高一数学竞赛试卷.pdf

班级姓名考号河口中学高一数学竞赛试卷命题：王家明命题：王家明河口中学数学组河口中学数学组 2011-5 2011-5注：注：1 1、答案必须写在答题卷上，否则不计总分。、答案必须写在答题卷上，否则不计总分。2 2、满分、满分 150150 分。时间分。时间 120120 分钟。分钟。一、选择题（每题一、选择题（每题 5 5 分分 共共 1010 小题小题 共共 5050 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1 1设集合设集合Ax|3x x0,B=0,B=x x|-1|-1x x3,3,则则 A AB=B=（）A A-1,0-1,0 B B-3,3-3,3 C C 0,30,3 D D-3,-1-3,-12.2.下列图像表示函数图像的是（下列图像表示函数图像的是（）A B C DA B C D3.3.已知已知tanA A3 3，则，则2sin2 4sin cos 9cos2的值为（的值为（）B B2110C C13 D D2 2 1304.4.已知已知 M M（2 2，7 7）、N N（1010，2 2），点，点P P 是线段是线段 MNMN 上的点，且上的点，且 A.A.（1414，1616）B.B.（2222，1111）C.C.（6 6，1 1）D.D.（2 2，4 4）PNPM，则，则P P 点的坐标为（点的坐标为（）f(x)x3 x3的实数解落在的区间是（的实数解落在的区间是（）6.6.已知已知A(1,2),B(3,1),则线段则线段AB的垂直平分线的方程是（的垂直平分线的方程是（）5.5.函数函数7.7.下列条件中下列条件中,能判断两个平面平行的是能判断两个平面平行的是()()A A一个平面内的一条直线平行于另一个平面一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B B一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内的两条直线平行于另一个平面C C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面8.8.如图，在如图，在 RtRtABCABC 中，中，ABC=90ABC=900，P P 为为ABCABC 所在平面外一点所在平面外一点PAPA平面平面 ABCABC，则四面体，则四面体 P-ABCP-ABC 中共有（中共有（）个直角三角形。）个直角三角形。A 4 B 3 C 2 D 1 A 4 B 3 C 2 D 19.9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于（，那么圆柱的体积等于（）A A B B2 C C4 D D810.10.在圆在圆x2 y2 4上，及直线上，及直线4x3y12 0的距离最小的点的坐标为（的距离最小的点的坐标为（）二二填空题本大题共填空题本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分11.11.设设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0)，则，则AB的中点到点的中点到点C的距离为的距离为 .12.12.如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cmcm），则此几何体的表面积是，则此几何体的表面积是 .第 1 页13.13.设函数设函数f(x)(2a1)xb在在 R R 上是减函数，则上是减函数，则a的的范围是范围是 .14.14.已知点已知点A(a,2)到直线到直线l:x y3 0距离为距离为2，则则a=.=.1515 设设tan()21,tan(),则tan()的值等于的值等于.5444分数分数3 34 45 56 67 78 89 91010一选择题（一选择题（10105=505=50 分）分）题号题号答案答案1 12 2二：填空题（二：填空题（5 55=255=25 分）分）11.12._11.12._13._ 14._13._ 14._1515三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 6 个小题，共个小题，共 7575 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.16.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）求经过两条直线求经过两条直线2x y 3 0和和4x3y5 0的交点，并且及直线的交点，并且及直线2x3y5 0垂直的直线垂直的直线方程（一般式）方程（一般式）.17.17.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）如图，如图，PA 矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点的中点.（1 1）求证：）求证：（2 2）求证：）求证：MN CD；MN/平面PAD；18.(18.(本小题满分本小题满分 1313 分分)已知已知(0(0，()求求 sincossincos 的值；的值；()若若(4)，且，且 cos2cos2.52，)，且，且 5si5sin(2)sin，求角n(2)sin，求角 的大小的大小 219.19.