2022年百分数知识点整理和单位一巧用.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数学中 “ 单位 ” 的巧用笔者在几年学校毕业班数学教学实践中,深刻熟悉到：分数、百分数、工程问题, 是学校生最难懂得和难于把握的内容,而这三种内容的应用题又是学校生更难的, 而又必需把握的学问之一； 而单位 “ 1”好比是解答这难题的一把金钥匙,利用得当可帮忙同学懂得题意、掌握解题思路、进展思维,提高同学解题才能和技巧,可起到事半功倍的作用；因此,老师在教学中引导同学把握单位 必要；“ 1”的运用方法很有第一要让同学认清单位“ 1”,它不同于自然数中的 “ 1”,它可表示数字“ 1”,更重要的是它在分数、百分数、比类,工程问题应用题中表示“一个单位、一个整体 ” ,这在教学中就叫单位 “ 1”或“整体 1”；故单 位“ 1”可表示 “一个总量、一个部分、一项工程的总量、一批物件”等；全部单位 “ 1”的量叫标准量, 与它相比的叫比较量,在解答应用题时,如单位 “ 1”的量已知,就用单位 “ 1”的量乘以所求量对应的分率；如求 单位“ 1”的量,就用已知量除以已知量的对应分率；由于用单位“ 1”计算方法固定,故只要选好单位“ 1”,就可知运算方法,这就解决了学生不知用什么方法运算这一难题；而挑选单位“ 1”一般以 “总量、不变 量、两者相比的后项、 几分之几的对象 ”为单位 “ 1”；下面谈谈单位 “ 1”的运用；一、单位 “ 1”在分数应用题中的运用名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载这类应用题一般把总量看作单位“ 1”；例（1）：一堆煤有 50 吨,用去 3/5 后,仍剩多少吨？分析：此题应把总量一堆煤看作单位“ 1”,用去的单位 “ 1”的 3/5,剩下的占单位 “ 1”的（1-3/5）（剩下量对应分率）,由于单位“ 1”量已知而用乘法,求剩下量列式为：50×（1-3/5）；例（2）：一堆煤,第一次运走总吨数的 1/3,其次次运走总吨数 的 1/4,仍剩 65 吨没运,求这堆煤有多少吨？分析：此题与例（1）一样把总量看作单位 “ 1”,剩下的占单位 “ 1”的（1-1/3-1/4）,但这题求单位 “ 1”的量而用除法,列式为：65÷（1-1/3-1/4）156 吨；由上两例可知：当总量变化时,单位“ 1”在解题过程中起了关键作用；但当总量不变, 总量里的几种部重量都变化时又怎样解呢？例（3）：甲乙两粮仓,甲仓存量吨数是乙仓的5 倍,如从甲仓运出 628吨粮存入乙仓,就乙仓存粮是甲的 5 倍,甲仓原有存粮多少吨？分析：这题应把两仓总存粮数看作单位“ 1”,由于甲乙两仓存粮数前后发生变化,原先甲占两仓总量的 5/15,后来甲占两仓总量的1/15,就原甲比后甲多的628 吨的对应分率是（ 5/6-1/6）；故总量是 628÷（5/6-1/6）,而原甲仓存粮为 628÷（5/6-1/6）×5/6；因此,当总量不变,而重量都变化,仍是用单位 作用；“ 1”,解题可起简便思路的如总量变,重量里有种变、有种不变的题呢？同样可用单位“ 1”法求解；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例（ 4）：甲乙两人共储蓄人民币315 元,甲储蓄的钱数占两人总数的 7/8,甲取出一部分存款支援“期望工程 ”后,这时甲占两人总储量的 5/11,这时甲乙两人储蓄总量是多少元？分析：此题与上题比,仍把总量看作单位“ 1”,但原先和现在 “ 1”表示的量是不同的,而乙在总量变化时自身不变,故应以乙占前后单位“ 1”的差,求出后来两人总量；原先甲占 7/8,乙占（ 1-7/8）,乙有钱 315×（1-7/8）；后来甲占 5/11,乙占（ 1-5/11）,即后来两人储蓄总量的（1-5/11）,是 315×（1-7/8）÷（1-5/11）；于是可见,总量变化, 同样可用单位 “ 1”来求解,同样单位 “ 1”起明白题中的桥梁作用；二、单位 “ 1”在“ 比类” 应用题中的运用这类应用题,一般先弄清是 的量；“谁比谁 ”,把“后者” 看作单位 “ 1”1、“份数比 ” 类应用题例（1）：某工厂四月份烧煤120吨,比原方案节省了1/9,四月份原方案烧煤多少吨？