《晶体的特征》PPT课件.ppt

固固 体体 物物 理理高高 伟伟1.黄昆原著，韩汝琦改编，固体物理学，高等教育出版社2.方俊鑫，陆栋主编，固体物理学，上海科学技术出版社3.C.基泰尔著，项金钟，吴兴惠译固体物理导论（原著第八版），化学工业出版社4.N.W.Ashcroft and N.D.Mermin,Solid StatePhysics,世界图书出版公司主要参考书主要参考书第一章第一章 晶体结构和晶体结构和X-X-射线衍射射线衍射第一节第一节 晶体的特征晶体的特征1.1.1 1.1.1 固体的分类固体的分类1.1.2 1.1.2 晶体的宏观特性晶体的宏观特性本节主要内容本节主要内容:1.1.1 固体的分类固体固体晶体晶体:非晶体非晶体:准晶体准晶体:长程有序长程有序不具有长程序的特点不具有长程序的特点,短程有序。短程有序。有长程取向性，而没有长程的平移对称性。有长程取向性，而没有长程的平移对称性。单晶体单晶体多晶体多晶体至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。长程有序长程有序:1.固体分类(按结构)1.1 晶体的特征(a)a)晶体结构的规则网格晶体结构的规则网格 非晶体中原子排列不具有长程的周期性，但基本保留了原子排列的短程序，即近邻原子的数目和种类、近邻原子之，即近邻原子的数目和种类、近邻原子之间的距离间的距离(键长键长)、近邻原子配置的几何方位、近邻原子配置的几何方位(键角键角)都与晶体都与晶体相近。相近。(b)b)非晶体结构的无规则网格非晶体结构的无规则网格(c)(c)Penrose)Penrose拼接图案拼接图案 准晶体具有长程的取向序，但没有长程的平移对称序，准晶体具有长程的取向序，但没有长程的平移对称序，可以用可以用Penrose拼接图案显示其结构特点。拼接图案显示其结构特点。晶晶 体体按晶胞分立方晶系立方晶系六方晶系六方晶系四方晶系四方晶系三方晶系三方晶系正交晶系正交晶系单斜晶系单斜晶系三斜晶系三斜晶系按对称性分立方体立方体六方体六方体按功能分导体导体 半导体半导体绝缘体绝缘体磁介质磁介质电介质电介质超导体超导体按结合方式分分子晶体分子晶体离子晶体离子晶体共价晶体共价晶体金属晶体金属晶体氢键晶体氢键晶体 晶体所具有的自发地形晶体所具有的自发地形成封闭凸多面体的能力称为成封闭凸多面体的能力称为自限性。自限性。2.晶体的解理性:晶体沿某些确定方位的晶面晶体沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，称为晶体的解理性，劈裂的性质，称为晶体的解理性，这样的晶面称为这样的晶面称为解理面解理面。1abcd21.1.2 晶体的宏观特性1.自限性:晶面的交线称为晶面的交线称为晶棱晶棱，晶棱，晶棱互相平行的晶面的组合称为互相平行的晶面的组合称为晶带晶带，如右图中如右图中a，1，b，2。1abcd2 互相平行的晶棱的共同互相平行的晶棱的共同方向称为该晶带的称为该晶带的带轴带轴，晶轴晶轴是是重要的带轴。如右图中重要的带轴。如右图中OO3.晶面角守恒定律：属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。石英晶体：石英晶体：a、b 间夹角总是间夹角总是14147；a、c 间夹角总是间夹角总是11308；b、c 间夹角总是间夹角总是12000。在不同方向上，晶体的物理性质不同。在不同方向上，晶体的物理性质不同。由右图可以看出，在不同的方向上晶由右图可以看出，在不同的方向上晶体中原子排列情况不同，故其性质不同。体中原子排列情况不同，故其性质不同。晶体中任意两点晶体中任意两点(在同一方向上在同一方向上)的的物理性质相同。物理性质相同。6.晶体的对称性:晶体在某几个特定方向上可以异向同性，这种相同的性晶体在某几个特定方向上可以异向同性，这种相同的性质在不同的方向上有规律地重复出现，称为质在不同的方向上有规律地重复出现，称为晶体的对称性晶体的对称性。7.晶体固定的熔点:给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，温度才开化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，温度才开始上升，即晶体有固定的熔点。始上升，即晶体有固定的熔点。晶体为什么具有这些宏观特性呢晶体为什么具有这些宏观特性呢?晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的定的,即晶体的宏观特性是微观特性的反映。即晶体的宏观特性是微观特性的反映。自限性自限性、晶面角守恒晶面角守恒、解理性解理性、晶体的各向异性晶体的各向异性、晶体、晶体的均匀性、晶体的对称性、的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点固定的熔点。晶体的宏观特性：晶体的宏观特性：第二节第二节 晶体结构晶体结构本节主要内容本节主要内容:1.2.1 1.2.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性1.2.2 1.2.2 原胞原胞1.2.3 1.2.3 密堆积、配位数和致密度密堆积、配位数和致密度(b)(c)(a)(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同为二维晶体结构示意图，它们有何异同?1.2 晶体结构1.2.1 晶体结构的周期性 所有晶体的结构可以用所有晶体的结构可以用晶格晶格来描述，这种晶格的每个格点来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元基元，基元在空间周，基元在空间周期性重复排列就形成期性重复排列就形成晶体结构晶体结构。