第二节二重积分的计算课件.ppt

第二节二重积分的计算第1页，此课件共81页哦一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体：曲顶柱体：第2页，此课件共81页哦柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第3页，此课件共81页哦演示文稿演示文稿1.ppt播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求分割、近似、求和、取极限和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第4页，此课件共81页哦步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第5页，此课件共81页哦2。直角坐标系下的积分微元我们利用直角坐标我们利用直角坐标网分割网分割D D让分割充分细，取让分割充分细，取D D的的被坐标网割出的一个被坐标网割出的一个典型子区域典型子区域，设，设它是如图的矩形，它是如图的矩形，其面积为其面积为第6页，此课件共81页哦 先将二重积分化为二次积分，然后先后计算先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值两次定积分求得二重积分的值.第7页，此课件共81页哦如果积分区域如果积分区域 D 可表示为：可表示为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分1、x型区域型区域则则 D 称为称为 x型型 区域区域.x型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 y 轴轴的直线与区域边界相交的直线与区域边界相交不多于两个交点不多于两个交点.第8页，此课件共81页哦设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为任取任取平面平面故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为截面积为截面积为截柱体的截柱体的曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算第9页，此课件共81页哦如果积分区域如果积分区域 D 可表示为：可表示为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.2、y型区域型区域则则 D 称为称为 y型型 区域区域.y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界轴的直线与区域边界相交不多于两个交点相交不多于两个交点.第10页，此课件共81页哦同样同样,曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算第11页，此课件共81页哦例例1 1解解 将将 D 看作看作 x 型区域型区域,则则D=(x,y)|0 y x，0 x 1 ,第12页，此课件共81页哦例例1 1解解 将将 D 看作看作 y 型区域型区域,则则D=(x,y)|y x 1，0 y 1 ,第13页，此课件共81页哦如果积分区域如果积分区域 D 可表示为可表示为 x型型 区域又可表示为区域又可表示为 y型型 区域区域，且，且 f(x,y)在在D 上连续，则有：上连续，则有：为计算方便为计算方便,可可选择积分次序选择积分次序,采用哪一种次序积分采用哪一种次序积分通常取决于被积函数的结构通常取决于被积函数的结构.必要时还可以必要时还可以交换积分次序交换积分次序.第14页，此课件共81页哦解解 将将 D 看作看作 y 型区域型区域,则则D=(x,y)|y x 1，0 y 1 ,第15页，此课件共81页哦第16页，此课件共81页哦3、一般情形、一般情形如果积分区域如果积分区域 D 不是不是 x型型 区域也不是区域也不是 y型型 区域区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割为若干个分割为若干个x型型或或y型型区域，在每个小区域上计算二重积分，在各个区域，在每个小区域上计算二重积分，在各个小区域上的积分之和就是小区域上的积分之和就是D 上的二重积分上的二重积分.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别使在分割后的三个区域上分别使用积分公式用积分公式则必须分割则必须分割.第17页，此课件共81页哦计算二重积分的几点说明：计算二重积分的几点说明：1)化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域下限，而二次积分中的上、下限又是由区域 D 的几何形状的几何形状确定的，因此计算二重积分应先确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域画出积分区域 D 的图形的图形.2)第一次积分的上、下限是第一次积分的上、下限是函数或常数函数或常数，而第二次积，而第二次积分中的上、下限一定是分中的上、下限一定是常数常数，且下限要小于上限，且下限要小于上限.3)积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单域的划分要尽量地简单.第18页，此课件共81页哦解解将将 D 看作看作 y 型区域型区域,则则两曲线两曲线的交点的交点第19页，此课件共81页哦例例4 4解解 将将 D 看作看作 x 型区域型区域,则则第20页，此课件共81页哦解解注意：正确选择积分次序相当重要注意：正确选择积分次序相当重要.第21页，此课件共81页哦解解积分区域如图积分区域如图如何变换积分次序：将给定的二次积分化为二重积如何变换积分次序：将给定的二次积分化为二重积分，然后再将二重积分化为另一个次序的二次积分分，然后再将二重积分化为另一个次序的二次积分.如何变换积分次序：根据所给积分写出如何变换积分次序：根据所给积分写出 D 的边界曲的边界曲线，再写出另一个区域表示式，即可写出另一个次序线，再写出另一个区域表示式，即可写出另一个次序的二次积分的二次积分.第22页，此课件共81页哦解解积分区域如图积分区域如图第23页，此课件共81页哦解解原式原式第24页，此课件共81页哦解解:积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为y 型区域型区域,则则练习：练习：交换下列积分顺序交换下列积分顺序第25页，此课件共81页哦解解说明说明:有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序还需交换积分顺序.