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第十五章数字电路的基础知识学时本讲稿第一页，共七十九页模拟信号：模拟信号：时间上连续：任意时刻有一个相对的值。数值上连续：可以是在一定范围内的任意值。例如：电压、电流、温度、声音等。真实的世界是模拟的。缺点：很难度量；容易受噪声的干扰；难以保存。优点：用精确的值表示事物。模拟电路：处理和传输模拟信号的电路。三极管工作在线性放大区。概概 述述2022/10/132本讲稿第二页，共七十九页数字信号：数字信号：时间上离散：只在某些时刻有定义。数值上离散：变量只能是有限集合的一个值，常用0、1二进制数表示(二值数字逻辑)。例如：事件的真与假、开关的通与断、电压的高与低。数字信号在电路中常表现为数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。突变的电压或电流。001100010101012022/10/133本讲稿第三页，共七十九页 有两种逻辑体制：有两种逻辑体制：正逻辑体制正逻辑体制规定：高电平为逻辑规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑，低电平为逻辑0。负逻辑体制负逻辑体制规定：低电平为逻辑规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑，高电平为逻辑0。正逻辑与负逻辑：正逻辑与负逻辑：数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。如果采用正逻辑，左上图所示的数字电压信号就成为右下图如果采用正逻辑，左上图所示的数字电压信号就成为右下图所示逻辑信号。所示逻辑信号。2022/10/134本讲稿第四页，共七十九页数字化时代：音乐：CD、MP3电影：MPEG、RM、DVD数字电视数字照相机数字摄影机手机数字电路：数字电路：处理和传输数字信号的电路。三极管工作在开关状态，即饱和区或截止区。2022/10/135本讲稿第五页，共七十九页会议电视会议电视数字移动蜂窝电话数字移动蜂窝电话家庭信息中心家庭信息中心虚拟教育虚拟教育数字相机数字相机自动驾驶汽车自动驾驶汽车视觉感应器视觉感应器数据存储与处理数据存储与处理返回返回2022/10/136本讲稿第六页，共七十九页15-1 15-1 数和数制数和数制一、十进制 v数字符号（系数）：0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9v计数规则：逢十进一v基数：1010v权：1010的幂 例：（19991999）10 10 =（1101103 3+910+9102 2+910+9101 1+910+9100 0）1010数码数码数码数码：由数字符号构成且表示物理量大小的数字和数字组合。计数制计数制计数制计数制（简称数制）：多位数码中每一位的构成方法，以及从低位到高位的进制规则。2022/10/137本讲稿第七页，共七十九页二、二进制二、二进制 v数字符号：0、1v计数规则：逢二进一v基数：2v权：2的幂一般形式为：（N）2=（bn-1bn-2b 1b0）2 =(bn-12n-1bn-22n-2b121b020)10例：（1011101）2=（126+025+124+123+122+021+120）10 =（64+0+16+8+4+0+1）10 =（93）10数值越大，位数越多，读写不方便，容易出错！2022/10/138本讲稿第八页，共七十九页三、八进制三、八进制 v数字符号：07v计数规则：逢八进一v基数：8v权：8的幂例：（127）8=（182+281+780）10 =（64+16+7）10 =（87）102022/10/139本讲稿第九页，共七十九页四、四、十六进制十六进制 v数字符号：09、A、B、C、D、E、Fv计数规则：逢十六进一v基数：16v权：16的幂例：（5D）16=（5161+13160）10 =（80+13）10 =（93）102022/10/1310本讲稿第十页，共七十九页五、五、数制转换数制转换 1、十进制数转换成二进制 整数部分的转换：除2取余法。例：求（217）10=（）（）2 解：2 217 余余1 b0 2 108 余余0 b1 2 54 余余0 b2 2 27 余余1 b3 2 13 余余1 b4 2 6 余余0 b5 2 3 余余1 b6 2 1 余余1 b7 0（217）10=（11011001）22022/10/1311本讲稿第十一页，共七十九页例：求（0.3125）10=（）2 解：0.3125 2=0.625 整数为整数为0 b-1 0.625 2=1.25 整数为整数为1 b-2 0.25 2=0.5 整数为整数为0 b-3 0.5 2=1.0 整数为整数为1 b-4 说明：有时可能小数部分无法得到0的结果，这时应根据转换精度的要求适当取一定位数。