一个一个理想的晶体是由是由完全相同的的结构单元在空间在空间周期性重重复排列而成的。复排列而成的。(b)(c)(a)1.基元、格点和晶格 在晶体中适当选取某些原子作为一个在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个，这个基本结构单元称为基本结构单元称为基元基元，基元是晶体结构中，基元是晶体结构中最小的重复单元，的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。(1)(1)基元基元(b)(c)(a)任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一个基元中不同原子周围情况则不相同个基元中不同原子周围情况则不相同。(2)(2)晶格晶格 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直分布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成一些网格，称为线族，形成一些网格，称为晶格晶格(或者说这些点在空间周期性或者说这些点在空间周期性排列形成的骨架称为排列形成的骨架称为晶格晶格)。(b b)(c)c)(a)a)晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。用矢量表示用矢量表示格点的排列。格点的排列。(3)(3)格点格点 晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点格点。一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。也可以代表基元中任意的点子。晶格晶格+基元基元=晶体结构晶体结构(b)(a)2.布拉维晶格、简单晶格和复式晶格(1)(1)布拉维晶格布拉维晶格 格点的总体称为格点的总体称为布拉维晶格布拉维晶格，这种格子的特点是，这种格子的特点是每点周围的情况完全相同。(2)(2)简单晶格和复式晶格简单晶格和复式晶格 简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为则这种原子所组成的网格称为简单晶格简单晶格。复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，称为子各构成和格点相同的网格，称为子晶格子晶格，它们相对位移而，它们相对位移而形成形成复式晶格复式晶格。简单晶格简单晶格复式晶格复式晶格 在晶格中取在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为晶体，这个平行六面体即为原胞原胞，代表原胞三个边的矢量称为，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称，简称基矢基矢。1.2.2 原胞 在晶格中取在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为晶体，这个平行六面体即为原胞原胞，代表原胞三个边的矢量称为，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称，简称基矢基矢。特点：特点：格点格点只在平行六面体的顶角上，只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构它反映了晶体结构的周期性的周期性。构造：取一格点为顶点，由此点向构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理固体物理学原胞学原胞。(1)(1)固体物理学原胞固体物理学原胞(简称简称原胞原胞)基矢：固体物理学原胞基矢通常用基矢：固体物理学原胞基矢通常用 表示。表示。体积为：体积为：原胞内任一点的位矢表示为：原胞内任一点的位矢表示为：在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。(2)(2)结晶学原胞结晶学原胞（简称（简称单胞单胞）构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。它具有明显的对称性和周期性。基矢：结晶学原胞的基矢一般用基矢：结晶学原胞的基矢一般用 表示。表示。特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。体积为：体积为：(3)(3)维格纳维格纳-塞茨原胞塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面面(或中垂线或中垂线)，由这些中垂面，由这些中垂面(或中垂线或中垂线)所围成的最小体积所围成的最小体积(或或面积面积)即为即为W-S原胞原胞。特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。ab(1)(1)一维原子链一维原子链a2.2.