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第二章系统的状态空间描述2009-081现在学习的是第1页，共81页2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。（如果用最少的（如果用最少的n个变量个变量x1(t)，x2(t)，xn(t)就能完全描述系统的就能完全描述系统的状态，那么这状态，那么这n个变量就是一组状态变量。）个变量就是一组状态变量。）3、状态向量：设一个系统有、状态向量：设一个系统有n个状态变量，即个状态变量，即x1(t)，x2(t)，xn(t)，用这，用这n个状态变量作为分量构成的向量个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向称为该系统的状态向量。记为量。记为 现在学习的是第2页，共81页2-1 状态空间的基本概念4、引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统、引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。从结构的角度讲，一个动力学系统可用的状态空间描述了。从结构的角度讲，一个动力学系统可用图图2-1所示的方块图来表示。其中所示的方块图来表示。其中x(t)表征系统的状态变量，表征系统的状态变量，u(t)为为系统系统控制量控制量（即（即输入输入量），量），y(t)为系统的输出变量。为系统的输出变量。与输入与输入输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化系统状态的变化，而，而状态和状态和输入则决定了输出的变化输入则决定了输出的变化。图图2-1 动力学系统结构示意图动力学系统结构示意图现在学习的是第3页，共81页2-1 状态空间的基本概念5、状态方程：、状态方程：状态变量的一阶导数状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。统的状态方程。例：设单输入线性定常系统例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant)的状态变量为的状态变量为x1(t)，x2(t)，xn(t)，输入为输入为u(t),则一般形式的状态方程为：则一般形式的状态方程为：现在学习的是第4页，共81页2-1 状态空间的基本概念u上式可写成向量上式可写成向量矩阵形式：矩阵形式：系统矩阵，表示系内部状态的联系。或或输入矩阵或控制矩阵，表示输入对状态的作用。现在学习的是第5页，共81页2-1 状态空间的基本概念6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。方程。例：单输出线性定常系统例：单输出线性定常系统 其向量其向量矩阵形式为：矩阵形式为：现在学习的是第6页，共81页2-1 状态空间的基本概念7、状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达、状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程。它是对系统的一种完全的描述。式，又称为动态方程。它是对系统的一种完全的描述。例：例：SISO系统状态空间表达式：系统状态空间表达式：注意：由于注意：由于A、B、C、D矩阵完整地表征了系统的动态特性，所以有时把一个确定的系矩阵完整地表征了系统的动态特性，所以有时把一个确定的系统简称为系统统简称为系统。系统矩阵系统矩阵A：表示系统内部各状态变量之间的关联情况。：表示系统内部各状态变量之间的关联情况。输入矩阵（或控制矩阵）输入矩阵（或控制矩阵）B：表示输入对每个状态变量的作用情况。：表示输入对每个状态变量的作用情况。输出矩阵输出矩阵C：表示输出与每个状态变量之间的组成关系。：表示输出与每个状态变量之间的组成关系。前馈矩阵前馈矩阵D：表示输入对输出的直接传递关系。一般控制系统中，通常情况：表示输入对输出的直接传递关系。一般控制系统中，通常情况D=0。MIMO系统状态空间表达式：系统状态空间表达式：现在学习的是第7页，共81页2-1 状态空间的基本概念8、状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统、状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法，称为状态空间分析法或状态变量法。的方法，称为状态空间分析法或状态变量法。状态空间表达式状态空间表达式的结构图如下：的结构图如下：图图2 22 2 系统动态方程的方块图结构系统动态方程的方块图结构现在学习的是第8页，共81页2-2 2-2 线性系统状态空间表达式的建立线性系统状态空间表达式的建立线性系统状态空间表达式的一般形式：线性系统状态空间表达式的一般形式：连续系统：用线性微分方程来描述连续系统：用线性微分方程来描述离散系统：用差分方程来描述离散系统：用差分方程来描述现在学习的是第9页，共81页2-2 线性系统状态空间表达式的建立一、状态空间表达式的模拟结构图一、状态空间表达式的模拟结构图 在状态空间分析中，采用模拟计算机的模拟结构图来表示各状态变量在状态空间分析中，采用模拟计算机的模拟结构图来表示各状态变量之间的信息传递关系，这对于建立系统的状态空间表达式很有帮助。