.&若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素都是两个数之和都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和则行列式等于两个行列式之和&把把行行列列式式的的某某一一行行(列列)的的倍倍数数，加加到到另另一一行行(列列)对对应应的的元元素素上去上去 行列式行列式不变不变 行列式行列式8个性质个性质知识点复习知识点复习第3页，此课件共30页哦三阶行列式的结构再思考1第4页，此课件共30页哦方法分析方法分析 将行列将行列式式化为三角形化为三角形是计算行列式的基本方法，我们感到是计算行列式的基本方法，我们感到低低阶阶行列式更行列式更容易计算容易计算 自然地想到能否用自然地想到能否用低阶低阶的行列式去的行列式去表示高阶表示高阶行列式行列式第5页，此课件共30页哦1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开一、行列式的展开定理一、行列式的展开定理二、用降阶法计算行列式二、用降阶法计算行列式第6页，此课件共30页哦1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开一、行列式的展开定理一、行列式的展开定理1 1、什么是行列式的余子式及代数余子式？、什么是行列式的余子式及代数余子式？第7页，此课件共30页哦注注1:1:行列式的每个元素分别对应着一个余子式与一个代数余子行列式的每个元素分别对应着一个余子式与一个代数余子式式.注注2:2:行列式的某个元素的余子式与代数余子式行列式的某个元素的余子式与代数余子式,只与该元素的位只与该元素的位置有关置有关,与该元素的大小无关与该元素的大小无关.注注3:3:余子式和代数余子式都是一个行列式。余子式和代数余子式都是一个行列式。再例再例1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开第8页，此课件共30页哦三阶行列式的结构再思考21.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开第9页，此课件共30页哦三阶行列式的结构再思考21.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开第10页，此课件共30页哦引理引理 一个一个n n阶行列式阶行列式D,D,若其中第若其中第i i行所有元素除行所有元素除aij外外都为零，则该行列式等于都为零，则该行列式等于aij与它的代数余子式与它的代数余子式Aij的的乘积，即乘积，即1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开第11页，此课件共30页哦定理定理1 1 行列式等于它的行列式等于它的任一行（列）任一行（列）的的各元素各元素与与其对其对应的应的代数余子式代数余子式乘积乘积之之和和，即，即 展开定理说明展开定理说明：n阶行列式可表示为阶行列式可表示为n个特殊的个特殊的n-1阶行列式的代数和的形式；阶行列式的代数和的形式；反过来，反过来，这种代数和的形式也可理解为一个这种代数和的形式也可理解为一个n阶行列式。阶行列式。或或1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开第12页，此课件共30页哦证明：证明：设设定理定理1 1 行列式等于它的行列式等于它的任一行（列）任一行（列）的的各元素各元素与与它它对应的对应的代数余子式代数余子式乘积乘积之之和和，即，即或或1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开式式式式第13页，此课件共30页哦式证毕，同理可证式证毕，同理可证式式第14页，此课件共30页哦推论推论 行列式行列式任一行（列）任一行（列）的元素与的元素与另一行（列）另一行（列）的对应元的对应元素的代数余子式乘积之和等于素的代数余子式乘积之和等于零零，即，即定理定理1 1 行列式等于它的任一行（列）的行列式等于它的任一行（列）的各元素各元素与与它对应它对应的的代数余子式代数余子式乘积乘积之之和和，即，即或或1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开或或 证明见后。证明见后。第15页，此课件共30页哦推论推论 行列式行列式任一行（列）任一行（列）的元素与的元素与另一行（列）另一行（列）的对的对应元素的代数余子式乘积之和等于应元素的代数余子式乘积之和等于零零，即，即或或1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开证明证明 将行列式中第将行列式中第j j行的元素换成第行的元素换成第i i行的元素，则得到一个有两行行的元素，则得到一个有两行相同的行列式相同的行列式D D1 1，且，且D D1 1=0=0，再将，再将D D1 1按按j j行展开得行展开得 .同理，可证同理，可证D D1 1按列展开的情形按列展开的情形.第16页，此课件共30页哦关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质:其中其中 1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开第17页，此课件共30页哦注：按注：按行（列）展开行（列）展开计算行列式的方法称为计算行列式的方法称为降阶法降阶法.例例1 1 试按试按第三列第三列展开计算行列式展开计算行列式 解：解：将将DD按第三列展开，则有按第三列展开，则有其中其中 第18页，此课件共30页哦1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开二、用降阶法计算行列式二、用降阶法计算行列式 直接应用行直接应用行(列列)展开法计算行列式，计算工作量较大，尤其是高阶展开法计算行列式，计算工作量较大，尤其是高阶行列式，行列式，因此，计算行列式时，因此，计算行列式时，可先用行列式的性质将行列式中某可先用行列式的性质将行列式中某一行一行(列列)化为仅含有一个非零元素，再按此行化为仅含有一个非零元素，再按此行(列列)展开，变为低一阶展开，变为低一阶的行列式，的行列式，如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.第19页，此课件共30页哦例例2 2 计算行列式计算行列式 1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开解：解：第20页，此课件共30页哦例例3 3 计算行列式计算行列式 1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开解：解：第21页，此课件共30页哦例例4 4 求证求证 1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开第22页，此课件共30页哦证：证：n阶阶第23页，此课件共30页哦n-1阶阶第24页，此课件共30页哦证毕。证毕。n-1阶阶第25页，此课件共30页哦 分析分析例例5 5证明证明范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式 一共有多少乘积项一共有多少乘积项?所有所有后项减前项的乘积。后项减前项的乘积。1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开第26页，此课件共30页哦 证证用数学归纳法用数学归纳法例例5 5证明证明范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式第27页，此课件共30页哦从第从第n行开始，依次用后一行减去前一行的行开始，依次用后一行减去前一行的 x1 倍，于是得倍，于是得第28页，此课件共30页哦第29页，此课件共30页哦 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式第30页，此课件共30页哦