小数部分的转换：乘2 2取整法。（0.3125）10=（0.0101）22022/10/1312本讲稿第十二页，共七十九页2 2、二进制与八进制、十六进制之间的转换、二进制与八进制、十六进制之间的转换（1）二进制与八进制之间的转换 三位二进制数对应一位八进制数。（101011100101）2=（101，011，100，101）2=（5345）8（6574）8=（110，101，111，100）2=（110101111100）22022/10/1313本讲稿第十三页，共七十九页（2）二进制与十六进制之间的转换例如：（9A7E）16=（1001 1010 0111 1110）2 =（1001101001111110）2四位二进制数对应一位十六进制数。（10111010110）2=（0101 1101 0110）2 =（5D6）162022/10/1314本讲稿第十四页，共七十九页六、六、二进制码二进制码 二进制代码：具有特定意义的二进制数码。编码：代码的编制过程。BCD码：用一个四位二进制代码表示一位十进制数字的编码方法。二二十进制编码（十进制编码（BCD码）码）本讲稿第十五页，共七十九页000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数二进制数自然码自然码8421码码2421码码5421码码余三码余三码2022/10/1316本讲稿第十六页，共七十九页（1）8421码v选取00001001表示十进制数09。v按自然顺序的二进制数表示所对应的十进制数字。v是有权码，从高位到低位的权依次为8、4、2、1，故称为8421码。v10101111等六种状态是不用的，称为禁用码。例：（1985）10=（0001 1001 1000 0101）8421BCD2022/10/1317本讲稿第十七页，共七十九页（2）5421码（3）余3码选取00000100和10001100这十种状态。01010111和11011111等六种状态为禁用码。是有权码，从高位到低位的权值依次为5、4、2、1。选取00111100这十种状态。与8421码相比，对应相同十进制数均要多3（0011），故称余3码,即即是是8421BCD码的每个码组分别加上码的每个码组分别加上0011形成的形成的。其中的。其中的0和和9，1和和8，2和和7，3和和6，4和和5，各对码组相加均为，各对码组相加均为1111，具有这种特性的代码称为，具有这种特性的代码称为自自补代码补代码。2022/10/1318本讲稿第十八页，共七十九页一、基本概念一、基本概念1 1、逻辑代数、逻辑代数用类似普通代数形式研究逻辑代数是英国数学家布尔用类似普通代数形式研究逻辑代数是英国数学家布尔（G.BooleG.Boole）最早提出，所以也称为）最早提出，所以也称为布尔代数。布尔代数。又因为布又因为布尔代数中的常量、变量都只有尔代数中的常量、变量都只有“真真”（TrueTrue）和）和“假假”（FalseFalse）两种取值，所以也称为）两种取值，所以也称为二值代数二值代数。描述和研究客观世界中事物间逻辑关系的数学，它把事描述和研究客观世界中事物间逻辑关系的数学，它把事物间逻辑关系简化为物间逻辑关系简化为符号间的数学运算。符号间的数学运算。15-2 15-2 基本逻辑关系及其表示方法基本逻辑关系及其表示方法2022/10/1319本讲稿第十九页，共七十九页 2 2、逻辑状态、逻辑状态 复杂的事物在一定条件下，它的某些性质只表现为两复杂的事物在一定条件下，它的某些性质只表现为两种互不相容的状态，如开与关、是与非、真与假、有与无种互不相容的状态，如开与关、是与非、真与假、有与无等。两种状态必然出现一种且某一时刻只能出现一种。一等。两种状态必然出现一种且某一时刻只能出现一种。一种状态是另一种状态的反状态。因此可以用符号种状态是另一种状态的反状态。因此可以用符号0 0和和1 1分别分别表示这两种状态（称为表示这两种状态（称为逻辑状态逻辑状态）。）。这里的这里的1 1和和0 0不表示数值，不表示数值，只表示状态，只表示状态，通常称为通常称为0 0状态和状态和1 1状态状态 0 0状态表示逻辑条件的假或无效状态表示逻辑条件的假或无效 1 1状态表示逻辑条件的真或有效状态表示逻辑条件的真或有效2022/10/1320本讲稿第二十页，共七十九页 3 3、逻辑变量逻辑变量（即：未定的逻辑状态）（即：未定的逻辑状态）一般用英文大写字母一般用英文大写字母A A，B B，C C，表示。例如，表示。