第26页，此课件共81页哦解解说明说明:有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序还需交换积分顺序.第27页，此课件共81页哦 当二重积分的被积函数中含有绝对值函数、取当二重积分的被积函数中含有绝对值函数、取大或取小函数大或取小函数(max 或或 min)等特殊函数时，如等特殊函数时，如何计算二重积分的值？何计算二重积分的值？一般是将积分区域适当分块，使被积函数一般是将积分区域适当分块，使被积函数在各子块上都表示为初等函数形式，然后分别在各子块上都表示为初等函数形式，然后分别计算计算.第28页，此课件共81页哦例例1010解解先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图第29页，此课件共81页哦第30页，此课件共81页哦小结：用直角坐标小结：用直角坐标计算二重积分计算二重积分x型型y型型确定积分次序时要注意确定积分次序时要注意:1 1、考虑积分区域的特点，分块越少越好、考虑积分区域的特点，分块越少越好.2 2、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积出，、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积出，并能为第二次积分的计算创造有利条件并能为第二次积分的计算创造有利条件.第31页，此课件共81页哦利用积分域和被积函数的对称性利用积分域和被积函数的对称性 计算二重积分计算二重积分第32页，此课件共81页哦第33页，此课件共81页哦第34页，此课件共81页哦第35页，此课件共81页哦A第36页，此课件共81页哦第37页，此课件共81页哦一、重积分的换元积分法 定理1：设f（x，y）在有界闭区域D连续，在D上具有一阶连续偏导数的函数把把D映射为映射为uv平面的区域平面的区域D，其逆变换记成，其逆变换记成又设又设 行列式行列式 则则第39页，此课件共81页哦例例1 f(x，y)在闭区域在闭区域Dxy连续，则极坐标变换连续，则极坐标变换它把它把 变成变成 ，行列式行列式故故第40页，此课件共81页哦三、利用极坐标系计算二重积分三、利用极坐标系计算二重积分第41页，此课件共81页哦二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）1、极点、极点O在在D的外部的外部区域特征如图区域特征如图第42页，此课件共81页哦区域特征如图区域特征如图第43页，此课件共81页哦二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图2、极点、极点O在在D的边界上的边界上第44页，此课件共81页哦极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图3、极点、极点O在在D的内部的内部第45页，此课件共81页哦思考思考:下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x,y 轴相切于原点轴相切于原点,试问试问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(1)(2)(2)第46页，此课件共81页哦第47页，此课件共81页哦第48页，此课件共81页哦法二法二:积分区域关于积分区域关于 x 轴对称轴对称,第49页，此课件共81页哦解解第50页，此课件共81页哦解解第51页，此课件共81页哦解解第52页，此课件共81页哦解解第53页，此课件共81页哦解解由于由于 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法用故本题无法用直角坐标计算直角坐标计算.第54页，此课件共81页哦解解利用例利用例7 7可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式第55页，此课件共81页哦同理同理 第56页，此课件共81页哦第57页，此课件共81页哦解解第58页，此课件共81页哦第59页，此课件共81页哦二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）三、小结三、小结y型型x型型（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）第60页，此课件共81页哦二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）第61页，此课件共81页哦计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分次序确定积分次序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式(可利用对称性可利用对称性)第63页，此课件共81页哦三、二重积分的应用三、二重积分的应用曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为：2求非均匀薄片的质量求非均匀薄片的质量第65页，此课件共81页哦利用二重积分可以计算空间立体的体积利用二重积分可以计算空间立体的体积.例例1 1 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为第66页，此课件共81页哦则所求体积为则所求体积为第67页，此课件共81页哦被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的解解:设设由对称性可知由对称性可知例例2 求球体求球体(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积.第68页，此课件共81页哦思考题思考题1第69页，此课件共81页哦思考题解答思考题解答第70页，此课件共81页哦第71页，此课件共81页哦思考题思考题2第72页，此课件共81页哦思考题解答思考题解答第73页，此课件共81页哦练练 习习 题题第74页，此课件共81页哦第75页，此课件共81页哦第76页，此课件共81页哦第77页，此课件共81页哦练习题答案练习题答案第78页，此课件共81页哦第79页，此课件共81页哦练练 习习 题题第80页，此课件共81页哦第81页，此课件共81页哦