之间的信息传递关系，这对于建立系统的状态空间表达式很有帮助。状态空间表达式的模拟结构图有三种基本符号：状态空间表达式的模拟结构图有三种基本符号：（1）积分器）积分器（3）比例器）比例器（2）加法器）加法器现在学习的是第10页，共81页2-2 线性系统状态空间表达式的建立线性系统状态空间表达式的建立（1）积分器）积分器（3）比例器）比例器（2）加法器）加法器现在学习的是第11页，共81页【例【例2.2.1】已知系统动态方程如下，试画出系统结构图。】已知系统动态方程如下，试画出系统结构图。2-2 2-2 线性系统状态空间表达式的建立线性系统状态空间表达式的建立解：写成向量解：写成向量矩阵形式矩阵形式，其中：其中：现在学习的是第12页，共81页2-2 2-2 线性系统状态空间表达式的建立u系统结构图（或状态变量图）如下：系统结构图（或状态变量图）如下：系统结构图（用基本单元来模拟动态方程）现在学习的是第13页，共81页二、状态空间表达式的的建立二、状态空间表达式的的建立，四种方法四种方法:2-2 线性系统状态空间表达式的建立线性系统状态空间表达式的建立现在学习的是第14页，共81页1、由控制系统的结构图求系统动态方程由控制系统的结构图求系统动态方程系统结构图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系系统结构图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。要将系统结构图模型转的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。要将系统结构图模型转化为化为状态空间表达式状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：，一般可以由下列三个步骤组成：第一步：在系统结构图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器第一步：在系统结构图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（）、比例器（k）及加法器组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式）及加法器组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。组成整个控制系统。第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s）的）的输出输出作为一个独立的状态变作为一个独立的状态变量量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从结构图写出程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从结构图写出系统的输出方程。系统的输出方程。2-2.1 2-2.1 由控制系统的结构图求系统动态方程由控制系统的结构图求系统动态方程现在学习的是第15页，共81页【例例2.2.2】某控制系统的结构图如图某控制系统的结构图如图23（a）所示，试求出其动态方程。）所示，试求出其动态方程。，（a）解解:u该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。u对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。反馈系统。u图图2-3（a）所示结构图经等效变换后如图）所示结构图经等效变换后如图2-3（b）所示）所示图图2-3 控制系统结构图控制系统结构图2-2.1 2-2.1 由控制系统的结构图求系统动态方程由控制系统的结构图求系统动态方程现在学习的是第16页，共81页（b）（a）u图图2-3（a）所示结构图经等效变换后如图）所示结构图经等效变换后如图2-3（b）所示）所示(b)2-2.1 2-2.1 由控制系统的结构图求系统动态方程由控制系统的结构图求系统动态方程现在学习的是第17页，共81页取取y为系统输出，输出方程为：为系统输出，输出方程为：写成矢量形式，我们得到系统动态方程：写成矢量形式，我们得到系统动态方程：（b）u 我们取每个积分器的输出端信号为状态变量和，我们取每个积分器的输出端信号为状态变量和，积分器的输入端即和。从图可得积分器的输入端即和。从图可得系统状态方程系统状态方程2-2.1 2-2.1 由控制系统的结构图求系统动态方程由控制系统的结构图求系统动态方程现在学习的是第18页，共81页【例【例2.2.3】求如图所示系统的动态方程。求如图所示系统的动态方程。（b）第一次等效变换）第一次等效变换（a）系统方块图）系统方块图（c）由标准积分器组成）由标准积分器组成的等效方块图的等效方块图2-2.1 2-2.1 由控制系统的结构图求系统动态方程由控制系统的结构图求系统动态方程现在学习的是第19页，共81页解：图解：图(a)第一个环节第一个环节 可以分解为可以分解为，即分解为两个通道，如图，即分解为两个通道，如图(b)左侧点划线所左侧点划线所框部分。