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）已知圆：已知圆：x2 y24x6y 12 0，（1 1）求过点）求过点A(3,5)的圆的切线方程；的圆的切线方程；（2 2）点）点P(x,y)为圆上任意一点，求为圆上任意一点，求20.(20.(本小题满分本小题满分 1313 分分)已知函数已知函数若若yx的最值。的最值。f(x)2cos2x3sin 2x a（x xR R）.f(x)有最大值有最大值 2 2，求实数，求实数 a a 的值；求函数的值；求函数f(x)的单调递增区间的单调递增区间.21.21.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）某商店经营的消费品进价每件某商店经营的消费品进价每件 1414 元，月销售量元，月销售量 Q Q（百件）及销售价格（百件）及销售价格 P P（元）的关系如下图，每月各种开（元）的关系如下图，每月各种开支支 20002000 元，元，（1 1）写出月销售量写出月销售量 Q Q（百件）及销售价格（百件）及销售价格 P P（元）的函数关系。（元）的函数关系。第 2 页（2 2）该店为了保证职工最低生活费开支该店为了保证职工最低生活费开支 36003600 元，问：商品价格应控制在什么范围？元，问：商品价格应控制在什么范围？（3 3）当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值。当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值。高一数学竞赛试卷答案高一数学竞赛试卷答案一选择（每题一选择（每题 5 5 分）分）1-5 A C B D B 6-10 B D A B C 1-5 A C B D B 6-10 B D A B C二填空（每题二填空（每题 5 5 分）分）11.11.532 12.12.(8016 2)cm2 13.13.1 14.1 14.1 或或-3-3a 2三解答题三解答题16.16.（1212 分）分）17.17.（1212 分）分）（1 1）取）取15.15.322PD的中点E,连接AE,EN,1 1 分分（2 2）N为中点，为中点，44，得，得 1 12sin22sin2.22 分分551818、解：、解：(I)(I)由由 cos2cos2所以所以 sin2sin2110，又，又 0，所以，所以 sinsin.33 分分2101091.1010因为因为 cos2cos21 1sin2，所以sin2，所以 cos2cos21 1又又 0，55 分分，所以，所以 coscos2103 10所以所以 sincossincos10103 102 10.66 分分1010()因为()因为 0，所以，所以 2220，由已知由已知 cos2cos24316，所以，所以 sin2sin21-cos22177 分分2555由由 5sin(2)sin，得5sin(2)sin，得 5(sin2coscos2sin)sin.5(sin2coscos2sin)sin.99 分分所以所以 5(5(3cossin)sin，即cossin)sin，即 3cos3sin，所以3cos3sin，所以 tantan1.1.1111 分分52因为因为，所以所以 19.1319.13 分分3.1313 分分4（1 1）设圆心）设圆心 C C，由已知，由已知 C(2,3),C(2,3),1 1 分分ACAC 所在直线斜率为所在直线斜率为，2 2 分分53 232则切线斜率为则切线斜率为1，1 1 分分2第 3 页则切线方程为则切线方程为。2 2 分分1y5 (x3)2（2 2）yx可可以以看成看成 是是原点原点 O(0,0)O(0,0)及及P(x,y)连连线线的的斜率斜率，则，则 过过原点及原点及 圆圆相切相切 的直的直 线线的斜的斜 率为所率为所求。求。1 1 分分圆心（圆心（2 2，3 3），半径，半径 1 1，设，设yx=k=k，1 1 分分则直线则直线y kx为圆的切线，有为圆的切线，有3k 2，2 2 分分1k解得解得2133k 4，2 2 分分所以所以yx的最大值为的最大值为334、，最小值为，最小值为3342 2 分分2020解解：f(x)2cos2x3sin2xa 1cos2x3sin2xa 2sin(2x)1a，6当当2x即即x622k（k kZ Z）时，）时，f(x)有最大值，有最大值，3 3 分分6k（k kZ Z）时，）时，f(x)有最大值为有最大值为 3 3a a，3 3a a2 2，解得，解得a 1；6 6 分分令令22k 2x622k，9 9 分分解得解得k函数函数21.1321.13 分分（1 1）3 x k6（k kZ Z）1212 分分f(x)的单调递增区间的单调递增区间k,k（k kZ Z）.1414 分分362P50(14 P 20)Q 3P40(20 P 26)24 4 分分（2 2）当）当14 P 20时，时，即即(P14)(2P50)10036002000 0,1 1 分分P239P378 0，解得，解得18 P 21，故，故18 P 20;2 2 分分当当20 P 26时，时，1 1 分分3(P14)(P40)10036002000 0,2第 4 页即即，故，故20 P 22。2 2 分分3P2122P1232 0，解得，解得56 P 223所以所以18 P 22（4 4）每件每件 19.519.5 元时，余额最大，为元时，余额最大，为 450450 元。元。4 4 分分第 5 页