例如，“开开关关A A闭合着闭合着”，“电灯电灯F F亮着亮着”，“开关开关D D打开着打开着”等均为等均为逻辑变量逻辑变量，可分别将其记作，可分别将其记作A A，F F，D D；“开关开关B B不太灵活不太灵活”，“电灯电灯L L价格很贵价格很贵”等等均不是逻辑变量。均不是逻辑变量。4 4、逻辑值（逻辑常量）、逻辑值（逻辑常量）逻辑变量的取值，简称逻辑变量的取值，简称逻辑值逻辑值，也叫，也叫逻辑常量逻辑常量。通常。通常用用“1 1”表示表示“真真”，用，用“0 0”表示表示“假假”，或者相反。虽，或者相反。虽然然“1 1”和和“0 0”叫逻辑值或逻辑常量，叫逻辑值或逻辑常量，但是它们没有但是它们没有“大大小小”的含义，也无数量的概念。的含义，也无数量的概念。2022/10/1321本讲稿第二十一页，共七十九页5 5、逻辑电平、逻辑电平 忽略了电平物理量值的实际含义，而只识别高低的概忽略了电平物理量值的实际含义，而只识别高低的概念，通常用高电平代表逻辑念，通常用高电平代表逻辑1 1，低电平代表逻辑，低电平代表逻辑0 0。2022/10/1322本讲稿第二十二页，共七十九页二、三种基本逻辑关系（运算）二、三种基本逻辑关系（运算）1、“与与”逻辑运算（逻辑乘）逻辑运算（逻辑乘）与逻辑：与逻辑：决定事件发生的各种条件中，所有条件都具决定事件发生的各种条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。备，事件才会发生（成立）。规定规定:开关合为逻辑开关合为逻辑“1”开关断为逻辑开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0”EFAB2022/10/1323本讲稿第二十三页，共七十九页真值表：真值表：真值表特点真值表特点:有有有有0 0 则则则则0,0,全全全全1 1则则则则1 1EFAB(a)(b)A B FA BF断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合灭灭灭灭灭灭亮亮0 00 11 01 10001规定规定:开关合为逻辑开关合为逻辑“1”开关断为逻辑开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0”与运算真值表与运算真值表2022/10/1324本讲稿第二十四页，共七十九页逻辑式：逻辑式：F=AB&ABCF逻辑乘法逻辑乘法逻辑与逻辑与与逻辑（与逻辑（逻辑乘法逻辑乘法）运算）运算规则：规则：0 00=0 00=0 01=0 11=0 10=0 0=0 1 11=11=1 0 0A A=0 1=0 1A A=A A A AA A=A A 实实现现“与与运运算算”的的电电路路称称为为与与门门（AND gate），其其逻逻辑辑符符号号如如下下图图所所示示，其其中中图图(a)(a)是是我我国国常常用用的的传传统统符符号号，图图(b b)为为国国外外流流行行符符号，图号，图(c c)为国家标准符号。为国家标准符号。2022/10/1325本讲稿第二十五页，共七十九页2、“或或”逻辑运算（逻辑加）逻辑运算（逻辑加）或逻辑：或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。件具备，事件就会发生（成立）。规定规定:开关合为逻辑开关合为逻辑“1”开关断为逻辑开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0”AEFB2022/10/1326本讲稿第二十六页，共七十九页真值表：真值表：(a)(b)A B FA BF断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合灭灭亮亮亮亮亮亮0 00 11 01 10111AEFB或运算真值表或运算真值表 真值表特点真值表特点:有有1 则则1,全全0则则0逻辑式：逻辑式：F=A+B逻辑加法逻辑加法逻辑或逻辑或2022/10/1327本讲稿第二十七页，共七十九页或逻辑（逻辑加）的运算规则为：或逻辑（逻辑加）的运算规则为：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 0+A=A 1+A=1 A+A=A 逻辑加不是逻辑加不是二进制加法二进制加法2022/10/1328本讲稿第二十八页，共七十九页或门的逻辑符号或门的逻辑符号 实现实现“或运算或运算”的电路称为的电路称为或门或门，其逻辑符号如图所示其逻辑符号如图所示 1ABCF2022/10/1329本讲稿第二十九页，共七十九页3、“非非”逻辑运算（逻辑反）逻辑运算（逻辑反）“非非”逻辑：逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件不具决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。