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图框部分。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图(b)右侧双点右侧双点划线所框部分。划线所框部分。进一步，我们可以得到图进一步，我们可以得到图(c)所示所示的由标准积分器组成的等效结构图。的由标准积分器组成的等效结构图。依次取各个积分器的输出端信号为系依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量统状态变量，由图，由图(c)可得系统状态可得系统状态方程：方程：2-2.1 2-2.1 由控制系统的结构图求系统动态方程由控制系统的结构图求系统动态方程现在学习的是第20页，共81页由图可知，由图可知，系统系统输出输出写成矢量形式，得到系统动态方程：写成矢量形式，得到系统动态方程：2-2.1 2-2.1 由控制系统的结构图求系统动态方程由控制系统的结构图求系统动态方程现在学习的是第21页，共81页2 2、根据物理定律建立实际系统的动态方程、根据物理定律建立实际系统的动态方程一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般先要建立一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程其运动的数学模型（微分方程(组组)、传递函数、动态方程等）。根据具体系统结构及其研、传递函数、动态方程等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。【例例2.2.4】RLC电路如图所示电路如图所示.系统的控制输入量为系统的控制输入量为u(t)，系统输出为，系统输出为。建立系统的动态。建立系统的动态方程。方程。u(t)uc(t)iLRC解：该解：该RLC电路有两个独立的储能元件电路有两个独立的储能元件L和和C，设回路电流为，设回路电流为，根据基尔霍夫电压定律，根据基尔霍夫电压定律和和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：元件的电压电流关系，可得到下列方程：2-2.2 2-2.2 根据物理定律建立实际系统动态方程根据物理定律建立实际系统动态方程现在学习的是第22页，共81页 （1）我们可以取流过）我们可以取流过电感电感L的电流的电流 和和电容电容C两端电压两端电压 作为系统的两个状态变量，分作为系统的两个状态变量，分别记作别记作 和和 整理有整理有写成向量矩写成向量矩阵阵形式形式为为：2-2.2 2-2.2 根据物理定律建立实际系统动态方程根据物理定律建立实际系统动态方程现在学习的是第23页，共81页整理有整理有写成向量矩写成向量矩阵阵形式形式为为：（2）设状态变量）设状态变量 2-2.2 2-2.2 根据物理定律建立实际系统动态方程根据物理定律建立实际系统动态方程现在学习的是第24页，共81页（3 3）设设状状态变态变量量 整理有：整理有：写成向量矩写成向量矩阵阵形式形式为为：注意：选取不同的状态变量，便会有不注意：选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式，同的状态空间表达式，并且各状态空间表达式之间存在着某种并且各状态空间表达式之间存在着某种线性关系。线性关系。2-2.2 2-2.2 根据物理定律建立实际系统动态方程根据物理定律建立实际系统动态方程现在学习的是第25页，共81页3 3、由系统的微分方程建立状态空间表达式、由系统的微分方程建立状态空间表达式从描述系统输入输出动态关系的高阶微分方程或传递函数出发从描述系统输入输出动态关系的高阶微分方程或传递函数出发建立与之等效的状态空间表达式的问题，称为建立与之等效的状态空间表达式的问题，称为“实现问题实现问题”。关。关于实现问题的详细内容，我们将在后面的章节中讨论。于实现问题的详细内容，我们将在后面的章节中讨论。注意：实现是非唯一的。注意：实现是非唯一的。（1）输入量中不含导数项）输入量中不含导数项SISOSISO线线性定常性定常连续连续系系统统微分方程的一般形式微分方程的一般形式为为：2-2.3 2-2.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式现在学习的是第26页，共81页第一步：第一步：选择选择状状态变态变量（量（选择选择n n个状个状态变态变量量）,令：令：第二步：化高第二步：化高阶阶微分方程微分方程为为的一的一阶阶微分方程微分方程组组。2-2.3 2-2.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式现在学习的是第27页，共81页第三步：将方程第三步：将方程组组表示表示为为向量向量矩矩阵阵形式：形式：其中：其中：注注 意：矩意：矩阵阵A A为为友矩友矩阵阵。友矩。友矩阵阵的特点：的特点：主主对对角角线线上方元素上方元素为为1 1，最后一行的元素，最后一行的元素可以任意取，而其可以任意取，而其余的元素均余的元素均为为零。零。系系统结统结构构图图 2-2.3 2-2.