2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1.pdf

绝密启用前绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的XX、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Ax|x 1，B x|3 1，则xAACAB x|x 0BAB R RB x|x 1DAB 2如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A1B481D24C3设有下面四个命题1p1：若复数z满足R R，则zR R；p2：若复数z满足z2R R，则zR R；zp3：若复数z1,z2满足z1z2R R，则z1 z2；p4：若复数zR R，则z R R.其中的真命题为Ap1,p3Bp1,p4Cp2,p3Dp2,p4.4记Sn为等差数列an的前n项和若a4 a5 24，S6 48，则an的公差为A1B2C4D85函数f(x)在(,)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1 f(x2)1的x的取值范围是A2,26(1B1,1C0,4D1,3126展开式中的系数为x)(1 x)2xB20C30D35A157某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10B12C14D168右面程序框图是为了求出满足3 2 1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入nnAA1000和n n1BA1000和n n2CA1000和n n1DA1000和n n29已知曲线C1:y cosx,C2:y sin(2x面结论正确的是A 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C 把C1上各点的横坐标缩短到原来的单位长度，得到曲线C22)，则下3个6121倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个26.D把C1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线C21倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移21210已知F为抛物线C:y 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16x2B14yzC12D1011设xyz为正数，且2 3 5，则A2x 3y 5zB5z 2x 3yC3y 5z 2xD3y 2x 5z12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项012是20，接下来的两项是2,2，再接下来的三项是2,2,2，依此类推。求满足如下条01件的最小整数N:N 100且该数列的前N项和为2 的整数幂。那么该款软件的激活码是A440B330C220D110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量a a，b b的夹角为 60，|a a|=2，|b b|=1，则|a a+2 b b|=.x2y 114设x,y满足约束条件2x y 1，则z 3x2y的最小值为.x y 0 x2y215已知双曲线C:221(a 0,b 0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，ab圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN 60，则C的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_。3.三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。a217（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3sin A（1）求sin BsinC;（2）若6cos BcosC 1,a 3，求ABC的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且BAP CDP 90.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD 90，求二面角A-PB-C的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,)（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X 1)与X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.92.29.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9511611611622xi 9.97，s 经计算得x(xi x)(xi16x2)2 0.212，16i116i116i1其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2,16，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值用样本平均数x作为的估计值 3,3)之外的数据，用剩下的数据判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(估计和（精确到 0.01）附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3 Z 3)0.997 4，0.997 416 0.959 2，0.008 0.0920.（12 分）3x2y2已知椭圆C：22=1（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，2ab3）中恰有三点在椭圆C上.2（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.21.（12 分）已知函数f(x)ae2x(a2)ex x（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方y sin,x a 4t,（t为参数）程为.y 1t,（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f(x)x ax 4,g(x)|x1|x1|2.（1）当a 1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2B3B4C5D6C7B8D9D10A11D12A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132 314-5152 33164 15cm3三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。