发生。规定规定:开关合为逻辑开关合为逻辑“1”开关断为逻辑开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0”AEFR2022/10/1330本讲稿第三十页，共七十九页逻辑符号：逻辑符号：逻辑非逻辑非逻辑反逻辑反AF0110真值表真值表AEFR真值表特点真值表特点:1则则0,0则则1。逻辑式：逻辑式：运算规则：运算规则：AF12022/10/1331本讲稿第三十一页，共七十九页实现实现“非运算非运算”的电路称为的电路称为非门非门，其逻辑符号如图所示：其逻辑符号如图所示：非门只有一个输入端2022/10/1332本讲稿第三十二页，共七十九页4、几种常用的逻辑关系、几种常用的逻辑关系“与与”、“或或”、“非非”是三种基本的逻辑关是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。与非：与非：条件条件A、B、C都具备，则都具备，则F 不发生。不发生。&ABCF其他几种常用的逻辑关系如下表：其他几种常用的逻辑关系如下表：2022/10/1333本讲稿第三十三页，共七十九页或非：或非：条件条件A、B、C任一具备，任一具备，则则F 不发生。不发生。1ABCF异或：异或：条件条件A、B有一个具备，有一个具备，另一个不具备则另一个不具备则F 发生。发生。=1ABCF同或：同或：条件条件A、B相同，则相同，则F 发生。发生。=1ABCF2022/10/1334本讲稿第三十四页，共七十九页一、一、公理、定律与常用公式公理、定律与常用公式公理公理交换律交换律结合律结合律分配律分配律0-1律律重叠律重叠律互补律互补律还原律还原律反演律反演律0 0=00 1=1 0=0 1 1=10+0=00+1=1+0=1 1+1=1A B=B A A+B=B +A(A B)C=A (B C)(A+B)+C=A+(B+C)自等律自等律A (B+C)=A B+A C A+B C=(A+B)(A+C)A 0=0 A+1=1A 1=A A+0=AA A=0 A+A=1A A=A A+A=AA B=A+B A+B=AB A=A吸收律吸收律消因律消因律包含律包含律合并律合并律A B+A B=A (A+B)(A+B)=A A+A B=A+B A (A+B)=AA+A B=A+B A (A+B)=A B AB+A C+BC=AB+A C(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)15-3 逻辑代数的运算规则及定理逻辑代数的运算规则及定理2022/10/1335本讲稿第三十五页，共七十九页二、逻辑函数的表示方法二、逻辑函数的表示方法逻辑函数有三种常用表示方法，分别为：逻辑函数有三种常用表示方法，分别为：逻辑代数式法逻辑代数式法逻辑代数式法逻辑代数式法 （逻辑式法）（逻辑式法）（逻辑式法）（逻辑式法）逻辑图法逻辑图法 真值表法真值表法 2022/10/1336本讲稿第三十六页，共七十九页用逻辑代数式表示逻辑函数：用逻辑代数式表示逻辑函数：F=ABC F=A+B+C 逻辑代数式法：逻辑代数式法：用逻辑变量和用逻辑变量和“与与”、“或或”、“非非”三种运算符构成的表达式来表示三种运算符构成的表达式来表示 某种逻辑关系。某种逻辑关系。特点：便于运算化简，但不直观特点：便于运算化简，但不直观真值表法：真值表法：用输入逻辑变量各种可能的取值和相应用输入逻辑变量各种可能的取值和相应 的函数值全部排列在一起而组成的表格的函数值全部排列在一起而组成的表格 来表示某种逻辑关系。来表示某种逻辑关系。2022/10/1337本讲稿第三十七页，共七十九页AFBC00001001010111010011101101111111用真值表表示逻辑函数：用真值表表示逻辑函数：特点：逻辑关系的表达直观、完整。实际数字电路、数特点：逻辑关系的表达直观、完整。实际数字电路、数 字器件都可以由真值表来给出完整的功能叙述。字器件都可以由真值表来给出完整的功能叙述。A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0强调：强调：列真值表时，输入变量的取值组合应按二进制数递列真值表时，输入变量的取值组合应按二进制数递 增增的顺序排列，以免遗漏或重复。的顺序排列，以免遗漏或重复。2022/10/1338本讲稿第三十八页，共七十九页用逻辑图表示逻辑函数用逻辑图表示逻辑函数11&1ABY&AB&CD 1F逻辑图法：逻辑图法：用规定的逻辑图形符号表示逻辑函数运用规定的逻辑图形符号表示逻辑函数运 算关系。算关系。特点：能直观的表示该逻辑函数的组成特征，但逻辑关系的特点：能直观的表示该逻辑函数的组成特征，但逻辑关系的 表达不直观。