几种晶格的实例几种晶格的实例一维单原子链一维单原子链一维双原子链一维双原子链(2)(2)二维二维(a)(b)固体物理学原胞固体物理学原胞维格纳维格纳-塞茨单胞塞茨单胞(3)(3)三维三维立方晶系立方晶系布拉维原胞的体积布拉维原胞的体积:设设晶格常量晶格常量(布拉维原胞棱边的长度)为为a,取取 为坐标轴的单位矢量为坐标轴的单位矢量,即立方体边长为即立方体边长为a,(a)a)简立方简立方每个布拉维原胞包含每个布拉维原胞包含1个格点。固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积布拉维晶格(简单格)平均每个布拉维原胞包含平均每个布拉维原胞包含4个个格点格点。(b)b)面心立方面心立方固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积(c)c)体心立方体心立方平均每个布拉维原胞包含平均每个布拉维原胞包含2个个格点格点。固体物理学原胞的体积固体物理学原胞的体积复式格(a)a)金刚石结构金刚石结构金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含每个结晶学原胞包含4个个格点格点。金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/41/4的长度套构而成的长度套构而成,其布拉维晶格为其布拉维晶格为面心立方面心立方。c cc cc cc c 金刚石结构每个固体物理学原胞金刚石结构每个固体物理学原胞包含包含1个格点个格点,基元由两个碳原子组成基元由两个碳原子组成,位于（位于（000）和）和 处。处。(b)b)氯化钠结构氯化钠结构 氯化钠结构由两个氯化钠结构由两个面心立方面心立方子晶格沿体对角线位移子晶格沿体对角线位移1/21/2的的长度套构而成。长度套构而成。Cl-和和Na+分别组成面心立方子晶格。分别组成面心立方子晶格。其布拉维晶格为其布拉维晶格为面心立方面心立方。氯化钠结构属面心立方。每个固体物理学原胞包含每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含个格点，每个结晶学原胞包含4个个格点格点。氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。选取方法相同。基元由一个基元由一个Cl-和一个和一个Na+组成。组成。(000)Cl-的坐标为的坐标为 ，Na+的坐标为的坐标为 。(c)c)氯化铯结构氯化铯结构 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长的长度套构而成。度套构而成。Cl-和和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶格为分别组成简立方格子，其布拉维晶格为简立方简立方，氯化铯结构属简立方。每个固体物理学原胞包含每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含个格点，每个结晶学原胞包含1个个格点格点。基元由一个。基元由一个Cl-和一个和一个Cs+组成。组成。(000)Cl-的坐标为的坐标为 ，Cs+的坐标为的坐标为 。(d)d)钙钛矿结构钙钛矿结构钙钛矿结构常写成钙钛矿结构常写成ABO3的形式的形式。OTi 钡、钛和钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个个简立方简立方子晶格套构而成的。子晶格套构而成的。一个晶胞包含一个晶胞包含1个钡原子、个钡原子、1个钛原子和个钛原子和3个氧原子。个氧原子。钙钛矿钙钛矿的氧的氧八面体八面体结构结构(e)e)-钨结构钨结构B BB BAAAAAA两个两个B原子和原子和6个个A原子各组成原子各组成简立方简立方。-钨结构钨结构由由8个子晶格套构而成。个子晶格套构而成。一个晶胞包含一个晶胞包含2个个B原子和原子和6个个A原子。原子。1.2.3 密堆积、配位数和致密度一个粒子周围一个粒子周围最近邻的粒子数称为称为配位数配位数.它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。配位数越大。如果晶体由如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小圆球最圆球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为称为密堆积密堆积。第一层：每个球与第一层：每个球与6个球相切，有个球相切，有6个空隙，个空隙，如编号如编号1,2,3,4,5,6。第二层：占据第二层：占据1,3,5空位中心。空位中心。第三层：在第一层球的正上方形成第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB排列方式。排列方式。(1)(1)六角密积六角密积AB 六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。基元由两个原子组成，一个位于基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于，另一个原子位于，(2)(2)立方密积立方密积 第一层：每个球与第一层：每个球与6个球相切，有个球相切，有6个个空隙，如编号为空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。第二层：占据第二层：占据1，3，5空位中心。