二全微分在数值计算中的应用.ppt

湖北经济学院数学教研室2005.5二全微分在数值计算中的应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望湖北经济学院数学教研室2005.5一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义:如果函数如果函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 的内点的内点(x,y)可表示成可表示成其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 有关，有关，则称函则称函数数称为函数称为函数在点在点(x,y)的全微分的全微分,记作记作若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,f(x,y)在点在点(x,y)可微，可微，处的全增量处的全增量则称此函数在则称此函数在D D 内可微内可微.湖北经济学院数学教研室2005.5(2)(2)偏导数连续偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)(1)函数可微函数可微函数函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可微可微由微分定义由微分定义:得得函数在该点连续函数在该点连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即湖北经济学院数学教研室2005.5定理定理1 1(必要条件必要条件)若函数若函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可微可微,则则该该函数在该点偏导数函数在该点偏导数同样可证同样可证证证:由全增量公式由全增量公式必存在必存在,且有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量因此有因此有 湖北经济学院数学教研室2005.5反例反例:函数函数易知易知 但但因此因此,函数在点函数在点(0,0)不可微不可微.注意注意:定理定理1 1 的逆定理不成立的逆定理不成立.即即:偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !湖北经济学院数学教研室2005.5定理定理2 2(充分条件充分条件)证证：若函数若函数的偏导数的偏导数则函数在该点可微分则函数在该点可微分.湖北经济学院数学教研室2005.5所以函数所以函数在点在点可微可微.注意到注意到,故有故有湖北经济学院数学教研室2005.5推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如例如,三元函数三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示,于是于是记作记作称为偏微分称为偏微分.故有下述叠加原理故有下述叠加原理的全微分为的全微分为湖北经济学院数学教研室2005.5例例1 1 计算函数计算函数在点在点(2,1)(2,1)处的全微分处的全微分.解解例例2 2 计算函数计算函数的全微分的全微分.解解湖北经济学院数学教研室2005.5可知当可知当 及及 较小时较小时,有近似等式有近似等式:二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算近似计算由全微分定义由全微分定义(可用于近似计算可用于近似计算;误差分析误差分析)(可用于近似计算可用于近似计算)湖北经济学院数学教研室2005.5解解:已知已知即受压后圆柱体体积减少了即受压后圆柱体体积减少了 例例3.有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,半径由半径由 20cm 20cm 增大到增大到20.05cm,高度由高度由100cm 减少到减少到 99cm,求此圆柱体体积的求此圆柱体体积的近似改变量近似改变量.则则 湖北经济学院数学教研室2005.5例例4.4.计算计算 的近似值的近似值.解解:设设 ,则则取取则则湖北经济学院数学教研室2005.5分别表示分别表示 x,y,z 的绝对误差界的绝对误差界,则2.误差估计误差估计利用利用令令z 的绝对误差界约为的绝对误差界约为z 的相对误差界约为的相对误差界约为湖北经济学院数学教研室2005.5特别注意特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数很小的数不能做除数湖北经济学院数学教研室2005.5例例5.5.利用公式利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差求计算面积时的绝对误差与相对误差.解解：故绝对误差约为故绝对误差约为又又所以所以 S 的相对误差约为的相对误差约为计算三角形面积计算三角形面积.现测得现测得湖北经济学院数学教研室2005.5例例6.6.在直流电路中在直流电路中,测得电压测得电压 U=24 伏伏,相对误差为相对误差为解解:由欧姆定律可知由欧姆定律可知(欧欧)所以所以 R 的相对误差约为的相对误差约为0.3 +0.5 R 的绝对误差约为的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差时产生的相对误差和绝对误差.测得电流测得电流 I=6安安,相对误差为相对误差为 0.5 ,=0.032(欧欧)=0.8 求用欧姆求用欧姆湖北经济学院数学教研室2005.5内容小结内容小结1.1.微分定义微分定义:2.2.重要关系重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续湖北经济学院数学教研室2005.53.3.微分应用微分应用 近似计算近似计算 估计误差估计误差绝对误差绝对误差相对误差相对误差