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式现在学习的是第28页，共81页【例例2.2.52.2.5】已知已知，试试列写列写动态动态方程。方程。状状态态方程：方程：输输出方程：出方程：状状态态空空间间表达式表达式为为：其中：其中：解：解：选选状状态变态变量量2-2.3 2-2.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式现在学习的是第29页，共81页【例例2.2.62.2.6】已知系已知系统结统结构构图图如下，如下，试试求求闭环闭环状状态态空空间间表达式。表达式。解：解：故微分方程故微分方程为为：选选状状态变态变量量:状状态态方程：方程：输输出方程：出方程：2-2.3 2-2.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式现在学习的是第30页，共81页其中：其中：2-2.3 2-2.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式现在学习的是第31页，共81页（2 2）输输入量中含入量中含导导数数项项SISOSISO线线性定常性定常连续连续系系统统的一般形式：的一般形式：取取 状状态态空空间间表达式表达式为为：其中：其中：2-2.3 2-2.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式现在学习的是第32页，共81页这这里里可用可用待定系数法待定系数法确定，即：确定，即：注注 意：意：这这种方法不种方法不实实用。用。可先将微分方程画可先将微分方程画为传递为传递函数，然后再由函数，然后再由传递传递函数建立状函数建立状态态空空间间表达式。表达式。2-2.3 2-2.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式由系统的微分方程建立状态空间表达式现在学习的是第33页，共81页4 4、由传递函数建立状态空间表达式、由传递函数建立状态空间表达式SISOSISO系统传递函数为：系统传递函数为：应应用用综综合除法有：合除法有：SISOSISO系系统结统结构构图图上式中的上式中的就是就是中的中的，即，即2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第34页，共81页（1 1）串串联联分解的情况分解的情况 其中：其中：将将分解分解为为两部分串两部分串联联，为为中中间变间变量，量，应满应满足：足：选选取状取状态变态变量：量：2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第35页，共81页输输出方程出方程为为：向量向量矩矩阵阵形式的状形式的状态态空空间间表达式表达式为为：其中：其中：上述状上述状态态空空间间表达式称表达式称为为可控可控标标准型准型。2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第36页，共81页当当时时，不不变变，唯，唯变变化。化。现在学习的是第37页，共81页另外，另外，还还可以可以选选另一另一组组状状态变态变量。量。设设 经经整理有如下状整理有如下状态态方程：方程：输输出方程出方程为为：现在学习的是第38页，共81页向量向量矩矩阵为阵为 上述状态空间表达式称为可观测标准型。上述状态空间表达式称为可观测标准型。现在学习的是第39页，共81页串串联联分解分解对对偶的状偶的状态变态变量量图图（可（可观测标观测标准型）准型）可可观测标观测标准型和可控准型和可控标标准型准型动态动态方程的各矩方程的各矩阵阵存在如下关系：存在如下关系：2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第40页，共81页【例例2.2.72.2.7】已知系已知系统传递统传递函数函数为为解：采用解：采用传递传递函数串函数串联联分解法：分解法：整理有：整理有：整理有：整理有：令：令：试试求状求状态态空空间间表达式。表达式。2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第41页，共81页状态空间表达式为状态空间表达式为:式中：式中：，可控可控标标准型状准型状态变态变量量图图2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第42页，共81页根据根据对对偶原理，也可写出可偶原理，也可写出可观测标观测标准型：准型：式中：式中：，可可观测标观测标准型状准型状态变态变量量图图2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第43页，共81页【例例2.2.8】已知系已知系统传递统传递函数函数为为试试求状求状态态空空间间表达式。表达式。（1）可控）可控标标准型状准型状态态空空间间表达式表达式为为：其中：其中：（2）可）可观测标观测标准型状准型状态态空空间间表达式表达式为为：其中：其中：解：解：2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第44页，共81页只含只含单实单实极点的情况极点的情况可分解可分解为为式中式中为为n阶阶系系统统的的单实单实极点，极点，则则可化可化为对为对角角标标准型。