空位中心。第三层：占据第三层：占据2，4，6空位中心，空位中心，按按ABCABCABC方式排列，形方式排列，形成面心立方结构，称为成面心立方结构，称为立方密积立方密积。BAC 密堆积特点：密堆积特点：结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为12。配位数的可能值为：配位数的可能值为：12(密堆积密堆积)，8(氯化铯型结构氯化铯型结构)，6(氯化氯化钠型结构钠型结构)，4(金刚石型结构金刚石型结构)，3(石墨层状结构石墨层状结构)，2(链状结构链状结构)。下面以几个实例来看配位数与球半径的关系。下面以几个实例来看配位数与球半径的关系。1 1 氯化铯型和氯化钠型结构两种球的半径之比。氯化铯型和氯化钠型结构两种球的半径之比。取大球中心为立方体的顶角，小球位取大球中心为立方体的顶角，小球位于立方体的中心。于立方体的中心。设大小球半径分别为设大小球半径分别为R和和r，且且晶格常晶格常量为量为a。取配位数为取配位数为8的氯化铯型结构。的氯化铯型结构。时排列最紧密，结构最稳定。时排列最紧密，结构最稳定。当当2 2 氯化钠型结构氯化钠型结构 设大小球半径分别为设大小球半径分别为R和和r，且晶格常且晶格常量为量为a，当大小球恰能相切时，当大小球恰能相切时，为氯化钠型结构，配位数为为氯化钠型结构，配位数为6。3.致密度：如果把如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，放置在晶体结构中原子所在的位置上，球的体积取得尽可能大，以球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度致密度(堆积比率或最大空间利用率)。单胞体积单胞体积单胞中原子所占体积单胞中原子所占体积设晶格常量为设晶格常量为a，原子半径为原子半径为R，则则例例1 1：求面心立方的致密度：求面心立方的致密度.N是单胞中原子个数是单胞中原子个数内部原内部原子数子数面上原面上原子数子数棱上原子棱上原子数数顶角上顶角上原子数原子数典型的晶体结构(Cu)4(000)(000)(W)2(000)(000)CsClCs+1Cl-1(000)(000)1288 结构型结构型单胞中的单胞中的 原子个数原子个数原子在单胞原子在单胞中的位置中的位置最近邻最近邻距离距离配位数配位数典型的晶体结构结构型结构型单胞中的单胞中的 原子个数原子个数原子在单胞原子在单胞中的位置中的位置最近邻最近邻距离距离配位数配位数8(000)4金刚石金刚石NaClNa+4Cl-4(000)6第第三三节节 晶晶向向、晶晶面面和和它它们们的的标标志志本节主要内容本节主要内容:1.3.1 1.3.1 晶向及晶向指数晶向及晶向指数1.3.2 1.3.2 晶面及密勒指数晶面及密勒指数1.3 晶向、晶面和它们的标志 1.3.1 晶向及晶向指数 通过晶格中任意两个格点通过晶格中任意两个格点连一条直线称为连一条直线称为晶列晶列，晶列的，晶列的取向称为取向称为晶向晶向，描写晶向的一，描写晶向的一组数称为组数称为晶向指数晶向指数(或或晶列指数晶列指数)。过一格点可以有无数过一格点可以有无数晶列晶列。(3)(3)晶列族中的每一晶列上，晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；格点分布都是相同的；(4)(4)在同一平面内，相邻晶列间的在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。距离相等。(1)(1)平行晶列组成晶列族，晶列平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；族包含所有的格点；(2)(2)晶列上格点分布是周期性的；晶列上格点分布是周期性的；晶列的特点晶列的特点如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为(1)(1)用固体物理学原胞基矢表示用固体物理学原胞基矢表示 晶列上格点的周期晶列上格点的周期=?=?如如121121表示表示为固体物理学原胞基矢为固体物理学原胞基矢如遇到负数，将该数的上面加一横线。其中其中 为整数，将为整数，将 化为互质的整数化为互质的整数 ，记为记为 ，即为该晶列的即为该晶列的晶列指数晶列指数。(2)(2)以布拉维原胞基矢表示以布拉维原胞基矢表示如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为 其中其中 为有理数为有理数,将将 化为化为互质的整数 m,n,p,记为记为 mnp，mnp 即为该即为该晶列晶列的的晶列指数晶列指数.OABCDE 例例1 1：如图在立方体中，如图在立方体中，D是是BC的中点，求的中点，求BE,AD的晶列指数的晶列指数。解：解：晶列晶列BE的晶列指数为：的晶列指数为：011 AD的晶列指数为的晶列指数为:OABCDE求求AD的晶列指数的晶列指数。注意:(1)(1)晶列指数一定是一组互质的整数；晶列指数一定是一组互质的整数；(2)(2)晶列指数用方括号表示晶列指数用方括号表示 ；(3)(3)遇到负数在该数遇到负数在该数上方加一横线。加一横线。晶列晶列(11-1)(11-1)晶列晶列11-111-1晶列晶列(111)(111)晶列晶列111111(4)(4)等效晶向等效晶向。