分析：此题是实际烧煤量与方案量相比,故应把方案烧煤 量看作单位 “ 1”,就实际烧煤量相当于方案量的（11/9）,求计划量可列式为 120÷（11/9）135（吨）,因此,单位 “ 1”在份 数比类应用题中起关键作用；2、“差比” 类应用题也可用单位 “ 1”求解 例（1）：甲数是 40,乙数是 80；求甲比乙多几分之几？求乙比甲比少几分之几？这类应用题可用公式 “相差量 ÷标准量 ”,名师归纳总结 但上题、问的标准量发生变化,而运算结果不同；（8040）第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载÷801/2；（8040）÷401；由上可知,单位 “ 1”在“差比” 类分数应用题解答中起了关键性的作用；3、“倍比” 类分数应用题同样可用单位“ 1”求解例（1）：某校 54 人参与奥林匹克学校数学班学习,非录用同学人数比录用同学数的5/2 倍仍多 12 人,问这所学校有几个被录用？分析：此题应把被录用人数看作单位“ 1”,如非录用同学人数减少 12 人,就非录用人数刚好是录用人数的5/2 倍,就总人数少 12 人后的人数对应的分率是 15/2,求录用同学人数列式为： （54-12）÷（15/2）；这类应用题关键是把 “比类” 转换成 “一量是另一量的倍数 ”,再利用单位 “ 1”求解；因此,单位 “ 1”在“倍比” 类应用题解答中起了简便思路和运算过程的关键作用；三、单位 “ 1”在百分数应用题中的运用单位 “ 1”在百分数就用题与分数应用题中方法一样；由于把百分数转换成分数,就成了分数应用题；四、单位 “ 1”在“ 工程问题 ” 中的运用分数工程应用题同整数工程问题一样,都可以工作总量作单位“ 1”；工作总量可以是 “一段路,一件工程,一块地,一批物件” 等；例（1）：一段大路,甲队单独修要12 天,乙队单独修要 15 天；甲队先单独修 3 天后,再两队合修要几天？分析：此题应把这段路工作总看作单位 “ 1”,甲队每天完成单位 “ 1”的 1/12,乙每天完成单位“ 1”的 1/15；甲先修 3 天,就已修 1/12 ×3,这时剩下这段路的 1-1/12×3；两队合修一天可完成这段路的（1/121/15）,合修天数为： （1名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载-1/12 ×3）÷（1/121/15）5（天）,解这题时,把这段路看作单位“ 1”起了关键作用； 如用整数工程问题求解, 由于不知工作总量而不能求解；例（2）：有大小两只木船,大船可以载重6.3 吨,小船的载重量是大船的 2/7,大船 8 次运完的货物,小船几次才能运完？此题用整数、小数应用题方法解可列式为：6.3 ×8÷（6.3 ×2/7）28（次）；如用单位 “ 1”法求解,就把大船 8 次运的货物看作单位 “ 1”,大船每次运单位 “ 1”的 1/8,小船每次运单位 “ 1”的 1/8 ×2/7,故小船运完这批货的次数为： 1÷（1/8 ×2/7）28（次）；当以大船每次载重量看作单位 “ 1”时,就这批货物总量有 是单位 “ 1”的 2/7,求小船运的次数就是8÷2/728（次）；由上可知,用单位8 个单位 “ 1”；小船每次载重量 8 里面有多少个 2/7,列式为：“ 1”的方法求解比整数、小数法简便些；由上面的论证可知,单位 “ 1”在学校分数、百分数、工 程问题的应用题解答过程中,起了既简便运算方法、过程,又便于学 生把握解题思路的关键作用；因此,教学时,教会同学娴熟利用单位“ 1”,对加强同学解题才能和技巧,提高教学质量,可起事半功倍的 作用；分数、百分数应用题解题公式 分数（百分数）应用题是学校数学应用题的主要内容之一,它是整、小数倍数关 系应用题的连续和深化, 是讨论数量之间份数关系的典型应用题；分数应用题涉 及的学问面广,题目变化的形式多,解题的思路宽,既有特殊的思维模式,又有 基本的解题思路；学校即将毕业阶段,如何通过分数（百分数）应用题方法的复习,让孩子们把握一些基本解题方法,感悟数学的基本思想, 