准型。式中：式中：设设那么那么传递传递函数可展成：函数可展成：取状取状态变态变量：量：整理后有：整理后有：，即状即状态态方程方程为为：2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第45页，共81页只含只含单实单实极点的情况极点的情况可分解可分解为为式中式中为为n阶阶系系统统的的单实单实极点，极点，则则可化可化为对为对角角标标准型。准型。设设那么那么传递传递函数可展成：函数可展成：现在学习的是第46页，共81页又有：又有：即即输输出方程出方程为为：向量向量矩矩阵阵形式形式为为：2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第47页，共81页对对角形角形动态动态方程的状方程的状态变态变量量图为图为：由于由于uiyi等价于 对对角形角形动态动态方程的状方程的状态变态变量量图图2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第48页，共81页【例例2.2.92.2.9】已知系已知系统传递统传递函数函数为为解：解：其中：其中：动态动态方程方程为为：试试求状求状态态空空间间表达式。表达式。2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第49页，共81页（3 3）含重含重实实极点的情况极点的情况中含重中含重实实极点极点时时，不，不仅仅可以化可以化为为可控、可可控、可观测标观测标准型准型，当当还还可以化可以化为约为约当形当形动态动态方程。例如：方程。例如：2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第50页，共81页2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第51页，共81页【例例2.2.102.2.10】已知系已知系统传递统传递函数函数为为，试试求求约约当型状当型状态态空空间间表达式。表达式。其中：其中：动态动态方程方程为为：，即即 解：解：2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第52页，共81页2【例例2.2.112.2.11】已知系已知系统传递统传递函数函数为为，试试求求约约当型状当型状态态空空间间表达式。表达式。其中：其中：解：解：2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第53页，共81页 动态动态方程方程为为：，特特别别注意：状注意：状态态空空间间表达式表达式可按如下公式可按如下公式导导出出传递传递函数函数 2-2.4 2-2.4 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 现在学习的是第54页，共81页2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型型一、状态空间表达式的线性变换一、状态空间表达式的线性变换u系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还是从系系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还是从系统结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量统结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性的选取方面都带有很大的人为的随意性;u实际物理系统虽然实际物理系统虽然结构不可能变化结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；生不同的动态方程；u系统结构图在取状态变量之前需要进行等效变换，而系统结构图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就等效变换过程就有很大程度上的随意性有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；也会导致动态方程差异的产生；u从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的同的系统内部结构系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。所以说同的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。所以说同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程。一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程。