在立方体中有，沿立方边的在立方体中有，沿立方边的晶列一共有晶列一共有6个不同的晶向，由于个不同的晶向，由于晶格的对称性，这晶格的对称性，这6个晶向并没有个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方性质是完全相同的，统称这些方向为向为等效晶向等效晶向，写成写成 。100 001 010 100 010 001 1.3.2 晶面及密勒指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数晶面指数。(1)(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；(3)(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况情况)相同；相同；(4)(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。同一晶面族中相邻晶面间距相等。(2)(2)晶面上格点分布具有周期性；晶面上格点分布具有周期性；晶面方位晶面方位晶面的法线方向晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角法线方向与三个坐标轴夹角)晶面在三个坐标轴上的截距晶面在三个坐标轴上的截距(1)(1)以固体物理学原胞基矢表示以固体物理学原胞基矢表示 如图如图取一格点为顶点，原胞的三，原胞的三个基矢个基矢 为坐标系的三个轴，为坐标系的三个轴，设某一晶面与三个坐标轴分别交于设某一晶面与三个坐标轴分别交于A1,A2,A3,设晶面的法线设晶面的法线ON交晶面交晶面A1A2A3于于N，ON长度为长度为 d，d为该晶为该晶面族相邻晶面间的距离，面族相邻晶面间的距离，为整数，为整数，该晶面法线方向的单位矢量用该晶面法线方向的单位矢量用 表表示，则晶面示，则晶面A1A2A3的方程为：的方程为：A2A3O OA1N d取取 为天然长度单位，则得：为天然长度单位，则得：晶面的法线方向与三个坐标轴晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢基矢)的夹角的余弦之比，的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。A2 2A3 3OA1 1N d可以证明：可以证明：r,s,t必是一组有理数-阿羽依的有理数定理阿羽依的有理数定理。设设 的末端上的格点分别在离原点距离的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、h3d的晶面上，这里的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数为整数 。(2)(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。(1 (1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必；因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 末端上的格点末端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上；也一定落在该晶面族的晶面上；取取 为天然长度单位得：为天然长度单位得：又又晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。A2A3OA1N d 可以证明可以证明h1，h2，h3一定是互质的一定是互质的，称它们为该晶面族的称它们为该晶面族的面指数，记为面指数，记为(h1h2h3)。任一晶面在坐标轴上的截距任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数必是一组有理数。因为因为h1、h2、h3为整数为整数，所以，所以r、s、t必为有理数。必为有理数。综上所述，晶面指数(h1h2h3)表示的意义是；(3)(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。(2)(2)以以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；上的截距倒数的互质比；(1)(1)基矢基矢 被平行的晶面等间距的分割成被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；等份；以布拉维原胞基矢以布拉维原胞基矢 为坐标轴来表示为坐标轴来表示的晶面指数称为的晶面指数称为密勒指数密勒指数，用，用(hkl)表示表示。例例2：如图所示如图所示 ，I和和H分别为分别为BC，EF之中点，之中点，试求晶面试求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密的密勒指数。勒指数。AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距OABCDEFGHI AEG ABCD DIHG111 121 hkl在三个坐标在三个坐标轴上的截距轴上的截距1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG 的密勒指数是的密勒指数是(111)；OEFG的密勒指数是的密勒指数是(001)；DIHG的密勒指数是的密勒指数是(120)。