表达不直观。2022/10/1339本讲稿第三十九页，共七十九页v 另外，还可以用电平的高低的变化动态的表示逻辑另外，还可以用电平的高低的变化动态的表示逻辑 变量值的变化。称为变量值的变化。称为波形图法。波形图法。v上述三种基本的表示方法可以方便的相互转换，上述三种基本的表示方法可以方便的相互转换，便于适用不同的场合。便于适用不同的场合。v对于一给定的逻辑函数而言，其对于一给定的逻辑函数而言，其真值表真值表可可惟一惟一 确定确定，而，而逻辑表达式逻辑表达式和和逻辑图逻辑图逻辑图逻辑图可以有多种形式。可以有多种形式。2022/10/1340本讲稿第四十页，共七十九页化简依据化简依据 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性 15-4 15-4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简2022/10/1341本讲稿第四十一页，共七十九页最简式的标准最简式的标准 首先是式中首先是式中乘积项最少乘积项最少 乘积项中含的变量少乘积项中含的变量少 与或表达式的化简与或表达式的化简与门的输入端个数少与门的输入端个数少 实现电路的与门少实现电路的与门少 下级或门输入端个数少下级或门输入端个数少方法：方法：并项：并项：利用利用将两项并为一项，将两项并为一项，且消去一个变量且消去一个变量B B 消项：消项：利用利用A+AB=AA+AB=A消去多余的项消去多余的项ABAB 配项：利用配项：利用和互补律、和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项重叠律先增添项，再消去多余项BCBC 消元：利用消元：利用消去多余变量消去多余变量A A一、逻辑代数化简一、逻辑代数化简2022/10/1342本讲稿第四十二页，共七十九页二、逻辑函数的标准形式二、逻辑函数的标准形式n n个变量有个变量有2 2n n个最小项，记作个最小项，记作m mi i3 3个变量有个变量有2 23 3（8 8）个最小项个最小项m m0 0m m1 100000101m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7010011100101110111234567 一一个个 n 个个变变量量的的函函数数的的“与与项项”包包含含全全部部 n 个个变变量量，每每个个变变量量都都以以原原变变量量或或反反变变量量的的形形式式出现一次，则该出现一次，则该“与项与项”被称为最小项。被称为最小项。1、最小项定义最小项定义最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号最小项编号最小项编号i-i-各输入变各输入变量量取值取值看成看成二进制数二进制数，对应的对应的十进制数十进制数2022/10/1344本讲稿第四十四页，共七十九页0 0 1A B CA B C0 0 0m m0 0m m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 71000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项三变量的最小项 2、最小项的性质：、最小项的性质：同同一一组组变变量量取取值值，任任意意两两个个不不同同最最小小 项项的的乘积乘积为为0。即。即mi mj=0 (ij)全部全部最小项之最小项之和和为为1，即，即 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最小项最小项的值为的值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为02022/10/1345本讲稿第四十五页，共七十九页3、最小项、最小项(标准积之和）表达式标准积之和）表达式式中的每一个乘式中的每一个乘积项均为最小项积项均为最小项F(AF(A、B B、C C、D)D)例：例：求函数求函数F(AF(A、B B、C)C)的标准积之的标准积之和表达式和表达式解：解：F(AF(A、B B、C C、D)D)利用反演律利用反演律利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量CA B CA B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567F00010111例：例：已知函数的真值表，写出该函数的最小项表达式已知函数的真值表，写出该函数的最小项表达式 从从真真值值表表找找出出F为为1的的对应最小项对应最小项解解:0 1 1 1 3 1 0 1 1 5 1 1 0 1 6 1 1 1 1 7 然后将这些项逻辑加然后将这些项逻辑加F(AF(A、B B、C)C)2022/10/1346本讲稿第四十六页，共七十九页4、逻辑相邻、逻辑相邻 若两个最小项只有一个变量以原、反区别，其他变若两个最小项只有一个变量以原、反区别，其他变量均相同，则称这量均相同，则称这两个最小项逻辑相邻两个最小项逻辑相邻。