现在学习的是第55页，共81页1、非奇异线性变换、非奇异线性变换我我们总们总可以找到某个非奇异矩可以找到某个非奇异矩阵阵P P，将原状将原状态态向量向量 作作线线性性变换变换，得到另一个新的状，得到另一个新的状态态向量向量 ,令令变换变换前系前系统动态统动态方程方程为为：变换变换后系后系统动态统动态方程方程为为：式中：式中：对对于状于状态态向量向量2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第56页，共81页特特别别提示提示：有些教材中，做如下：有些教材中，做如下线线性性变换变换：变换变换前系前系统动态统动态方程方程为为：变换变换后系后系统动态统动态方程方程为为：式中：式中：与上面与上面线线性性变换变换相比，两者只是形式不同。相比，两者只是形式不同。为为在在讲讲授授过过程中程中方便方便讲讲解，我解，我们们将一直采用将一直采用 这这种种线线性性变换变换。2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第57页，共81页2、非奇异线性变换的不变特性、非奇异线性变换的不变特性 线性定常系统经非奇异变换后，其特征多项式、特征方程、传线性定常系统经非奇异变换后，其特征多项式、特征方程、传递函数不变。递函数不变。2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型型现在学习的是第58页，共81页二、系统特征值和特征向量（预备知识）二、系统特征值和特征向量（预备知识）定义：定义：设设A A是一个是一个nxn的矩阵，若在向量空间中存在一非零向量的矩阵，若在向量空间中存在一非零向量v v，使，使 则则称称 为为 的特征的特征值值，任何，任何满满足足 的非零向量的非零向量 称称为为 的的对应对应于于 特征特征值值的特征向量。的特征向量。1 1、特征、特征值值的的计计算算【例例2.3.12.3.1】求下列矩求下列矩阵阵的特征的特征值值。2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第59页，共81页 解出特征解出特征值值解：解：2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第60页，共81页2 2、特征向量的、特征向量的计计算算【例例2.3.22.3.2】求下列矩求下列矩阵阵的特征向量的特征向量解：（解：（1 1）A A的特征的特征值值在上例中已求出在上例中已求出 的特征向量的特征向量 （2 2）计计算算对应对应于特征于特征值值，有，有设设，即有，即有 2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第61页，共81页 令令 :，则则的特征向量的特征向量（3 3）同理可算出）同理可算出 的特征向量的特征向量计计算整理后有：算整理后有：解出：解出：2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型准型现在学习的是第62页，共81页三、三、动态动态方程的几种方程的几种标标准型准型1 1、动态动态方程的方程的对对角角标标准型准型对对于于线线性系性系统统若若A A的特征的特征值值是互异的，是互异的，则则必存在非奇异必存在非奇异变换变换矩矩阵阵P P 使原状使原状态态空空间间表达式表达式变换为对变换为对角角标标准型。准型。式中：式中：其中，其中，是矩是矩阵阵A A的特征的特征值值。2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型型现在学习的是第63页，共81页变换变换矩矩阵阵P P由由A A的特征向量的特征向量构造，即构造，即 分分别为对应别为对应于特征于特征值值的特征向量。的特征向量。【例例2.3.32.3.3】试试将下列将下列动态动态方程方程变换为对变换为对角角标标准型。准型。解：（解：（1 1）A A的特征的特征值值和特征向量已在前面两例中算出：和特征向量已在前面两例中算出：2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型型现在学习的是第64页，共81页（2 2）用）用构造构造变换变换矩矩阵阵P P，并求，并求。（3 3）计计算算2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型准型现在学习的是第65页，共81页于是于是变换变换后的后的动态动态方程方程为为：注注 意：意：如果原状如果原状态态空空间间表达式中的表达式中的A A阵为阵为友矩友矩阵阵，且有，且有n n个互异个互异实实数特征数特征值值，那么使那么使A A变换为对变换为对角形矩角形矩阵阵的的变换阵变换阵P P是一个范德蒙是一个范德蒙（VandermondeVandermonde）矩）矩阵阵：2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型型现在学习的是第66页，共81页【例例2.3.42.3.4】试试将下列将下列动态动态方程方程变换为对变换为对角角标标准型。准型。