a217（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3sin A（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.解：（1）1a21a由题设得acsin B，即csin B 23sin A23sin A1sin AsinCsin B 23sin A2故sin BsinC。3由正弦定理得（2）由题设与（1）得cosBcosC sin BsinC 所以BC 11，即cos(BC)222，故A331a2由题设得bcsin A，即bc 823sin A222由余弦定理得b c bc 9，即(bc)3bc 9，得bc 33.故ABC的周长为33318.（12 分）解：（1）由已知BAP CDP 90，得AB AP，CD PD由于AB/CD，故AB PD，从而AB 平面PAD又AB 平面PAB，所以平面PAB 平面PAD（2）在平面PAD内作PF AD，垂足为F由（1）可知，AB 平面PAD，故AB PF，可得PF 平面ABCD以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz由（1）与已知可得A(2222,0,0),P(0,0,),B(,1,0),C(,1,0)2222所以PC (2222,1,),CB (2,0,0),PA (,0,),AB (0,1,0)2222设n (x,y,z)是平面PCB的法向量，则22nPC 0,x yz 0,即22y 0nCB 0可取n (0,1,2)设m (x,y,z)是平面PAB的法向量，则22mPA 0,xz 0,即 22m AB 0y 0可取m (1,0,1)则cos n,m nm3|n|m|333.所以二面角APBC的余弦值为19（12 分）解：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为 0.0026，故X B(16,0.0026)，因此P(X 1)1 P(X 0)10.997416 0.0408X的数学期望为EX 160.0026 0.0416（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。9.97,的估计值为 0.212，（ii）由x 9.97,s 0.212，得的估计值为 3,3)之外，因此需对当天由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(的生产过程进行检查。3,3)之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为剔除(1(169.979.22)10.0215因此的估计值为 10.0216xi12i160.2122169.9721591.134 3,3)之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为剔除(1(1591.1349.2221510.022)0.00815因此的估计值为0.008 0.0920.（12 分）解：（1）由于P3,P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3,P4两点又由1113知，C不经过点P1，所以点P2在C上2222aba4b 11,2b2a 4因此解得213b 11224bax2 y21故C的方程为4.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2如果l与x轴垂直，设l:x t，由题设知t 0，且|t|2，可得A,B的坐标分别为4t24t2(t,),(t,)22则k1k24t224t22 1，得t 2，不符合题设2t2tx2 y21得从而可设l:y kxm(m 1)，将y kxm代入4(4k21)x28kmx4m24 0由题设可知 16(4k m 1)0228km4m24,x1x2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1 x2 224k 14k 1而k1k2y11y21x1x2kx1m1kx2m1x1x22kx1x2(m1)(x1 x2)x1x2由题设k1k2 1，故(2k 1)x1x2(m1)(x1 x2)04m248km(m1)0即(2k 1)224k 14k 1解得k m12m1xm，2当且仅当m 1时，0，于是l:y 所以l过定点(2,1)21.（12 分）解：（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)（i）若a 0，则f(x)0，所以f(x)在(,)单调递减（ii）若a 0，则由f(x)0的x lna当x(,lna)时，f(x)0；.当x(lna,)时，f(x)0所以f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增。（2）（i）若a 0，由（1）知，f(x)至多有一个零点（ii）若a 0，由（1）知，当x lna时，f(x)取得最小值，最小值为1f(lna)1lnaa 当a 1时，由于f(lna)0，故f(x)只有一个零点；当a(1,)时，由于1点；当a(0,1)时，1又f(2)ae个零点。设正整数n0满足n0 ln(1)，则f(n0)e0(ae0a 2)n0 e0n0 20n0 0由于ln(1)lna，因此f(x)在(lna,)有一个零点综上，a的取值范围为(0,1)22解：nnnn1lna 0，即f(lna)0，故f(x)没有零a1lna 0，即f(lna)0又a4(a2)e22 2e22 0，故f(x)在(,lna)有一3a3ax2（1）曲线C的普通方程为 y21，9当a 1时，直线l的普通方程为x4y 3 021x x4y3 0,x 3,225由x解得或224y 0y y 1 925从而C与l的交点坐标为(3,0),(21 24,)25 25（2）直线l的普通方程为x4ya4 0，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为.d|3cos4sina4|17a 9a917，所以a 8；，由题设得1717a1a117，所以a 16，由题设得1717当a 4时，d的最大值为当a 4时，d的最大值为综上，a 8或a 1623解：（1）当a 1时，不等式f(x)g(x)等价于x2 x|x1|x1|4 0当x 1时，式化为x 3x4 0，无解；当1 x 1时，式化为x x2 0，从而1 x 1；2当x 1时，式化为x x4 0，从而1 x 221 172所以f(x)g(x)的解集为x|1 x（2）当x1,1时，g(x)21 172所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时f(x)2又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1 a 1所以a的取值范围为1,1.