极限的计算极限的概念.ppt

,第二章 极限的计算,第一节 极限的概念,1.1 数列的极限,利用圆内接正多边形来推算圆面积割圆术:,圆内接正六边形面积,圆内接正十二边形面积,圆内接正二十四边形的面积,面积值构成一列有次序的数,一、数列极限的定义,1.问题的引入,内接正多边形与圆的差别越小,内接正多边形无限接近于圆,例如,2.数列的定义,从几何上看,数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动点在数轴上依次取,数列是自变量取正整数的函数,观察重点:,3.数列极限(sequence limit)的定义,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察得:,方法: 两数之间的接近程度可以用两数之差的绝对值(即距离)来表示.,数列极限的定义:,例如,趋势不定,收 敛,发 散,关于定义的说明:,(3) 几何解释:,(4) 极限概念的简写形式,(5) 数列极限的定义未给出如何求数列的极限.,二、无穷大量与无穷小量,“任意大”就是不论事先指定一个多么大的正数，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，变量的绝对值就可以大于那个事先指定的大正数。,1.无穷大量,定义 如果对于任意给定的正数E，变量y在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式 |y|E恒成立，则称变量y是无穷大量，或称变量y趋于无穷大。记作 lim y=。,再如：,1.无穷大是一个变量，而不是数。,2.函数的极限是无穷大,表明其 极限不存在。,注意:,以0为极限的变量 y 称为无穷小量。,定义2.9 对于任意给定的正数e ，如果在变量y的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，总有不等式 |y|e ，则称变量y为无穷小量。,所以当 x0时，变量 y=x2 为无穷小量。,为无穷小量。,所以当x-时，变量ex为无穷小量。,2.无穷小量,例1,例2,例3,注意：,1）无穷小是一个以0为极限的变量，而不是一个数,因而0是无穷小。,2）当 时，满足无穷小的定义，,定理2.6 如果变量a是无穷小量，变量y是有界变量，则变量ay是无穷小量。,定理2.5 变量y以A为极限的必要充分条件是：变量y可以表示为A与一个无穷小量的和。即lim y=Ay=A+a，其中lim a=0。,无穷小量的性质（了解）,同理可证(2)。,定理 在变量y的变化过程中，有,证：(1)设y是无穷大量，,则对于任意给定的e0，,总有那么一个时刻，,在那个时刻以后，恒有,3.无穷小量与无穷大量的关系,3.,