二分图的对集.ppt

二分图的对集 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 设二分图为 ，本节求饱和 中每个点的对集的一个充分必要条件，这是Hall在1935年给出的，称为Hall定理。定义定义5.3.1 中 的邻域 ，即与 中顶点相邻的所有顶点全体。例 定理定理5.3.1 设 是二分图，则G有饱和X的每个顶点的对集的充分必要条件是对所有 ，均有与与Hall定理等价的有相异代表元定理定理等价的有相异代表元定理：集合 的一个子集簇 有一个相异代表元当且仅当对于集合 的所有子集 ，有 定理定理5.3.1的证明：的证明：必要性必要性：假设 是二分图 的一个饱和 中每个顶点的一个对集，对 中的任一个子集 则在 中有 个顶点 在 下分别与 配对，因此有 充分性：充分性：假设 满足条件，是 的一个最大对集。下证 饱和 中所有点。反证法。假设 是一个非饱和点。令记 为 中在 下与 配对的顶点集合。下证 ，其中 。否则，设 ，记 ，使 ，则 。下分两种情况讨论：情况情况1：是 非饱和点 因 ，可以证明图 中存在 可扩路，矛盾。情况情况2：是 饱和点 则存在 使 。可以证明 从而得到 ，矛盾。推论推论5.3.25.3.2 二分图 有完美对集的充分必要条件是 ，并且对一切 ,均有 推论推论5.3.3 是 正则二分图，则 有完美对集。证证：是 正则二分图，则 ，分别用 表示与 中顶点相关联的边子集。而 是 正则二分图，故 。由推论5.3.2，有完美对集。推论推论5.3.45.3.4 设 是连通的二分图，则G的每一条边都含在一个完美对集中的充分必要条件是 ，且对X的每一个非空真子集S,均有 证明思路证明思路 必要性必要性：对 中的每个非空真子集 ,因为 连通，存在 使 与 中一个点 相邻，又 中存在含边 的完美对集 ，则 就是 的完美对集。结合定理5.3.1可以得到任取一条边 ，考虑二分图 ，则对 中的每一个非空子集 ，可以推出根据定理5.3.1，有饱和 每个顶点的对集 。而 就是 的含边 的完美对集。充分性：充分性：例例1 有 张纸牌，每张纸牌的正反两面都写上 中的某一个数。证明：如果每个数字都恰好出现两次，那么这些纸牌一定可以这样摊开，使朝上的面中出现的数字恰好是 。证明证明：作二分图 ，其中分别表示 个自然数和 张纸牌。与 之间的边数等于 在纸牌 中出现的次数。则所得图是2-正则二分图，由定理5.3.3，有完美对集。设为则只要将纸牌 中的1朝上；中的2朝上，中的 朝上等等。如有7张纸牌，这7个数字与这7张纸牌的关系为：2 4 1 1 2 3 5 3 6 5 4 7 7 6 1 2 3 4 5 6 7则对完美对集 我们只要将 中的2朝上，中的4朝上，中的5朝上等等。