OABCDEFGHIABCDEFG例例3:在立方晶系中画出在立方晶系中画出(210)、晶面。晶面。晶面在三个坐标轴上的截距分别为：晶面在三个坐标轴上的截距分别为：1(210)11密勒指数是密勒指数是(210)的晶面是的晶面是ABCD面面；(121)密勒指数是密勒指数是 的晶面是的晶面是EFG面面；第第 四四 节节 倒倒 格格本节主要内容本节主要内容:1.4.1 1.4.1 倒格定义倒格定义1.4.3 1.4.3 倒格与傅里叶变换倒格与傅里叶变换1.4.2 1.4.2 倒格与正格的关系倒格与正格的关系1.4 1.4 倒格倒格 倒格倒格正格（点位）矢：正格（点位）矢：倒格基矢倒格基矢倒格（点位）矢：倒格（点位）矢：晶体结构晶体结构=晶格晶格+基元基元正格基矢正格基矢正格正格 一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格倒格。1.4.1 倒格定义倒格基矢定义为：倒格基矢定义为：其中其中 是正格基矢，是正格基矢，与与 所联系的各点所联系的各点的列阵即为的列阵即为倒格倒格。是固体物理学原胞体积是固体物理学原胞体积倒格基矢的方向和长度如何呢倒格基矢的方向和长度如何呢？一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍倍。1.1.4.2 倒格与正格的关系其中其中 分别为分别为正格点位矢正格点位矢和和倒格点位矢倒格点位矢。2.(为整数为整数)3.3.(其中其中 和和*分别为正、倒格原胞体积分别为正、倒格原胞体积)4.4.倒格矢倒格矢 与正格中晶面族与正格中晶面族(h1h2h3)正交，且其长度为正交，且其长度为 。(1)(1)证明证明 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。BCOA 设设ABC为晶面族为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，ABC在基矢在基矢 上的上的 截距分别为截距分别为 。由图可知：由图可知：所以所以 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。(2)证明证明 的长度等于的长度等于 。由平面方程：由平面方程：得：得：在晶胞坐标系在晶胞坐标系 中，中，1.4.3 倒格与傅里叶变换在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。上式两边分别按傅里叶级数展开：上式两边分别按傅里叶级数展开：是正格矢。是正格矢。一定是倒格矢。一定是倒格矢。晶体结构晶体结构 正格正格 倒格倒格1.1.1.2.与晶体中原子位置与晶体中原子位置 相对应；相对应；2.与晶体中一族晶面相与晶体中一族晶面相对应；对应；3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性傅里叶空间中点的周期性排列；排列；3.是真实空间中点的周是真实空间中点的周期性排列；期性排列；4.线度量纲为线度量纲为长度长度4.线度量纲为线度量纲为长度长度-1已知晶体结构如何求其倒格呢？已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体晶体结构结构正格正格正格正格基矢基矢倒格倒格基矢基矢倒格倒格例例1 1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。倒格是边长为的正方形格子。倒格是边长为的正方形格子。例例2 2：证明体心立方的倒格是面心立方证明体心立方的倒格是面心立方。解：解：体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢：倒格矢：倒格矢：同理得：同理得：体心立方的倒格是边长为体心立方的倒格是边长为4 4/a的的面心立方面心立方 。例例3 3：证明简立方晶面：证明简立方晶面(h1 1h2 2h3 3)的面间距为的面间距为证明：证明：由由得：得：简立方：简立方：法一：法一：法二：法二：设设ABC为为晶面族晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，ABC在基矢在基矢 上的截距分别为上的截距分别为 ，由平面方程由平面方程 得：得：对于立方晶系：对于立方晶系：且：且：第第五五节节 晶晶体体的的对对称称性性本节主要内容本节主要内容:1.5.1 1.5.1 对称性与对称操作对称性与对称操作1.5.2 1.5.2 晶系和布拉维原胞晶系和布拉维原胞1.5.1 对称性与对称操作对称操作所依赖的对称操作所依赖的几何要素。经过某一对称操作，把晶体中任一点经过某一对称操作，把晶体中任一点 变为变为 可以用线性变换来表示。可以用线性变换来表示。1.5 晶体的对称性对称性：对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。对称操作：对称操作：使晶体自身重合的动作。使晶体自身重合的动作。对称素：对称素：操作前后，两点间的距离保持不变，操作前后，两点间的距离保持不变，Ox1 1x3 3x2 2O点和点和X点间距与点间距与O点和点和 点间距相等点间距相等。I为单位矩阵，即：为单位矩阵，即：或者说或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式为正交矩阵，其矩阵行列式 。