从而达到培育初步名师归纳总结 的规律思维才能和运用所学学问解决实际问题才能之目的,笔者依据长期的教学第 5 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载实践和体会,总结出以下一些典型方法,以飨读者；一、数形结合思想 数形结合是讨论数学问题的重要思想,画线段图能将题目中抽象的数量关 系,直观形象地表示出来,进行分析、推理和运算,从而降低解题难度；画线段 图经常与其它解题方法结合使用,可以说,它是同学弄清分数（百分数）应用题 题意、分析其数量关系的基本方法；【例 1】一桶油第一次用去1 ,其次次比第一次多用去 520 千克,仍剩下 22千克；原先这桶油有多少千克？分析与解 从图中可以清晰地看出：这桶油的千克数× （11 1 ）=20+22 5 5 就这桶油的千克数为： （20+22）÷ （ 11 1 ）=70（千克）5 5【例 2】一堆煤,第一次用去这堆煤的20%,其次次用去 290 千克,这时剩下的煤比原先这堆煤的一半仍多 10 千克,求原先这堆煤共有多少千克？分析与解 明显,这堆煤的千克数× （120%50%）=290+10 就这堆煤的千克数为： （290+10）÷ （ 120%50%）=1000（千克）二、对应思想量率对应是解答分数应用题的根本思想,量率对应是通过题中详细数量与抽象分率之间的对应关系来分析问题和解决问题的思想；（量率对应经常和画线段图结合使用,成效极佳； ）名师归纳总结 【例 3】缝纫机厂女职工占全厂职工人数的7 ,比男职工少 20144 人,缝纫第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载机厂共有职工多少人？分析与解 解题的关键是找到与详细数量144 人的相对应的分率；从线段图上可以清晰地看出女职工占 7 ,男职工占 17 = 13 ,女职工比20 20 20男职工少占全厂职工人数的 13 7 = 3 ,也就是 144 人与全厂人数的 3 相对20 20 10 10应；全厂的人数为：144÷ （ 17 7 ）=480（人）20 20【例 4】菜农张大伯卖一批大白菜,第一天卖出这批大白菜的 1 ,其次天卖3出余下的 2 ,这时仍剩下 240 千克大白菜未卖,这批大白菜共有多少千克？5分析与解 名师归纳总结 从线段图上可以清晰地看出240 千克的对应分率是第一天卖出1 后余下的 3第 7 页,共 13 页（12 ）；就第一天卖出后余下的大白菜千克数为：5240÷ （ 12 ）=400（千克）5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（11 ）,就这批大白菜的千克 3同理 400 千克的对应分率为这批大白菜的数为：400÷ （ 11 ）=600（千克）3三、转化思想转化是解决数学问题的重要手段,可以这样说, 任何一个解题过程都离不开转化；它是把某一个数学问题, 通过适当的变化转化成另一个数学问题来进行思 考、求解,从而实现从繁到简、由难到易的转化；复杂的分数应用题,经常含有 几个不同的单位“1” ,依据题目的详细情形,将不同的单位“1” 转化成统一的 单位“1” ,使隐藏的数量关系明朗化；1、从分数的意义动身,把分数变成份数进行“ 率” 的转化【例 5】男生人数是女生人数的 分析与解 4 ,男生人数是同学总人数的几分之几？5男生人数是女生的4 ,是将女生人数看作单位“51” ,平均分成 5 份,男生是这样的 4 份,同学总人数为这样的（4+5）份,求男生人数是同学总人数的几分之几？就是求 4 份是（ 4+5）份的几分之几？4÷ （4+5）= 4 94 ,如弟给兄 4 5【例 6】兄弟两人各有人民币如干元,其中弟的钱数是兄的元,就弟的钱数是兄的 分析与解 2 ,求兄弟两人原先各有多少元？3兄弟两人的总钱数是不变量, 把它看作单位 “ 1” ,原先弟的钱数占两人总钱数的445,后来弟的钱数占两人总钱数的223,就两人的总钱数为：4÷ （445223）=90（元）弟原先的钱数为： 90×445=40（元）兄原先的钱数为： 9040=50（元）2、直接运用分率运算进行“ 率” 的转化名师归纳总结 【例 7】甲是乙的2 ,乙是丙的 34 ,甲是丙的的几分之几？