解：系解：系统统特征多特征多项项式式为为，解出特征，解出特征值为值为由于由于A A为为友矩友矩阵阵，并且有互异，并且有互异实实特征特征值值，故而，故而变换变换矩矩阵阵可直接写可直接写为为如下形式：如下形式：2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型型现在学习的是第67页，共81页于是于是变换变换后的后的动态动态方程方程为为：【例例2.3.52.3.5】试试将下列将下列动态动态方程方程变换为对变换为对角角标标准型。准型。2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型型现在学习的是第68页，共81页解：采用另一种方法：解：采用另一种方法：（1 1）系）系统统特征多特征多项项式式为为，解出特征，解出特征值为值为（2 2）可由）可由，进进而求出而求出。令：。令：并并带带入入，有，有 2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第69页，共81页解出解出，则则（3 3）计计算算 2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型准型现在学习的是第70页，共81页2 2、动态动态方程的方程的约约当当标标准型准型如果如果A A阵阵具有重具有重实实特征根，又可分特征根，又可分为为两种情况：两种情况：A A阵阵虽虽有重特征有重特征值值，但矩，但矩阵阵A A仍然仍然有有n n个独立的特征向量个独立的特征向量。这这种情况同特征种情况同特征值值互异互异时时一一样样，仍可以把，仍可以把A A划分划分为对为对角角标标准型。准型。另一种情况是另一种情况是矩矩阵阵A A不但具有重特征不但具有重特征值值，而且其，而且其独立特征向独立特征向量的个数也低于量的个数也低于n n。对对于于这这种情况，种情况，A A阵虽阵虽不能不能变换为对变换为对角角标标准型，但可准型，但可以以变换为约变换为约当当标标准型。准型。2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型型现在学习的是第71页，共81页（1 1）约约当当块块和和约约当当阵阵 形如形如、的矩的矩阵阵，称，称为约为约当当块块。由若干个由若干个约约当当块组块组成的准成的准对对角角线线矩矩阵阵称称为约为约当矩当矩阵阵。如。如 2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第72页，共81页（2 2）设设A A阵阵具有具有m m重重实实特征特征值值，且只有一个独立，且只有一个独立实实特征向量特征向量与之与之对应对应，则则只能使只能使A A化化为约为约当当阵阵J J。变换变换矩矩阵阵式中式中是是的广的广义实义实特征向量，特征向量，满满足：足：，是互异特征是互异特征值对应值对应的的实实特征向量。特征向量。2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第73页，共81页【例例2.3.62.3.6】试试将下列将下列动态动态方程方程变换为约变换为约当当标标准型。准型。解：解：（1 1）系）系统统特征多特征多项项式式为为解出特征解出特征值为值为 （2 2）对应对应于特征于特征值值的特征向量的特征向量，有，有，即，即解出：解出：2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型型现在学习的是第74页，共81页由于由于，故，故对应对应特征特征值值的独立特征向量只有一个的独立特征向量只有一个(因因为为)，另一个，另一个为为广广义义特征向量，特征向量，设为设为，根据，根据 即即 解出此方程解出此方程组组 2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第75页，共81页最后确定最后确定的特征向量的特征向量解出：解出：（3 3）构造）构造变换阵变换阵P P：2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型型现在学习的是第76页，共81页（4 4）计计算算（3 3）设设A A为为友矩友矩阵阵，具有，具有m m重重实实特征特征值值，且只有一个独立，且只有一个独立实实特征向量特征向量与之与之对应对应，则则使使A A化化为约为约当当阵阵J J的的变换阵变换阵P P为为：2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型准型现在学习的是第77页，共81页其中：其中：【例例2.3.72.3.7】试试将下列将下列动态动态方程方程变换为约变换为约当当标标准型。准型。解：解：（1 1）系）系统统特征多特征多项项式式为为解出特征解出特征值为值为2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第78页，共81页（2 2）构造）构造变换阵变换阵P P 由于由于A A为为友矩友矩阵阵，故，故因此因此（3 3）计计算算2-3 2-3 线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型现在学习的是第79页，共81页（4 4）设设A A具有重具有重实实特征特征值值，即，即且且满满足足,那么那么则则使使A A化化为约为约当当阵阵的的变换阵变换阵P P为为：式中各分量可由如下公式确定：式中各分量可由如下公式确定：2-3 2-3