2019年全国II卷文科数学高考真题.pdf

2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x 1，B x|x 2，则 AB=A(-1，+)C(-1，2)2设 z=i(2+i)，则z=A1+2iC1-2iB-1+2iD-1-2iB(-，2)D3已知向量 a a=(2，3)，b b=(3，2)，则|a a-b b|=A2C52B2D504生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有2 只测量过该指标的概率为232C5A甲：我的成绩比乙高351D5B5在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A甲、乙、丙C丙、乙、甲xB乙、甲、丙D甲、丙、乙6设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)=e 1，则当 x0)两个相邻的极值点，则=443A2B21C1D222xy1的一个焦点，则 p=9若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆3ppA2B3C4D810曲线 y=2sinx+cosx 在点(，-1)处的切线方程为Ax y1 0C2x y21 011已知 a（0，ACB2x y21 0Dx y 1 0），2sin2=cos2+1，则 sin=2BD552 551533x2y212设 F 为双曲线 C：221（a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2ab交于 P、Q 两点若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为A2C2B3D5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。2x3y 6 0，13若变量 x，y 满足约束条件x y 3 0，则 z=3xy 的最大值是_.y 2 0，14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为 0.97，有20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.15ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 bsinA+acosB=0，则 B=_.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但.半正多面体是由两种或两种以上的正多边南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥E BB1C1C的体积18（12 分）已知an是各项均为正数的等比数列，a1 2,a3 2a216.（1）求an的通项公式；（2）设bn log2an，求数列bn的前 n 项和19（12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表y的分组企业数0.20,0)20,0.20)240.20,0.40)530.40,0.60)140.60,0.80)7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到 0.01）附：74 8.602.20（12 分）x2y2已知F1,F2是椭圆C:221(a b 0)的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点ab（1）若POF2为等边三角形，求 C 的离心率；（2）如果存在点 P，使得PF1 PF2，且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围21（12 分）已知函数f(x)(x1)ln x x1证明：（1）f(x)存在唯一的极值点；（2）f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）O 为极点，在极坐标系中，点M(0,0)(0 0)在曲线C:4sin上，直线 l 过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为 P.（1）当0=时，求0及 l 的极坐标方程；3（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知f(x)|xa|x|x2|(xa).（1）当a 1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若x(,1)时，f(x)0，求a的取值范围.2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案1C7B1392D8A3A9D154B10C5A11B6D12A140.98341626；2 117解：（1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故B1C1 BE又BE EC1，所以 BE平面EB1C1（2）由（1）知BEB1=90.由题设知 RtABERtA1B1E，所以AEB A1EB1 45，故 AE=AB=3，AA1 2AE 6.作EF BB1，垂足为 F，则 EF平面BB1C1C，且EF AB 3所以，四棱锥E BB1C1C的体积V 136318318解：（1）设an的公比为q，由题设得2q2 4q 16，即q22q8 0解得q 2（舍去）或q=4n12n1因此an的通项公式为an 24 2（2）由（1）得bn(2n1)log22 2n1，因此数列bn的前n项和为132n1n219解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100个企业中产值增长率不低于 40%的企业频率为147 0.21100产值负增长的企业频率为2 0.02100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%（2）y 21(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30，100152s ny yii100i1122222(0.40)2(0.20)240 530.20 140.40 7100=0.0296，s 0.0296 0.0274 0.17，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%F1PF2 90，PF2 c，PF13c，20 解：（1）连结PF1，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，于是2a PF1 PF2(31)c，故C的离心率是e c3 1.ax2y21yy（2）由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在 当且仅当|y|2c 16，1，221，ab2xc xc即c|y|16，x2 y2 c2，x2y221，2abb41622由及a b c得y 2，又由知y 2，故b 4cc2222a222222222由得x 2c b，所以c b，从而a b c 2b 32,故a 4 2.c2当b 4，a 4 2时，存在满足条件的点P所以b 4，a的取值范围为4 2,)21解：（1）f(x)的定义域为（0，+）.x11ln x1 ln x.xx1因为y ln x单调递增，y 单调递减，所以f(x)单调递增，又f(1)1 0，x1ln41f(2)ln2 0，故存在唯一x0(1,2)，使得f x0 0.22f(x)又当x x0时，f(x)0，f(x)单调递减；当x x0时，f(x)0，f(x)单调递增.因此，f(x)存在唯一的极值点.（2）由（1）知fx0 f(1)2，又f e2 e23 0，所以f(x)0在x0,内存在唯一根 x.由 x01得又f11 x0.f()1 1 1111 ln1 0，故是f(x)0在0,x0的唯一根.综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数22解：（1）因为M0,0在C上，当0由已知得|OP|OA|cos时，0 4sin 2 3.33 2.3|OP|2，3设Q(,)为l上除P的任意一点.在RtOPQ中，cos经检验，点P(2,)在曲线cos3 2上3所以，l的极坐标方程为cos 23（2）设P(,)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos,即 4cos因为P在线段OM上，且AP OM，故的取值范围是,.4 2所以，P点轨迹的极坐标方程为 4cos,.4 223解：（1）当 a=1 时，f(x)=|x1|x+|x2|(x1).当x 1时，f(x)2(x1)0；当x 1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(,1).（2）因为f(a)=0，所以a 1.当a 1，x(,1)时，f(x)=(a x)x+(2 x)(xa)=2(a x)(x1)0.所以，a的取值范围是1,)2