5第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分析与解 甲是乙的2 ,乙是丙的 34 ,求甲是丙的的几分之几？就是求 54 的 52 是多少？34 ×52 = 3815【例 8】某工厂方案一月份生产一批零件,由于改进生产工艺,结果上半月生产了方案的3 ,下半月比上半月多生产了 51 ,这样全月实际生产了 51980 个零件,一月份方案生产多少个？分析与解 1 是以上半月的产量为“1”,下半月比上半月多生产 1 ,即下半月生产了5 5方案的 3 × （ 1+ 1 ）= 18 ；就方案的（3 + 18 ）为 1980 个,方案生产个数为：5 5 25 5 251980÷ 3 + 3 × （1+ 1 ）=1500（个）5 5 53、通过恒等变形,进行“ 率” 的转化【例 9】甲的4 等于乙的 53 ,甲是乙的几分之几？7分析与解 由条件可得等式：甲×4 =乙×534 57方法 1：等式两边同除以4 得：甲×54 =乙×53 ÷7甲=乙×18 25方法 2：依据比例的基本性质得：甲乙=3 745化简得：甲乙 =15：28 即甲是乙的18 ；25【例 10】五（2）班有同学 54 人,男生人数的 75%和女生人数的 80%都参与了课外爱好小组,而未参与课外爱好小组的男、女生人数刚好相等,这个班男、女生各有多少人？分析与解 由条件可得等式：男生人数× （ 175%）= 女生人数× （ 180%）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载男生人数女生人数 =4：5 就是男生人数是女生人数的 4 ；5 女生人数： 54÷ （1+ 4 ）=30（人）5 男生人数： 5430=24（人）四、变中求定的解题思想 分数（百分数）应用题中有很多数量前后发生变化的题型,一个数量的变化,往往引起另一个数量的变化, 但总存在着不变量； 解题时要善于抓住不变量为单 位“1”,问题就会迎刃而解；1、部重量不变【例 11】有两种糖放在一起,其中软糖占占两种糖总数的1 ,求软糖有多少块？4分析与解 9 ,再放入 16 块硬糖以后,软糖 20依据题意,硬糖块数、两种糖的总块数都发生变化,但软糖块数不变,可以确定软糖块数为单位 “ 1”,就原先硬糖块数是软糖块数的 （19 ）÷209 = 2011 倍；9加入 16 块硬糖以后,后来硬糖块数是软糖块数的（11 ）÷41 =3 倍,这样 16 4块硬糖相当于软糖的311 = 16 倍,从而求出软糖的块数；9 91 （19 ）÷9 =9（块）4 20 2016÷ （11 ）÷42、和不变【例 12】小明看一本课外读物,读了几天后,已读的页数是剩下页数的1 ,8后来他又读了 20 页,这时已读的页数是剩下页数的 页？分析与解 1 ,这本课外读物共有多少 6依据题意,已读页数和未读页数都发生了变化,但这本书的总页数不变,可名师归纳总结 把总页数看作单位“1”,原先已读页数占总页数的118,又读了 20 页后,这时第 10 页,共 13 页已读页数占总页数的116,这 20 页占这本书总页数的（116118）,就这本- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课外读物的页数为：20÷ （11）=630（页）1 6 1 8【例 13】兄弟三人合买一台彩电,老大出的钱是其他两人出钱总数的 1 ,老2二出的钱是其他两人出钱总数的 1 ,老三比老二多出 400 元；问这台彩电多少3钱？分析与解 从字面上看 1 和 1 的单位“1” 都是其他两人出钱的总数,但含义是不同的,2 31 是以老二和老三出钱的总数为单位“1” ,1 是以老大和老三出钱的总数为单2 3位“ 1”；但三人出钱的总数（彩电价格）是不变的,把它确定为单位“1” ,老大出的钱数相当于彩电价格的 的钱数相当于彩电价格的1,老二出的钱相当于彩电价格的 1,老三出1 2 1 3111 = 5 ,400 元相当于彩电价格的 5 1 2 1 3 12 12113=1 ；这台彩电的价格为：6113）=2400（元）400÷ （ 1112113五、假设思想假设思想是一种重要的数学思想,常用有估计性假设法和冲突式假设法；1、估计性假设法估计性假设法是通过假定,再依据题的条件进行推理,然后调整设定内容,从而得到正确答案；【例 14】一条大路修了1000 米后,剩下部分比全长的3 少 200 米,这条大路 5全长多少米？