2022/10/1349本讲稿第四十九页，共七十九页逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻的项可以逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子合并，消去一个因子2022/10/1350本讲稿第五十页，共七十九页 CD B 0 1将将n个输入变量的个输入变量的全部最小项全部最小项用小方块阵列图表示，并且将用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小逻辑相邻的最小项项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的变量的卡诺图卡诺图。卡诺图是一种真值表。卡诺图是一种真值表图形化的平面方格图。卡诺图的排列方案应保证能清楚地反映最小项的相邻关系。图形化的平面方格图。卡诺图的排列方案应保证能清楚地反映最小项的相邻关系。m0m2m1m3 B A 0A 1m0m2m6m4m1m3m7m5 BC A 0A 1m0m4m12m8m1m5m13m9m3m7m15m11m2m6m14m10 CDAB 00 01 11 10 BCA00 01 11 1000 01 11 10B二变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图三、三、卡诺图的构成卡诺图的构成2022/10/1352本讲稿第五十二页，共七十九页 CD B 0 1卡诺图的方格上方和左方的坐标值表示该方格所表示最小项的下卡诺图的方格上方和左方的坐标值表示该方格所表示最小项的下标，即该项对应的二进制值。标，即该项对应的二进制值。如如 4 变量卡诺图中变量卡诺图中m5 的列坐标为的列坐标为 01，行坐标也为行坐标也为 01，则坐标，则坐标 0101 对应的数值即为最小项的下标对应的数值即为最小项的下标 5。m0m2m1m3 B A 0A 1m0m2m6m4m1m3m7m5 BC A 0A 1m0m4m12m8m1m5m13m9m3m7m15m11m2m6m14m10 CDAB 00 01 11 10 BCA00 01 11 1000 01 11 10B二变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图2022/10/1353本讲稿第五十三页，共七十九页 0 1m0m2m1m3 B A 0 1m0m2m6m4m1m3m7m5 BC A 0 1m0m4m12m8m1m5m13m9m3m7m15m11m2m6m14m10 CDAB 00 01 11 1000 01 11 1000 01 11 10二变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图仔细观察可以发现，仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：卡诺图具有很强的相邻性：（1）直直观观相相邻邻性性，只只要要小小方方格格在在几几何何位位置置上上相相邻邻（不不管管上上下下左左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对对边边相相邻邻性性，即即与与中中心心轴轴对对称称的的左左右右两两边边和和上上下下两两边边的的小小方方格也具有相邻性格也具有相邻性。2022/10/1354本讲稿第五十四页，共七十九页 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB01010111输出变量输出变量Y的值的值输入变量输入变量例例1：某逻辑函数的真值表如下所示，用卡诺图表示该逻辑函数。某逻辑函数的真值表如下所示，用卡诺图表示该逻辑函数。四、用卡诺图表示逻辑函数四、用卡诺图表示逻辑函数1、从真值表到卡诺图、从真值表到卡诺图2022/10/1355本讲稿第五十五页，共七十九页逻辑相邻：逻辑相邻：相邻单相邻单元输入变量的取值元输入变量的取值只能有一位不同。只能有一位不同。0100011110 ABC00000111输入变量输入变量输出变量输出变量Y的值的值A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1例例2：某逻辑函数的真值表如下所示，用卡诺图表示该逻辑函数。