2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演对称)(1)(1)旋转对称旋转对称(Cn,对称素为线对称素为线)若晶体绕某一固定轴转若晶体绕某一固定轴转 以后自身重合，则此轴称为以后自身重合，则此轴称为n次次(度度)旋转对称轴旋转对称轴。下面我们计算与转动对应的变换矩阵。下面我们计算与转动对应的变换矩阵。当当OX绕绕Ox1转动角度转动角度 时，图中时，图中若若OX在在Ox2x3平面上投影的长度为平面上投影的长度为R，则则Ox1x3x2 晶体中允许有几度旋转对称轴呢晶体中允许有几度旋转对称轴呢?设设B1ABA1是晶体中某一晶是晶体中某一晶面上的一个晶列，面上的一个晶列，AB为这一晶为这一晶列上相邻的两个格点列上相邻的两个格点。A1ABB1 若晶体绕通过格点若晶体绕通过格点A并垂直于并垂直于纸面的纸面的u轴顺时针转轴顺时针转 角后能自身重角后能自身重合，则由于晶体的周期性，通过格合，则由于晶体的周期性，通过格点点B也有一转轴也有一转轴u。是是 的整数倍，的整数倍，A1 1ABB1 1 相反若相反若逆时针转逆时针转 角后能自身重合，则角后能自身重合，则A1ABB1 是是 的整数倍，的整数倍，晶体中允许的旋转对称轴只能是晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。度轴。综合上述证明得：综合上述证明得：12346 正五边形沿竖直轴每旋转正五边形沿竖直轴每旋转720恢恢复原状，但它不能重复排列充满一个复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度度旋转对称轴旋转对称轴。(2)(2)中心反映中心反映(i，对称素为点对称素为点)取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点变为变为(3)镜象镜象(m，对称素为面对称素为面)如以如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点面作为对称面，镜象是将图形的任何一点变为变为(4)(4)旋转旋转-反演对称反演对称 若晶体绕某一固定轴转若晶体绕某一固定轴转 以后，以后，再经过中心反演,晶体自晶体自身重合，则此轴称为身重合，则此轴称为n次(度)旋转-反演对称轴。旋转-反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。旋转旋转-反演对称轴用反演对称轴用 表示。表示。旋转旋转-反演对称轴并反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：独立的基本对称素。如：1212345612ABDCEFGH正四面体既无四正四面体既无四度轴也无对称心度轴也无对称心6=3+m123456612341 1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋转对称操作。度旋转对称操作。1 1，2 2，3 3，4 4，6 6度旋转反演对称操作。度旋转反演对称操作。(3)(3)中心反映：中心反映：i。(4)(4)镜象反映：镜象反映：m。C1，C2，C3，C4，C6（用熊夫利符号表示）用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）用熊夫利符号表示）点对称操作：点对称操作：(2)(2)旋转反演对称操作：旋转反演对称操作：(1)(1)旋转对称操作：旋转对称操作：独立的对称操作有8种,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m，。或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。立方体对称性立方体对称性(1)(1)立方轴立方轴C4：3 3个立方轴；个立方轴；4个个3度轴；度轴；(2)体对角线体对角线C3：(3)面对角线面对角线C2：6个个2度轴；度轴；与与4 4度轴正交的对称面度轴正交的对称面与与2 2度轴正交的对称面度轴正交的对称面 所有点对称操作都可由这所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转镜象和旋转-反演点对称操作构成的群，称作点群。反演点对称操作构成的群，称作点群。理论证明，所有理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有，即只有32种不同的点对种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。如果考虑平移，还有两种情况，即如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面。（5 5）n度螺旋轴度螺旋轴：若绕轴旋转：若绕轴旋转2/n角以后，再角以后，再沿轴方向平移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中度螺旋轴。其中T是是轴方向的周期，轴方向的周期，l是小于是小于n的整数。的整数。n只能取只能取1、2、3、4、6。（6 6）滑移反映面滑移反映面：若经过某面：若经过某面进行镜象操作后，再沿平行于该面进行镜象操作后，再沿平行于该面的某个方向平移的某个方向平移T/n后，晶体能自后，晶体能自身重合，则称此面为滑移反映面。身重合，则称此面为滑移反映面。T是平行方向的周期，是平行方向