分析与解 由题意知,假设少修200 米,也就是修 1000200=800（米）,那么剩下部分正好是全长的3 ,因此已修的 800 米占全长的（ 153 ）,所以这条大路全长为：5（1000200）÷ （ 13 ）=2000（米）52、冲突式假设法名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载冲突式假设法是解应用题中常用的一种思维方法；通过对某种量的大胆假设,再依照已知条件进行推算,依据数量上显现的冲突冲突,进行比较,作适当调整,从而找到正确答案的方法；【例 15】甲、乙两班共有96 人,选出甲班人数的1 和乙班人数的 41 ,组成 522 人的数学爱好小组,问甲、乙两班原先各有多少人？分析与解 假设两班都选出1 ,就选出 96×41 =24（人）,假设比实际多项出 42422=2（人）；调整：这是由于把选出乙班人数的1 假设为选出 51 ,多算了 41 41 = 51 ,由 20此可先算出乙班原先的人数；（96×1 22）÷ （1 1 ）=40（人）4 4 5甲班原先的人数：9640=56（人）【例 16】某书店出售一种挂历,每售出1 本可得 18 元利润；售出一部分后每本减价 10 元出售,全部售完；已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的2 ；书店售完这种挂历共获利润 32870 元；书店共售出这种挂历多少本？分析与解 依据减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的2 ,我们假设减价前出售 3的挂历为 3 本,减价出售的挂历为 2 本,就售出这 2+3=5（本）挂历所获的利润为：18× 3+（1810）× 2=70（元）这与实际共获利润2870 元相冲突,这是什么缘由造成的呢？调整：这是由于把出售的挂历假设为 5 本,依据实际共获利润是假设所获利润的 2870÷ 70=41 倍,实际共售出挂历的本数也应当是假设 5 本的 41 倍；即 5× 41=205（本）六、用方程解应用题思想在用算术方法解应用题时,数量关系比较复杂,特殊是逆向摸索的应用题,往往麻烦, 而这些的应用题用列方程解答就简洁易行；列方程解应用题一开头就名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载用字母表示未知量,使它与已知量处于同等位置,同时运算,组成等式,然后解答出未知数的值；列方程解应用题的关键是依据题中已知条件找出的等量关系,再依据等量关系列出方程；【例 17】某工厂第一车间人数比其次车间的4 多 16 人,假如从其次车间调 540 人到第一车间,这时两个车间的人数正好相等,原先两个车间各有多少人？分析与解 依据题意,有如下数量关系：第一车间人数 +40人=其次车间人数 40 人 解：设其次车间有 X 人；4 X+16+40=X40 5解得：X=480 4 X+16= 4 × 480+16=400（人）5 5第一车间人数为：【例 18】老师买来一些本子和铅笔作奖品,已知本子本数与铅笔支数的比是43,每位竞赛获奖的同学奖8 本本子和 5 支铅笔,奖了 7 位同学后, 剩下的本子本数与铅笔支数的比是 34,老师买来本子、铅笔各多少？分析与解 依据题意,有如下数量关系：（本子本数 8× 7）（铅笔支数 5× 7）=34 解：设老师买来本子 4X 本,铅笔 3X支；（4X8× 7）（ 3X5× 7）=34 解得：X = 17 本子数： 4X=4× 17=68（本）铅笔数： 3X=3× 17=51（本）名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页