某逻辑函数的真值表如下所示，用卡诺图表示该逻辑函数。注意：注意：00与与10逻辑相邻。逻辑相邻。2022/10/1356本讲稿第五十六页，共七十九页ABCD0001111000011110四变量卡诺图四变量卡诺图编号为编号为0010单单元对应于最元对应于最小项：小项：ABCD=0100时函时函数取值数取值函数取函数取0、1均均可，称为可，称为无关无关项项。只有一只有一项不同项不同例例3：无关项无关项对对于于变变量量的的某某些些取取值值组组合合，所所对对应应的的函函数数值值是是不不定定的的。通通常常约约束束项项和和任任意意项项在在逻逻辑辑函函数数中中统统称称为为无无关关项项，填填卡卡诺诺图图时时在在无无关关项项对对应应的的格格内内填填任任意意符符号号“”、“d或或“”。2022/10/1357本讲稿第五十七页，共七十九页 只只要要将将构构成成逻逻辑辑函函数数的的最最小小项项在在卡卡诺诺图图上上相相应应的的方方格格中中填填1，其其余余的的方方格格填填0(或或不不填填)，则则可可以以得得到到该该函函数数的的卡卡诺诺图图。也也就就是是说说，任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数都都等等于于其其卡诺图上填卡诺图上填1的那些最小项之和。的那些最小项之和。2、从逻辑表达式到卡诺图、从逻辑表达式到卡诺图（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图2022/10/1358本讲稿第五十八页，共七十九页例例1：用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 ABC01000111101 11 11 10 00 00 00 01 12022/10/1359本讲稿第五十九页，共七十九页例例2：用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数:解：解：写成简化形式：写成简化形式：然后填入卡诺图：然后填入卡诺图：2022/10/1360本讲稿第六十页，共七十九页（2）如如果果表表达达式式不不是是最最小小项项表表达达式式，但但属属于于“与与或或”表表达达式式，可将其先可将其先化成最小项表达式化成最小项表达式，再填入卡诺图。，再填入卡诺图。例例1：用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数:解：解：写成最小项形式：写成最小项形式：2022/10/1361本讲稿第六十一页，共七十九页（2）如如果果表表达达式式不不是是最最小小项项表表达达式式，但但属属于于“与与或或”表表达达式，式，也可直接填入。也可直接填入。方法：方法：将一般将一般“与或与或”式中式中每个与项在卡诺图上所覆盖的最每个与项在卡诺图上所覆盖的最小项处都填小项处都填1 1，其余的填，其余的填0(0(或不填或不填)，就可得到该函数的卡诺图。，就可得到该函数的卡诺图。例：例：用卡诺图表示函数用卡诺图表示函数 时时 先确定使每个与项为先确定使每个与项为1的输入变量取值，然后在该输入变量的输入变量取值，然后在该输入变量 取值所对应的方格内填取值所对应的方格内填1。：取值为取值为101时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应两个方格，在卡诺图上对应两个方格 (m10、m11)处填处填1。2022/10/1362本讲稿第六十二页，共七十九页 ：取值为取值为001时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应两个方，在卡诺图上对应两个方 格格(m2、m3)处填处填1。D:取值为取值为1时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应八个方，在卡诺图上对应八个方 格格(m1、m3、m5、m7、m9、m11、m13、m15)处填处填 1。AD：取值为取值为11时该与项为时该与项为1，在卡诺图上对应四个方，在卡诺图上对应四个方 格格(m9、m11、m13、m15)处填处填1。某些最小项重复，只需填一次即可。某些最小项重复，只需填一次即可。2022/10/1363本讲稿第六十三页，共七十九页CDAB0001111010001111011111111112022/10/1364本讲稿第六十四页，共七十九页练习：练习：用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数:CDAB00011110100011110 1 1 1 1 1 12022/10/1365本讲稿第六十五页，共七十九页0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD四四四四变变变变量量量量KK图图图图两个相邻格圈在一起，两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量结果消去一个变量ABD ADA1四个相邻格圈在一起，四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量结果消去三个变量十六个相邻格圈在十六个相邻格圈在一起，结果一起，结果 mi=11、卡诺图化简规则：、卡诺图化简规则：几几何何相相邻邻的的2i（i=1、2、3n）个个小小格格可可合合并并在在一一起起构构成成正正方方形形或或矩矩形形圈圈，消消去去i个个变量变量。五、用卡诺图化简逻辑函数五、用卡诺图化简逻辑函数2022/10/1366本讲稿第六十六页，共七十九页 与或表达式的简化与或表达式的简化步步骤骤 先先将将函函数数填填入入相相应应的的卡卡诺诺图图中中，存存在在的的最最小小项项对对应应的的方格填方格填1，其它填，其它填0。按按作作圈圈原原则则将将图图上上填填1的的方方格格圈圈起起来来，要要求求圈圈的的数数量量少少、范范围围大大，圈圈可可重重复复包包围围但但每每个个圈圈内内必必须须有有新新的最小项。的最小项。每个圈写出一个乘积项。按每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则。取同去异原则。最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式2、卡诺图化简步骤：、卡诺图化简步骤：2022/10/1367本讲稿第六十七页，共七十九页 B A 0 1 0 1两个相邻最小项合并后变成一个最小项，可减少一个变量。0011 B A 0 1 0 11010 B A 0 1 0 11110 化包围化包围圈圈的原则的原则 孤立的单格单独画圈孤立的单格单独画圈 圈圈的的数数量量少少、范范围围大大，圈圈可可重重复复包包围围但但每每个个圈圈内内必必须须有有新新的最小项，否则该包围圈是多余的。的最小项，否则该包围圈是多余的。含含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项的格都应被圈入，以防止遗漏积项A2022/10/1368本讲稿第六十八页，共七十九页10011001 BC A 0 100 01 11 1001100110 BC A 0 100 01 11 10 CDAB 00 01 11 10100101100110100100 01 11 10八个相邻最小项合并后变成一个最小项，可减少三个变量。1001100110011001 CDAB 00 01 11 1000 01 11 10四个相邻最小项合并后变成一个最小项，可减少两个变量。CBD2022/10/1369本讲稿第六十九页，共七十九页ABCD0001 111000011110ADABCD0001111000011110注意：2022/10/1370本讲稿第七十页，共七十九页例例1：化简化简F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011110A2022/10/1371本讲稿第七十一页，共七十九页练习：练习：用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 CAB01000111101 11 11 10 00 00 00 0AB1 12022/10/1372本讲稿第七十二页，共七十九页例例2：ABCD0001111000011110ABD卡诺图化简逻辑函数的另一种方法卡诺图化简逻辑函数的另一种方法圈圈0法法2022/10/1373本讲稿第七十三页，共七十九页例例3：已知真值表如图所示，试用卡诺图化简。已知真值表如图所示，试用卡诺图化简。101状态未给出，即是无关项（无关状态）。状态未给出，即是无关项（无关状态）。2022/10/1374本讲稿第七十四页，共七十九页ABC0001111001化简时可以将无关项当作化简时可以将无关项当作1或或 0，目的是得到最，目的是得到最简结果。简结果。认为是认为是1AF=A2022/10/1375本讲稿第七十五页，共七十九页ABC0100 01 11 101 11 111说明一：说明一：化简结果不唯一。化简结果不唯一。ABC0100 01 11 101 11 1112022/10/1376本讲稿第七十六页，共七十九页说明二：说明二：采用前述方法，化简结果通常为采用前述方法，化简结果通常为“与或与或”表达式。表达式。若要求用其他形式表示，则